Расчетка. Обработка результатов многократных равноточных измерений сопротивления с помощью моста постоянного тока
 Скачать 0.99 Mb.
|
|
Обработка результатов многократных равноточных измерений сопротивления с помощью моста постоянного тока 1. Измерение сопротивлений мостом постоянного тока Мосты постоянного тока предназначены для измерения малых и средних сопро- тивлений. Они являются приборами сравнения, в которых в процессе каждого изме- рения происходит сравнение измеряемого сопротивления с мерой. В качестве меры используются эталонные резисторы, образующие три плеча моста. В мостах постоянного тока используется нулевой метод сравнения с мерой. Одна диагональ моста подключается к источнику питания, а другая диагональ – к ин- дикатору равновесия моста (нуль-индикатору), который фиксирует отсутствие тока в этой диагонали. По конструкции мосты делят на: одинарные (четырехплечие) и двойные (ше- стиплечие). Как правило, индикатором равновесия в них служат гальванометры по- стоянного тока (стрелочные или зеркальные с оптическим указателем). В лаборатор- ной работе будут рассматриваться только одинарные мосты постоянного тока (далее – мосты постоянного тока), как наиболее распространенные. Главное достоинство мостов постоянного тока для измерения сопротивлений – высокая точность (в ряде приборов погрешность не превышает 0,001 %). Это объяс- няется применением метода сравнения в процессе измерения, точностью мер эталон- ных резисторов и высокой чувствительностью гальванометра. К недостаткам мостов постоянного тока следует отнести: сложность конструкции, высокую стоимость, большое время измерения. На рис. 1 приведена принципиальная электрическая схема одинарного моста. C G R X R 2 D R 3 R 4 A B U ПИТ I 1 I Г I 3 I 2 I 4 Рис. 1. Принципиальная электрическая схема одинарного моста постоянного тока На схеме (рис. 1) обозначены: R Х , R 2 , R 3 , R 4 – плечи моста; CD – диагональ пи- тания; AB – измерительная диагональ; R X – измеряемое сопротивление; R 2 и R 3 – эта- лонные сопротивления в плечах отношения, обеспечивающие выбор разных пределов измерения; R 4 – магазин сопротивлений для уравновешивания моста и получения ре- зультата; G – гальванометр. Для выполнения условий равновесия моста необходимо добиться отсутствия тока I Г в измерительной диагонали моста. Это достигается при условии равенства по- тенциалов узлов A и B (разность потенциалов равна нулю). Если потенциалы узлов А и В равны, то падения напряжения на плечах моста CA и CB также равны между со- бой. Аналогичное равенство будет справедливо и для напряжений на плечах моста BD и AD. Исходя из этого, можно записать выражения U CA = U CB , U BD = U AD . По закону Ома напряжение можно записать как произведение тока в плече мо- ста на его сопротивление: I 1 R X = I 4 R 4 ; I 2 R 2 = I 3 R 3 ; (1) Учитывая, что при равновесии моста ток в цепи гальванометра равен нулю (I Г =0), то по первому закону Кирхгофа для узлов А и В получим равенство токов I 1 = I 2 и I 3 = I 4 . Разделив равенства (1) друг на друга, получим условие равновесия одинарного моста: R Х /R 2 = R 4 /R 3 . (2) Из выражения (2) значение измеряемого сопротивления R X можно выразить следующим образом R Х = R 4 R 2 /R 3 = R 4 N, (3) где N – множитель плеч отношения; R 4 – сопротивление магазина сопротивлений. Процесс достижения равенства (3) называется уравновешиванием моста, которое можно выполнять двумя способами: 1) регулированием отношения сопротивления R 2 /R 3 при некотором неизменном значении сопротивления R 4 (мосты с переменным отношением плеч); 2) регулирование сопротивления R 4 при неизменном отношении сопротивлений R 2 /R 3 (мосты с постоянным отношением плеч). Индикатором равновесия моста является гальванометр, фиксирующий отсут- ствие тока в измерительной диагонали. Чувствительность гальванометра (минималь- ное значение тока, фиксируемое гальванометром) является важным параметром, вли- яющим на точность измерений. Чем меньший ток может измерять гальванометр, тем больше будет приближение к равновесию моста. Как правило, чувствительность галь- ванометра составляет единицы микроампер. 2. Обработка результатов многократных равноточных измерений. Определение случайной погрешности измерений 2.1. Теоретические сведения По определению случайная погрешность измерения – это составляющая по- грешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и зна- чению) при повторных, проведенных с одинаковой тщательностью, измерениях од- ной и той же физической величины. Таким образом, в отличие от систематической погрешности, проявляющейся закономерно, случайная погрешность не может быть определена по результату од- ного измерения. Для оценки случайной погрешности необходимо осуществить мно- гократные равноточные измерения одной и той же величины. Равноточные измерения – это ряд измерений какой-либо физической вели- чины, выполненных: а) одинаковыми по точности средствами измерений; б) в одних и тех же условиях; в) с одинаковой тщательностью. Выполнение всех трех условий позволяет обеспечить одинаковую системати- ческую составляющую погрешности каждого отдельного измерения