Лекция № 1 Обобщенная структурная схема системы передачи информа. Обобщенная структурная схема системы передачи информации

• Название: Обобщенная структурная схема системы передачи информации
• Дата: 11.05.2022
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: Лекция № 1 Обобщенная структурная схема системы передачи информа.docx
• Тип: Документы; #522622

Л
екция № 1. Обобщенная структурная схема системы передачи информации. Ортогональные и ортонормальные системы функций.
Цель: Рассмотреть обобщенную структурную схему системы передачи информации и ортогональные представления сигналов измерительной информации.
План:

1. 
   Обобщенная структурная схема системы передачи информации.
   
2. 
   Виды сигналов измерительной информации.
   
3. 
   Временная форма представления сигнала.
   
4. 
   Ортогональные представления сигналов.
   
5. 
   Ортогональные и ортонормальные системы функций
   
6. 
   Кусочно-постоянные ортогональные функции: Радемахера, Уолша, Хаара
   

1. Обобщенная структурная схема системы передачи информации.

Обобщенная структурная схема системы передачи информации приведена на рис. 1




Рис.1 Обобщенная структурная схема системы передачи информации.
Понятие «информация» является центральным понятием кибернетики. Имеется множество определений понятия «информация»: от наиболее общего философского (информация есть отображение реального мира) до наиболее узкого практического (информация есть сведения, являющиеся объектом хранения, передачи и преобразования).

Понятие «информация» есть научное подтверждение гипотезы, что вся материя обладает свойством отражения. Понятие «отражение» как свойство всей материи более общее, чем понятие «информация», являющееся понятием кибернетики и встречающееся только у организованных систем материи, живых организмов и в обществе.

Различают понятия «информация» и «сообщение».

Сообщение – это форма представления информации. При телеграфной передаче – это текст телеграммы, при разговоре – механические колебания с различной частотой и интенсивностью голосовых связок, при измерении – показания измерительного прибора.

Сообщение для передачи его в соответствующий адрес должно быть преобразовано в сигнал. Под сигналом понимается изменяющаяся физическая величина (физический процесс) однозначно отображающая передаваемое сообщение с заданной точностью и пригодная для обработки и передачи на расстояние. Сигнал – это материальный носитель сообщения. Физическая среда, по которой происходит передача сигналов от передатчика к приемнику, называется линией связи.

В широком смысле преобразование сообщений в сигнал называется кодированием сообщений. В узком смысле кодирование – это отображение дискретных сообщений сигналами в виде определенных сочетаний символов. Устройство, осуществляющее кодирование называется кодером.

С помощью кодирующего устройства сообщение, которое может иметь любую физическую природу, преобразуется в первичный сигнал (для технических устройств обычно в электрический сигнал). Для преобразования первичного сигнала к виду, пригодному для использования в линии связи предназначается передатчик. В передатчике осуществляется воздействие на один или несколько параметров несущей частоты. Этот процесс называется модуляцией, а модулируемые параметры называются информативными. Пример:

При передаче сигналы подвергаются воздействию помех. Под помехами подразумеваются любые мешающие внешние возмущения или воздействия (атмосферные помехи, посторонние источники сигналов), а также искажения сигналов в самой аппаратуре (аппаратурные помехи).

На приемной стороне осуществляется обратная операция декодирования, т.е. восстановления по принятому сигналу переданного сообщения. Решающее устройство осуществляет обработку принятого сигнала с целью наиболее полного извлечения из него информации (фильтрация, ограничение, интегрирование, перемножение, сложение и т.д.)

Декодирующее устройство (декодер) преобразует принятый сигнал к виду, удобному для восприятия информации.
2. Виды сигналов измерительной информации.

Сигнал, как материальный носитель сообщения, представляет собой некоторый физический процесс, один из параметров которого функционально связан с измеряемой величиной х. Такой параметр (у) называется информативным. Существует множество различных видов сигналов. Важным классификационным признаком сигналов является характер их изменения во времени и по информативному параметру (у). Часто изменение сигнала по информативному параметру называют изменением по уровню.

