Перевод работы Эйлера E147. E147 Перевод. О явном противоречии в учении о кривых линиях Леонард Эйлер I
 Скачать 40.81 Kb.
|
|
О явном противоречии в учении о кривых линиях* Леонард Эйлер I. Мы обычно считаем, что геометрия отличается от других наук, потому что всё, что кто-либо предлагает о ней, основано на самых строгих доказательствах и что там нет ничего, что могло бы вызвать противоречия. В результате, поскольку в геометрии допускаются только те утверждения, которые прекрасно доказаны, никому не приходит в мысль подвергать сомнению то или иное доказательство. Еще менее вероятно, что два убедительно доказанных утверждения противоречат друг другу, поскольку истины. Не противоречащие друг другу утверждения, всегда находятся в совершенной гармонии друг с другом. И хотя в других науках часто случается, что две истины, по всей видимости, противоречат друг другу, мы, тем не менее, уверены, что это только кажущееся противоречие, которое по большей части проистекает из не верных соображений или из-за недостаточного понимания вещей, которые мы должны принимать во внимание. Благодаря этим рассуждениям можно будет еще больше считать, что в геометрии таких явных противоречий не может быть, поскольку мы далеки от того, чтобы довольствоваться неточными выводами. II. Тем не менее, я собираюсь представить два утверждения из геометрии, которые строго доказаны и, как кажется на первый взгляд, приводят к явному противоречию. Эта противоречивость встречается в учении о кривых линиях, где для кривых определенного порядка известно, сколько точек необходимо для его определения. Таким образом, линия третьего порядка может быть описана 9 заданными точками, или 9 точек определяют такую линию третьего порядка, что через эти 9 точек можно провести только одну такую линию. Но также доказано, что две линии третьего порядка могут пересекаться в 9 точках; * Леонард Эйлер, О явном противоречии в учении о кривых линиях, в Opera Omnia, том. I.26, стр. 33 R45 первоначально в Воспоминаниях Берлинской Академии Наук 4 (1748), 1750, стр. 219-233. Эта статья пронумерована E147 в индексе работы Эйлера Энестрома. таким образом, может случиться так, что две линии третьего порядка пройдут через 9 заданных точек, из чего следует, что 9 точек недостаточно для создания линии третьего порядка, что противоречит тому, что было сказано ранее. Прежде чем объяснить и развить это кажущееся противоречие, будет удобно разложить всё по полочкам, чтобы лучше понять его значение. Для этого я начну с анализа этих двух утверждений, которые, кажется, включают в себя это противоречие. III. Линия первого порядка (прямая линия) может быть проведена через любые две заданные точки, линия второго порядка (коническое сечение) может быть проведена через 5 точек, линия третьего порядка через 9 точек, линия четвертого порядка через 14 точек и, в общем, линия, порядок которой обозначен n, можно задать с помощью  точек. Потому что общее уравнение для линий этого порядка: cодержит + 1 произвольных коэффициентов A, B, C, D и т. д. Теперь каждая заданная точка, через которую должна пройти кривая линия, предусматривает заданные значения для координат x и y, которые, будучи подставленными, приведут к уравнению. Таким образом, заданных точек приводят к таким уравнениям, из которых определяются все коэффициенты A, B, C и т. д., и, как следствие, сама кривая. Поскольку число коэффициентов на единицу больше, чем число уравнений, взятых из точек, здесь нас будет интересовать только взаимосвязь между коэффициентами. Нам нужно будет только уравнений, чтобы определить это согласие. IV. Две прямые линии или линии первого порядка могут пересекаться только в одной точке; два конических сечения или две линии второго порядка могут пересекаться только в 4 точках. Две линии третьего порядка могут пересекаться в 9 точках; две линии четвертого порядка в 16 точках и так далее. Линия порядка m может быть разделена прямой линией в m точках, линия второго порядка в 2m точках, линия третьего порядка в 3m точках; таким образом, получаем, что линия порядка m может быть разделена линией порядка n в mn точках. Это утверждение следует понимать как утверждение, где число пересечений двух изогнутых линий, одна