теория вероятностей и мат. статистика. Нормальное распределение
![]()
|
Контрольная работа №2 Вариант 3 Задача 1. Тема: «Нормальное распределение». Вариант 3 Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0.04. Агрономы знают, что 65% фруктов весят меньше, чем 0.5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута. Решение Ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута - это есть математическое ожидание, найти которое можно из формулы попадания нормально распределенной случайной величины в интервал ![]() ![]() По условию задачи ![]() А также известно, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() По таблице Лапласа можно найти, что ![]() Отсюда получаем 0,5-a=0,077, а=0,5-0,077=0,423. Ответ: ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута равен 0,423г. Задача 2. Тема: «Интервальные оценки». Вариант 3 Для изучения различных демографических характеристик населения выборочно обследовалось 300 семей города. Оказалось, что среди обследованных семей 15% состоят из двух человек. В каких пределах находится в генеральной совокупности доля семей, состоящих из двух человек, если принять доверительную вероятность равной 0.95? Решение. В данной задаче требуется построить доверительный интервал для генеральной доли. Определим выборочную долю р. Из 300 семей 15% состоит из 2-х человек ![]() Значит, выборочная доля таких семей составляет ![]() Поскольку объем выборки n=300>30, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Предельная ошибка выборки ![]() ![]() Таким образом, доверительный интервал для генеральной доли по выборочным данным равна (0,15-0,04;0,15+0,04) или (0,11; 0,19) Доля семей, состоящая из 2-х человек, с вероятностью 0,95 находится в пределах от 11% до 19%. Задача 3. Тема: «Проверка статистических гипотез» Вариант 3 Поступление страховых полисов в 130 филиалах страховых компаний в регионе А составило ![]() ![]() ![]() ![]() Решение По условию нам известны следующие данные Для региона А: ![]() Для региона B: ![]() Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу ![]() ![]() По табличной функции Лапласа найдем критическую точку ![]() Ф( ![]() Если | ![]() Если | ![]() Вычислим ![]() Для этого сначала определим ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() Из равенства Ф( ![]() ![]() Используя таблицу Лапласа определим критическую точку ![]() ![]() 0,027<1,96 ![]() ![]() Значит, нет оснований отвергать гипотезу о равенстве математических ожиданий данных распределений. Гипотезу ![]() Значит, различие средних величин поступления страховых взносов в регионах А и В из расчета на 1 филиал не существенны. Задача 4. Тема: «Критерий согласия Пирсона». С помощью критерия согласия Пирсона на уровне значимости α = 0,05 выяснить, можно ли считать случайную величину X, заданную в виде сгруппированного статистического ряда, нормально распределенной с параметрами x и s, рассчитанными по выборке. Вариант 3
Для каждого из интервалов определим середину. Имеем
![]() ![]() Вычислим дисперсию ![]() ![]() Нулевую гипотезу сформулируем как утверждение, что случайная величина Х имеет нормальное распределение с указанными выше параметрами ![]() Вычислим теоретические частоты, учитывая n=33, ![]() ![]()
Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия. ![]() ![]()
![]() По таблице критических точек распределения ![]() ![]() ![]() Так как ![]() Задача 5. Тема: «Ранговая корреляция». По заданной таблице рангов найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверить значимость полученного результата при α = 0.05. Вариант 3. На конкурсе красоты 12 участниц проранжированы по двум признакам: X — артистизм, Y — красота.
100 ![]() Связь между признаком X и Y сильная и прямая. Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена ![]() По таблице Стьюдента ![]() Поскольку ![]() Задача 6. Тема: «Линейная корреляция и регрессия». Для приведенных исходных данных постройте диаграмму рассеяния и определите по ней характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0.05. Запишите уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов. Вариант 3 Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобиля (X) и стоимостью ежемесячного технического обслуживания (Y). Для выяснения характера этой зависимости было отобрано 15 автомобилей.
РЕШЕНИЕ: Построим график исходных данных ![]() По графику видно, что зависимость прямая, линейная. Выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона найдем по формуле: ![]() ![]() Введем нулевую гипотезу H0 :r =0 . Проверим эту гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости (о незначимости коэффициента корреляции). Вычислим значение критерия ![]() Найдем критическую точку по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k =n − 2 =13, получаем tкр. = 2,16. Так как ![]() Уравнение регрессии Y на X имеет вид ![]() ![]() ![]() Таким образом, наблюдается очень тесная прямая связь между величиной пробега автомобиля и стоимостью ежемесячного технического обслуживания, которая выражается уравнением регрессии ![]() |