Рассмотрим основные виды сигналов, используемых в ИИС.

1. 
   Непрерывные (аналоговые) по уровню и времени.
   

Рис. 2. Сигналы, непрерывные (аналоговые) по уровню и времени.
,
– измеряемая величина,

– информативный параметр.

Для постоянных токов и напряжений информативными параметрами являются их мгновенные значения.

В гармонических сигналах информативными параметрами могут быть амплитуда A, угловая частота или фаза .

Изменение информативного параметра гармонического сигнала в соответствии с изменением измеряемой величины х, называют модуляцией этого сигнала (рис.3).

Если с изменением х в гармоническом сигнале меняется один из параметров A, или , то говорят, что осуществляется, соответственно, амплитудная (АМ) (рис.3a), частотная (ЧМ) (рис.3б) или фазовая (ФМ) (рис.3в) модуляции.

При фазовой модуляции фаза сигнала определяется относительно второго (опорного) гармонического сигнала у₀.

a)		АМ ω– const, φ– const, A– var.
б)		ЧМ ω– var, φ– const, A– const.
в)		ФМ φ – var, ω – const, A– const.

Рис. 3 Виды модуляций сигналов: а) Амплитудная модуляция; б) Частотная модуляция; в) Фазовая модуляция.

2. 
   Непрерывные сигналы по уровню и дискретные по времени.
   

Теоретическая и реальная модель сигналов, непрерывных по уровню и дискретных по времени приведена на рис. 4

а)
б)
в)

Рис. 4. Теоретическая и реальная модели сигнала: а) Измеряемая физическая величина; б) Теоретическая модель амплитудно-импульсной модуляции; в) Реальная модель амплитудно-импульсной модуляции.
В реальных системах информативными параметрами могут быть амплитуда, частота или длительность , при этом в зависимости от того, какой из этих параметров функционально связан с х, имеет место соответственно амплитудно-импульсная модуляция (АИМ), частотно-импульсная модуляция (ЧИМ) (рис. 5,а) или широтно-импульсная модуляция (ШИМ) (рис. 5,б) сигнала.

а) б)		ЧИМ Т - var, - const. ШИМ
		 - var, Т- const.

Рис. 5 Виды модуляции; a)Частотно-импульсная модуляция; б)Широтно-импульсная модуляция.
2.3. Сигналы, непрерывные по времени и квантованные по уровню.

В таких сигналах информативный параметр может принимать только некоторые разрешенные уровни у_i, отстоящие друг от друга на конечные интервалы (кванты) у.

Рис. 6.Сигналы, непрерывные по времени и квантованные по уровню.

2.4. Сигналы, дискретные по времени и квантованные по уровню.


Рис. 7 Сигналы, дискретные по времени и квантованные по уровню.

Для описания реальных физических сигналов применяют различные математические модели сигналов:

1. Квазидетерминированные сигналы, т.е. сигналы, у которых известен вид функции, описывающей сигнал, а неизвестными (информативным) являются ее параметры.

2. Случайные сигналы. Сигнал рассматривается как случайный процесс. Описание таких сигналов основывается на теории вероятностей и теории случайных функций. В этом случае изменение сигнала во времени и пространстве характеризуется законом распределения, математического ожиданием, дисперсией и корреляционной функцией.

3. Сигналы представляют в виде комбинации случайной и детерминированной составляющих, в частности в виде суммы сигнала измерительной информации (квазидетерминированная составляющая) и помехи (случайная составляющая).
3.Временная форма представления сигнала.

Рассмотрим примеры моделей квазидетерминированных сигналов.

1. 
   При скачкообразном изменении измеряемой величины x(t), сигнал y(t) на выходе безинерционного измерительного преобразователя может быть записан с использованием единичной ступенчатой функции (рис. 8).
   