из которых имеет порядок m, а другая порядка n, не может быть больше, чем mn, даже если оно обычно меньше: некоторые точки пересечения находятся либо в бесконечности, либо в мнимых значениях. Демонстрация этого утверждения не так проста, и я буду говорить о нем более подробно в оставшейся части этого дискурса. V. Признавая истинность этих двух утверждений, я прежде всего коснусь тех следствий, которые мы получаем из них и которые кажутся противоречивыми. Затем я поясню то, что обнаруживается в этих следствиях, включающие в себя очень малозаметные ошибки в рассуждениях, которые, будучи не так легко обнаружимы, должны сделать нас более осторожнымим и внимательными, главным образом в других науках, чтобы не позволять себе выводить подобные очевидные противоречия. Ибо, если в геометрии мы сталкиваемся с такими затруднениями, когда, безусловно, необходимо сводить все идеи почти с максимальной степенью точности, насколько больше мы можем быть неуверены в других науках, где невозможно достичь достаточно точных идей и где, конечно, труднее защититься от подобных ошибок в рассуждениях? Наконец, я расскажу о том, каким образом необходимо понимать эти два утверждения, применяя к ним определенное необходимое ограничение, причем отмечаем, что все противоречия, какими бы сильными они ни казались, исчезнут сразу, и мы будет воспринимать самую прекрасную взаимосвязь между этими двумя утверждениями. VI. Первое противоречие, по-видимому, возникает впервые в свойствах линий третьего порядка, в зависимости от того, какое из двух общих утверждений мы рассматриваем. Вот два следствия, которые мы описываем: I. Поскольку согласно первому утверждению нам нужно девять точек, чтобы определить одну линию третьего порядка; с девятью заданными точками можно описать только одну линию третьего порядка. II. Теперь, согласно второму утверждению, две линии третьего порядка могут пересекаться в девяти точках. Таким образом, можно будет обозначить девять точек, через которые могут проходить две линии третьего порядка. Эти два следствия явно противоречат друг другу; поскольку в первом следствии утверждается, что с 9 точками можно нарисовать только одну линию третьего порядка, которая проходит через каждую из этих 9 точек. Тем не менее, второе следствие показывает нам, что существует бесконечное число случаев, когда можно задать две кривые, проходящие через 9 заданных точек. VII. Противоречие становится еще более очевидным в линиях четвертого и более высоких порядков. Для четвертого порядка противоречивые следствия: I. Согласно первому утверждению, для определения линии четвертого порядка требуется 14 точек. Таким образом, после задания 14 точек, каждый сможет начертить только одну линию этого порядка, которая проходит через все эти точки. II. Однако второе утверждение говорит нам, что две линии четвертого порядка пересекаются друг с другом в 16 точках. Как следствие, в этом случае можно будет сделать так, чтобы две линии четвертого порядка проходили через 16 заданных точек. Противоречие между этими двумя следствиями очевидно, поскольку, если возможно, можно описать только одну линию четвертого порядка с 14 заданными точками; тем более непонятно, как можно задать 2 линии этого порядка, которые пересекаются в 16 точках. VIII. Для линий пятого порядка два наших общих утверждения дают нам два следствия, даже более противоречивых: I. Первое утверждение говорит нам, что для определения линии пятого порядка достаточно 20 точек, из этого следует, что из 20 заданных точек мы знаем, как нарисовать только одну линию пятого порядка. II. Теперь второе утверждение уверяет нас, что две линии пятого порядка могут пересекаться друг с другом в 25 заданных точках. Поэтому можно задать 25 точек, через которые мы можем нарисовать две линии пятого порядка. Как следствие этих случаев, когда 25 заданных точек недостаточно для определения одной линии пятого порядка, и все же первое следствие, по-видимому, убеждает нас в том, что для определения линии пятого порядка требуется только 20 точек. И ясно, что в изогнутых линиях более высокого порядка разница между количеством точек, которых должно хватить для их определения, становится еще больше. IX. Эти противоречия совершенно очевидны, поэтому нам необходимо, чтобы одно из двух общих утверждений было ложным, или чтобы следствия, которые мы из них извлекли, не были обоснованы. Хотя я не знаю достаточно строгих доказательств второго утверждения, мы можем быть совершенно уверены в его истинности, как я проиллюстрирую здесь; и следствия, которые были изложены здесь, настолько ясны, что не остается ни малейшего сомнения в их истинности. Так как, например, если две линии четвертого порядка пересекаются в 16 точках, нужно абсолютно согласиться с тем, что можно дать 16 точек, через которые может проходить не только одна, но две линии четвертого порядка. Таким образом, поскольку второе утверждение, а также следствия, которые мы из него извлекли, полностью подтверждены, мы обязаны сделать вывод, что мы должны искать ошибку в первом утверждении или в том виде, в котором оно вытекает из него отмеченный номер (I), где мы должны искать какую-то ошибку. X. Следствия, которые мы извлекли из первого утверждения, одинаково хорошо обоснованы: поскольку, если 9 точек определяют линию третьего порядка, то из 9 точек можно задать только одну линию этого порядка: так же, как с двумя заданными точками можно нарисовать только одну прямую линию, а с пятью заданными точками - только одно коническое сечение. Следовательно, если общее уравнение для линий порядка n определяется точками, через которые должна пройти линия, не будет возможно, чтобы более одной линии этого порядка проходило через столько точек, сколько задано формулой . Поэтому не в следствиях, которые мы только что вывели из первого утверждения, мы должны искать источник этих противоречий. Поэтому все, что остается, - это заподозрить первое утверждение, как источник ошибки, каким бы обоснованным оно ни казалось ранее.XI. Фактически, после тщательного рассмотрения первого утверждения, мы заметим, что могут быть некоторые случаи, когда заданных точек недостаточно для определения кривой порядка n, которую можно провести через эти точки. Или, что равносильно тому, что уравнения не достаточны для определения такого количества коэффициентов или для определения отношения между коэффициентами + 1, даже если эти коэффициенты присутствуют в каждом из уравнений и занимают только одно измерение. Более того, это простейший случай, когда несколько неизвестных должны быть определены с помощью такого же числа уравнений, поскольку при последовательном исключении этих неизвестных величин, один из них остается в первой степени, поэтому мы никогда не найдем более одного значения для каждого неизвестного, что, следовательно, всегда будет истенно.Эти обстоятельства, кажется, подтверждают истинность первого утверждения и освобождают его от всех исключений.XII. Однако мы больше не будем сомневаться в том, что мы должны применить определенное ограничение к первому утверждению, без которого оно не может быть правдой вообще, как только мы учтем следующие замечания. Прежде всего, чтобы начать с самого простого случая, я говорю, что может случиться так, что двух уравнений недостаточно для определения значений двух неизвестных, даже если оба они присутствуют в каждом из этих двух уравнений и все же определяют только одну величину. Для одного нужно только рассмотреть два уравнения: 3x − 2y = 5 и 4y = 6x − 10, и сначала увидим, что здесь невозможно определить два неизвестных x и y: для исключения переменной x другая переменная исчезает, и получается уравнение тождества, из которого ничего нельзя определить. Причина этого появления теперь становится понятной, поскольку второе уравнение можно записать как 6x − 4y = 10, которое, будучи ничем иным, как первым, 3x − 2y = 5, удвоенным, не отличается от него. Вот почему, когда говорят, что для определения двух неизвестных переменных достаточно иметь два уравнения, необходимо добавить это ограничение к этому предложению: эти два уравнения отличаются друг от друга или что одного в другом нет, и только с этим ограничением допустимо упомянутое выше утверждение. XIII. Во-вторых, легко понять, что трех уравнений может не хватить для определения трех неизвестных переменных. Ибо, если это произойдет, как в предыдущем примере, одно из трех уравнений присутствует в одном из двух