Рис.8 Единичная ступенчатая функция
С помощью этой функции сигнал измерительной информации может быть записан в виде:
,
где – коэффициент преобразования

Схема получения одиночного прямоугольного импульса приведена на рис. 9

Рис. 9 Схема получения одиночного прямоугольного импульса.

2. 
   Амплитудно - модулированный гармонический сигнал.
   

Амплитудно - модулированный гармонический сигнал приведен на рисунке 10.


Рис.10 Амплитудная модуляция гармонического сигнала.
На рисунке 10 обозначено:
, - изменение физической величины

, - изменение модулированного сигнала.
где – частота несущих колебаний; >>

m – коэффициент амплитудной модуляции, определяющий влияние x(t) на амплитуду синусоидальных колебаний; m=x/ ;

x – девиация амплитуды.

Учитывая, что

coscos = ½[cos(+)+cos(-)],

получим

Видно, что в сигнале присутствуют колебания трех частот: _0,₀-₁ и _,₀+₁

(рис. 11):


Рис. 11 Спектральные составляющие с частотами _0,₀-₁ и _,₀+₁

3. 
   Периодическая последовательность прямоугольных импульсов.
   

Периодическая последовательность прямоугольных импульсов приведена на рисунке 12.

Для описания периодической последовательности прямоугольных импульсов постоянного тока применяют выражение:

где Y_m – амплитуда импульсов,

 - длительность импульсов.

T = t_k+1-t_k – период


Рис. 12 Периодическая последовательность импульсов.
4. Амплитудно-импульсно модулированный периодический сигнал.

Для его математического описания используют следующее выражение:

5. Представление сигналов с помощью –функции.

–функция определяется в соответствии с выражением:




При этом выполняется следующее соотношение:

В общем случае  – функция определяется как:

	при t = при t 

С помощью  функции можно выразить значение реального сигнала U(t) в конкретный момент времени .


-это равенство, называемое стробирующим свойством -функции, справедливо для любого текущего момента времени t. Заменив на t и приняв в качестве переменной интегрирования , получим:

Реакцию системы на произвольный входной сигнал можно определить как суперпозицию реакций на бесконечную последовательность смещенных  функций с «площадями», равными соответствующим значениям входного сигнала.

Сигналы измерительной информации могут быть описаны на интервале времени t суммой относительно простых функций. В общем случае, для точного описания сигнала, необходимо использовать бесконечный ряд:


где – интервал существования сигнала

В качестве нашли применение полиномы Лагранжа, Лагерра, Лежандра, Чебышева и др.

При выбранном наборе базисных функции сигнал y(t) полностью определяется совокупностью безразмерных коэффициентов С_к. Такие совокупности чисел называются дискретными спектрами сигналов.

Для теоретического анализа базисные функции _к(t) нужно выбирать так, чтобы они имели простое аналитическое выражение, обеспечивали быструю сходимость ряда.

В случае практической аппроксимации реального сигнала совокупностью базисных сигналов, решающее значение приобретает простота их технической реализации.

4.Ортогональные представления сигналов.

Вычисление спектральных составляющих сигнала облегчается при выборе в качестве базиса разложения системы ортогональных функций.

Систему функций ₀(t), ₁(t),_к(t), …_l(t),…,_n(t) называют ортогональной на отрезке , если для всех k и 1 за исключением случая k = 1, удовлетворяется условие

Эта система функций будет ортонормированной (ортонормальной) , если для всех 1

Если это соотношение не выполняется и

то систему можно нормировать, умножая функции _l(t) на 1/

Определим коэффициенты С_k при представлении сигнала y(t) совокупностью ортонормированных функций в виде:
, (1)
Правую и левую части уравнения (1) умножаем на _к(t) и интегрируем на интервале :

В этом уравнении, в силу ортонормированности, остается член суммы с номером k.