других, и в этом случае три уравнения составляют только два; тогда будет невозможно определить три неизвестных. Например, если у кого-то были бы эти три уравнения: 4x − 6y + 10z = 16 3x − 5y + 7z = 9 2x − 3y + 5z = 8 ясно, что первое, не отличающееся от третьего, ничего не дает для определения трех неизвестных x, y и z. Но есть также некоторые случаи, когда одно из трех уравнений совместно содержится в двух других, Например, если у кого-то были бы эти три уравнения: 2x − 3y + 5z = 8 3x − 5y + 7z = 9 x − y + 3z = 7 где сумма второго и третьего равна двойному из первого. В этом случае можно опустить любое из этих трех уравнений по своему желанию, и оно будет таким же, как если бы было только два уравнения. Таким образом, когда говорят, что для определения трех неизвестных достаточно иметь три уравнения, необходимо добавить ограничение, что эти три уравнения отличаются таким образом, что ни одно из них уже не присутствует в других. XIV. То же самое с четырьмя уравнениями, которые не позволяют определить четыре неизвестные переменные, за исключением случая, когда все они отличаются друг от друга или что ни одно из них уже не содержится в других. Ибо, если одно из них уже содержится в трех других, эти четыре уравнения должны рассматриваться так, как если бы их было только три. Может даже случиться, что два уравнения уже содержатся в двух других, и, таким образом, в расчете останутся только два уравнения, и, как следствие, два неизвестных останутся неопределенными. Например, если взять эти четыре уравнения: 5x + 7y − 4z + 3v − 24 = 0 2x − 3y + 5z − 6v − 20 = 0 x + 13y − 14z + 15v + 16 = 0 3x + 10y − 9z + 9v − 4 = 0 то их всего два. Извлекая из третьего значение  и подсталяем его во второе значение, получим: и  эти два значения x и y, подставляемые в первое и четвертое уравнение, приведут к тождествам, так что величины z и v останутся неопределенными. XV. Те же самые случаи могут быть в любом количестве уравнений, которые можно задать, по той причине, что хотя можно иметь столько уравнений, сколько существует неизвестных, их может быть недостаточно для определения всех их. Ведь одна из неизвестных величин останется неопредел енной, если одно из заданных уравнений содержится в других. Кроме того, две или более неизвестных величин останутся неопределенными, если среди уравнений есть два или три, которые уже содержатся в других и которые, следовательно, ничего не вносят в определение неизвестных. Вот почему, когда утверждают, что для определения n неизвестных величин достаточно иметь n уравнений, объясняющих их взаимную связь, необходимо сделать следующее ограничение: все уравнения отличаются друг от друга, или что нет ни одного, которое уже содержится в других. XVI. После этих замечаний легко признать, что число точек, которые в соответствии с первым утверждением достаточно для определения кривой определенной степени, может в некоторых случаях быть недостаточным, поскольку это определение сводится к определению определенного числа коэффициентов с помощью такого же числа уравнений, которые, как мы только что видели, иногда могут быть недостаточными для их определения. Чтобы понять эти случаи, я сначала рассмотрю общее уравнение для прямой линии первого порядка: αx + βy + γ = 0, и имея две точки, через которые должна пройти линия этого порядка. Выбрав произвольную линию для оси, пусть a и b будут координатами первой точки, а c и d – второй точки. То есть для первой точки у одного будут x = a и y = b, а для других x = c и y = d, из которых мы можем извлечь два уравнения: αb + βa + γ = 0 αd + βc + γ = 0 Разность этих уравнение дает нам:  Следовательно, связь между α и β всегда будет определяться, если только это не тот случай, когда c = a и d = b, и в этом случае две точки совпадают друг с другом. Поэтому две точки определяют прямую линию при условии, что они не совпадают. Это ограничение распространяется на описание всех других изогнутых линий, поскольку две совпадающие точки рассматриваются как одна единственная точка. XVII. Общее уравнение для кривых второй степени: αx2 + βxy + γy2 + δx + εy + ζ = 0, для которых даны пять точек, через которые нужно описать кривую второго порядка. Чтобы упростить этот расчет, возьмем в качестве оси прямую линию, которая проходит через две из этих точек. Другая линия, проведенная через одну из этих двух точек и третью, представляет наклон ординат, поскольку не имеет значения, перпендикулярны ли они оси или нет. Учитывая это, пусть значения x и y для этих пяти заданных точек будут:
Отсюда мы получим пять следующих уравнений: (I) ζ = 0 (II) αa2 + δa + ζ = 0 (III) γb2 + εb + ζ = 0 (IV) αc2 + βcd + γd2 + δc + εd + ζ = 0 (V) αe2 + βef + γf2 + δe + εf + ζ = 0 Из первых трех мы имеем следующее: ζ = 0; δ = −αa; ε = −γb, эти значения, подставляемые в два последних уравнения, дают нам: αc2 + βcd + γd2 −αac − γbd = 0 αe2 + βef + γf2 −αae − γbf = 0 который будет определять желаемую кривую, пока они не эквивалентны. Теперь этот случай произойдет, когда два значения β, которые мы получаем из них, равны  то есть, если  и  или если  и  Здесь мы видим, что пять заданных точек могут быть расположены так, что кривая второго порядка не определяется из них, и поскольку коэффициент остается неопределенным, из этого следует, что бесконечность кривых второго порядка может пройти через эти пять заданных точек. XVIII. Если мы рассмотрим этот случай более подробно, где пять данных точек могут быть недостаточными для определения кривой второго порядка, мы легко заметим, что это происходит, когда четыре из пяти указанных точек лежат на одной прямой. Это станет достаточно ясно, если из уравнений и мы возьмём значения  которые дают (c − e) (ad − ab + bc) = 0. Когда e = c, мы также можем взять f = d и две точки будут совпадать; таким образом, этот случай исчезнет само собой. Поэтому пусть ad − ab + bc = 0 или  и найдем, что  Нам нужно только рассмотреть эти формулы геометрически, чтобы убедиться, что четыре точки расположены на одной прямой. Нетрудно было бы угадать этот случай, так как кривые второго порядка также включают случай двух прямых, расположенных любым произвольным образом, мы признаем, что если три из пяти указанных точек находятся на прямой линии, эта линия будет частью кривой второго порядка, а другая линия, соединенная с ней, будет определяться двумя другими точками. Теперь, если четыре точки лежат на прямой линии, это будет частью желаемой нами кривой, но другая часть или другая прямая линия пройдет через пятую точку и, не имея другого определения, может быть нарисована произвольно. Если все пять заданных точек были расположены на одной прямой, эта же прямая с любой другой произвольной линией удовлетворит вопрос; следовательно, этот случай будет еще менее определенным, чем предыдущий. XIX. Общее уравнение кривых третьего порядка: αx3 + βx2y + γxy2 + δy3 + εx2 + ζxy + ηy2 + θx + ιy + κ = 0, необходимо определить девять коэффициентов с точки зрения десятого, чтобы определить уравнение или кривую этого порядка. Таким образом, если заданы девять точек, через которые должна пройти эта кривая, каждая из которых содержит уравнение, кривая будет определена, если все эти девять уравнений отличаются друг от друга, и нет ни одной, которая уже входит в другие. Теперь легко понять, что существует бесконечное число случаев, когда не только одно, но также два или многие из девяти уравнений уже могут содержаться в других: и, следовательно, кривая в этом случае не будет определена девятью указанными точками, но один снова прибавит сюда десятую и даже одиннадцатую или двенадцатую, чтобы определение стало полным. Однако довольно сложно определить эти общие случаи, как я это сделал для кривых второго порядка, поскольку вычисление становится слишком сложным из-за большого числа точек и коэффициентов. Тем не менее, нетрудно обнаружить много частных случаев, когда этот дефект в определении будет иметь место. Из них легко сделать вывод, что число таких случаев может быть бесконечным, что достаточно для моих целей. XX. Известно, что общее уравнение третьего порядка также включает, помимо кривых этого порядка, либо три прямые линии, либо одну прямую линию, соединенную с коническим сечением. Таким образом, если четыре из девяти заданных точек расположены на прямой линии, прямая линия, проведенная этими четырьмя точками, будет составной частью требуемой фигуры, поскольку кривые этого порядка не содержат четырех точек на прямой линии, и другие пять точек будут определять другую часть, которая будет либо одним коническим сечением, либо двумя прямыми; таким образом, существует определенность, как мы уже наблюдали в предыдущем случае. Но давайте предположим, что 5 точек расположены по прямой линии, которая будет составлять часть фигуры, и ясно, что остальные 4 точки не достаточны для определения другой части. Следовательно, в этом случае нам понадобится 10 точек, чтобы определить фигуру: теперь, если здесь 6 из указанных точек расположены по прямой линии, требуется еще 5, и, следовательно, всего нам понадобится 11 точек, чтобы полностью определить вопрос. Более того, отсюда очевидно, что может случиться так, что некоторого большого числа точек недостаточно для определения одной кривой третьего порядка, которая должна проходить через все эти точки. XXI. Поскольку эти случаи могут происходить только по прямым линиям, которые включены в общее уравнение кривой третьего порядка, можно сомневаться, может ли то же самое происходить на кривых третьего порядка, или если девяти точек может быть недостаточно для определения кривой этого порядка. Чтобы доказать, что это так, я рассмотрю только один случай, когда девять заданных точек b, c, d, e, f, g, h, i, j расположены в квадрате: b c d · · · e f g · · · h i j · · · Пусть ось проведена через точки e, f, g, и пусть точка f будет началом координат. Обозначая расстояние между двумя точками равной a, мы будем иметь соответствующие абсциссе x = 0 три значения ординаты y, которые равны 0, +a и -a, и эти же три значения также будут соответствовать абсциссе x = а, х = -а. Следующее уравнение будет соответствовать этим значениям: my (yy-aa) = nx (xx-aa), где соотношение между коэффициентами m и n может быть произвольным, так что можно обозначить бесконечное число кривых третьего порядка, которые все проходят через эти заданные точки. XXII. Конечно, верно, что это уравнение также включает в себя прямые и конические сечения: потому что если n = 0, у него будет три прямые bd, eg и hj. Если m = 0, одна будет иметь три прямые линии bh, ci и dj. Если m = n, то будем иметь прямую линию bfj и эллипс, проведенный через точки c, d, g, e, h, i. Если m = −n, кривая третьего порядка будет состоять из прямой dfh и эллипса, который проходит через точки b, c, e, g, i, j. Но во всех других отношениях, которые ставятся между m и n, всегда будет иметь истинную кривую линию, которая проходит через 9 заданных точек. Из этого легко понять, что каждый раз, когда две кривые третьего порядка пересекаются в 9 точках, эти точки будут такими, что они не будут полностью определять кривую третьего порядка, и что в общем уравнении после применения его к этим девяти точкам, коэффициент останется неопределенным. Следовательно, в этих случаях будут не только две кривые третьего порядка, но и бесконечность кривых этого порядка, которые можно описать этими девятью точками. XXIII. Когда две линии четвертого порядка пересекаются в 16 точках, поскольку 14 точек, которые приводят к уравнениям, отличным друг от друга, достаточно для определения кривой этого порядка, эти 16 точек всегда будут такими, что три или более уравнений, которые вытекают из них, уже содержатся в других. Так что эти 16 точек не определяют больше, чем если бы было 13 точек, или 12, или даже меньше, и, следовательно, чтобы определить всю кривую, можно добавить одну или две точки к этим 16. То же самое произойдет, если две кривые пятого порядка пересекаются друг с другом в 25 точках, которые, не будучи достаточными для определения кривой, содержат не более 19 или даже 18, так что 6 или 7 точек являются избыточными: и, следовательно, эти 25 точек всегда расположены так, что, как только кривая пройдет через 19 из этих точек, она автоматически пройдет через другие, или будет невозможно, чтобы она прошла через 19 точек, не пройдя через все 25 точек одновременно. Эти размышления, будучи хорошо сформированными, легко разрешат все другие трудности, которые могут возникнуть из сравнения двух общих положений, о которых я сообщил в начале этой дискуссии. Перевод англ. Версии оригинала The Euler Archive E147, (http://eulerarchive.maa.org/) выполнил студент гр. БИ-11 Шестаков Андрей |