Тогда имеем:

или, с учетом ортонормированности:

Широко известной ортонормированной системой является совокупность тригонометрических функций:
, , , k=1,2,3
Она ортогональна на отрезке [- , ]. Так как соответствующее разложение исторически появилось первым, и было названо рядом Фурье, то соотношение (1) называют обобщенным рядом Фурье, а значения С_к - обобщенными коэффициентами Фурье.
5. Ортогональные и ортонормальные системы функций

Сигналы измерительной информации могут быть разложены по различным ортогональным системам функций . Систему функций

0(t),1(t),…, k(t), …, l(t), …, n(t)

(2)

называют ортогональной на отрезке [t₁, t₂], если для всех k и l за исключением случая k = l, удовлетворяется условие

.

(3)

При этом предполагается, что
,
т.е. никакая из функций рассматриваемой системы (2) не равна нулю.

Условие (3) выражает попарную ортогональность функций системы (2).

Величина



называется нормой функции .

Функция для которой выполняется условие:

называется нормированной функцией, а система нормированных функций в которой каждые две различные функции взаимно ортогональны, называется ортонормированной системой.

В математике доказывается, что если функции непрерывны, то произвольная кусочно-непрерывная функция y(t), для которой выполняется условие:

,

может быть представлена в виде суммы ряда:



В общем случае, для точного описания сигнала, необходимо использовать бесконечный ряд:
(4)
где [t₁,t₂] – интервал существования сигнала.

При выбранном наборе базисных функции сигнал y(t) полностью определяется совокупностью безразмерных коэффициентов С_к. Такие совокупности чисел называются дискретными спектрами сигналов.

Для теоретического анализа базисные функции _к(t) нужно выбирать так, чтобы они имели простое аналитическое выражение, обеспечивали быструю сходимость ряда.

В случае практической аппроксимации реального сигнала совокупностью базисных сигналов, решающее значение приобретает простота их технической реализации.

Вычисление спектральных составляющих сигнала облегчается при выборе в качестве базиса разложения системы ортогональных функций.

Определим коэффициенты С_к при представлении сигнала y(t) совокупностью ортонормированных функций в виде:
.
Правую и левую части уравнения умножаем на _k(t) и интегрируем на интервале [t₁, t₂]:
.
В этом уравнении, в силу ортогональности, все слагаемые вида

при обращаются в нуль. В правой части остается одно слагаемое с номером k.

.
Тогда имеем:


Ортонормированной системой является совокупность тригонометрических функций:

Она ортогональна на отрезке [-, ]. Так как соответствующее разложение исторически появилось первым и было названо рядом Фурье, то ряд (4) называют обобщенным рядом Фурье, а значения С_к – обобщенными коэффициентами Фурье.
5 . Кусочно-постоянные ортогональные функции

Кроме тригонометрических ортогональных функций могут применяться в качестве базисных и другие ортогональные функции. Особое значение приобретает использование кусочно-постоянных функций, основными среди которых являются функции Радемахера, Уолша и Хаара. Применение преобразования Фурье требует выполнение большого числа умножений на меняющиеся от точки к точке значения косинуса или синуса, которые занимают большую часть машинного времени. Кусочно-постоянная базисная функция имеет на выделенном интервале времени постоянное значение 1, -1 или 0. Поэтому основной причиной применения в качестве базисных кусочно-постоянных базисных функций является существенное упрощение и ускорение обработки информации.

1. 
   Функции Радемахера
   

Функции Радемахера (рис. 13) заданы для значений t в интервале от 0 до Т (Т – период функции). Если использовать относительные единицы то функции Радемахера задаются в интервале от 0 до 1. Любые две из этих функций взаимно ортогональны. Если за основу принять синусоидальное колебание , где m – целое положительное число, и принять для произвольной величины k, что sign k = 1 при k >0 и sign k = -1 при k <0, то функции Радемахера можно представить в следующем виде:
.

Рис. 13. Функции Радемахера.

Используется также обозначение

Функции Радемахера являются периодическими .

В отличие от полного набора синусоид и косинусоид, все функции Радемахера нечетные и, следовательно, не могут быть использованы для аппроксимации четных сигналов. Они образуют неполный набор функций. Поэтому применение их ограничено.

Полными ортогональными системами базисных кусочно-постоянных функций являются системы функций Уолша и Хаара.

2. .Ортонормированная система функций Уолша

Отрезок существования функций [-Т/2, Т/2], принимаемые значения 1. Если ввести безразмерное время то k-ую функцию Уолша можно обозначить символом .

На рис. 14 приведены первые 8 функций Уолша.

Все функции Уолша ортонормированные, т.е.

и ортогональные.

Покажем ортогональность функций Уолша 1-го и 2-го порядков:
.
Разложение сигнала, заданного на отрезке [-Т/2, Т/2] в обобщенный ряд Фурье по функциям Уолша, имеет вид:
Рис. 14. Первые 8 функций Уолша.
.
Функции Уолша могут быть представлены в виде произведения функций Радемахера . В таблице 1 приведены 15 функций Уолша, выраженные через функции Радемахера.

Таблица 1.

Выражение функций Уолша через функции Радемахера

n	n в коде Грея					wal(n,θ)
	4	3	2	1
0	0	0	0	0	wal(0,θ)=1
1	0	0	0	1	wal(1,θ)=rad(1,θ)
2	0	0	1	1	wal(2,θ)=rad(1,θ)rad(2,θ)
3	0	0	1	0	wal(3,θ)=rad(2,θ)
4	0	1	1	0	wal(4,θ)=rad(2,θ)rad(3,θ)
5	0	1	1	1	wal(5,θ)=rad(1,θ)rad(2,θ)rad(3,θ)
6	0	1	0	1	wal(6,θ)=rad(1,θ)rad(3,θ)
7	0	1	0	0	wal(7,θ)=rad(3,θ)
8	1	1	0	0	wal(8,θ)=rad(3,θ)rad(4,θ)
9	1	1	0	1	wal(9,θ)=rad(1,θ)rad(3,θ)rad(4,θ)
10	1	1	1	1	wal(10,θ)=rad(1,θ)rad(2,θ)rad(3,θ)rad(4,θ)
11	1	1	1	0	wal(11,θ)=rad(2,θ)rad(3,θ)rad(4,θ)
12	1	0	1	0	wal(12,θ)=rad(2,θ)rad(4,θ)
13	1	0	1	1	wal(13,θ)=rad(1,θ)rad(2,θ)rad(4,θ)
14	1	0	0	1	wal(14,θ)=rad(1,θ)rad(4,θ)
15	1	0	0	0	wal(15,θ)=rad(4,θ)

Номера функций Радемахера, образующих функции Уолша , определяются по номерам последних, выраженным в двоичном коде Грея. Номера перемножаемых функций Радемахера отвечают номерам разрядов, в которых имеются единицы, закодированного кодом Грея числа n. Разряды отсчитываются, начиная с младшего разряда (справа на лево). Код Грея связан следующим образом с обычным двоичным кодом. Если в обычной двоичной системе счисления число n = a_k-1a_k-2…a₀, то в коде Грея n = b_k-1b_k-2…b₀, где b₀ = a₀+a₁, b₁ = a₁+a₂, …, b_k-1 = a_k-1; + - знак суммирования по модулю два.

Функции Уолша могут быть заданы и для других интервалов изменения , например, в интервале .

3. 
   .Система функций Хаара (рис. 15).
   

Рис. 15. Функции Хаара.
Функция Хаара принимает на разных участках интервала ее задания три различных значения, одно из которых нуль, а два других разные.

Контрольные вопросы:
1. Виды сигналов измерительной информации.

2. Временная форма представления сигнала.

3. Ортогональная и ортонормальная система функций.

4. Базисный набор функций.

5. Обобщенный ряд Фурье.

6. Определение коэффициентов .

7. Кусочно – постоянные ортогональные функции.

8. Функции Радемахера.

9. Функции Уолша.

10. Функции Хаара.

11. Определение функций Уолша через функции Радемахера