в ряду. В этом случае разброс результатов в ряду будет объясняться только влиянием случайных процессов, а математическая обработка такого ряда значений позволит оценить именно случайную составляющую погрешности. Следовательно, перед обработкой ряда измерений, необходимо убедиться в том, что все измерения этого ряда являются равноточными. Случайные погрешности при измерении возникают по многим причинам. Не- которые незначительные отклонения (флуктуации) изначально могут присутствовать в самой измеряемой величине. Измерительный сигнал может суммироваться с раз- личного рода помехами при его передаче по измерительной цепи. В самом приборе могут возникать процессы, приводящие к разбросу показаний (например, шумы уси- лителей, нестабильность источников питания и параметров элементов прибора). При измерении сопротивления мостом постоянного тока разброс результатов можно объяснить, например, незначительными изменениями переходных сопротив- лений контактов переключателей в магазине сопротивлений при изменении их поло- жения, особенностями функционирования механических частей гальванометра, не- возможностью идеального уравновешивания моста (получения абсолютного нуля тока через гальванометр). В любом случае, на процесс измерения в целом или измерительный прибор в частности воздействует сочетание факторов, закономерности проявления которых при измерении не известны. Следовательно, при любом количестве выполненных из- мерений физической величины предсказать значение любых последующих результа- тов измерения той же самой величины можно только с некоторой вероятностью. В различных измерительных задачах разброс результатов и случайная погреш- ность могут сильно отличаться. В измерениях средней и низкой точности с использо- ванием приборов с низкой чувствительностью возможный разброс результатов в ряду может быть просто неразличим. В этом случае случайную погрешность опреде- лить невозможно. При использовании достаточно чувствительных приборов с высо- ким разрешением может быть получен ряд, пригодный для определения случайной погрешности. После получения ряда результатов измерения, имеющих определенный раз- брос, необходимо определить, что считать результатом измерения, и какими показа- телями характеризовать случайную погрешность результата. Для получения количественных значений, характеризующих случайные про- цессы, используют математический аппарат теории вероятностей и математической статистики. Поведение случайной величины принято описывать законом распределе- ния случайной величины р(∆) – плотность вероятности случайной величины р. Реальный закон распределения случайной величины может быть получен экс- периментально, а затем описан аналитически каким-либо математическим выраже- нием. В большинстве случаев для описания случайных погрешностей используют нормальный закон распределения (законГаусса). Математическое выражение закона имеет вид: р(∆) = 1 𝜎√2𝜋 ∙ 𝑒 (− ∆ 2 2𝜎 2 ) . (4) где р(∆) – плотность вероятности случайной погрешности ; 𝜎 – средняя квадратическая погрешность (среднее квадратическое отклонение) результатов единичных измерений в ряду измерений; – случайная абсолютная погрешность. Для экспериментального получения закона распределения производят конеч- ное число n экспериментов по определению значений случайной величины (ряд рав- ноточных измерений). Результаты этих измерений распределяются по числовой пря- мой в соответствии с их значениями. 2.1.Условия задачи и ее решение С помощью моста постоянного тока произведено 20 равноточных измерении сопротивления резистора R i . Данные для своего варианта взять в табл. 1. Системати- ческие погрешности в приведенном ряду отсутствуют, а случайные погрешности рас- пределены по нормальному закону (закону Гаусса). Требуется выполнить обработку результатов многократных равноточных измерений. 1. Вычислить среднее арифметическое значение ряда отдельных измерений R СР (Ом) (математическое ожидание, результат измерения, центр тяжести распределе- ния случайной величины R). 𝑅 СР = 𝑅 1 + 𝑅 2 + ⋯ + 𝑅 20 𝑛 . (5) где R 1 , R 2 , … , R n – результаты отдельных измерений; n – число измерений в ряду. 2. Рассчитать остаточные погрешности α i (Ом). Зная R СР , определяют случайные абсолютные погрешности: α 1 = R 1 –R СР , α 2 = R 2 –R СР , …………… (6) α n = R n –R СР , Так как при вычислении погрешностей истинное значение R ИСТ , которое не мо- жет быть известно, заменяется средним значением (R СР R ИСТ ), вычисленные погреш- ности называются остаточными, и обозначаются α. Правильность вычисления оста- точных погрешностей для исходного ряда результатов можно проверить, вычислив сумму α 1 +α 2 +…+α n .Результат вычисления суммы должен быть равен нулю: ∑ 𝛼 𝑖 = 0. 𝑛 𝑖=1 (7) 3. Рассчитать среднюю квадратическую погрешность σ (Ом) результатов еди- ничных измерений в данном ряду. 𝜎 = √ 𝛼 1 2 + 𝛼 2 2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 2 𝑛 − 1 . (8) Параметр σ является не только коэффициентом, определяющим форму графика закона распределения, но и имеет определенный математический смысл. Численное значение σ позволяет оценить, насколько вероятны (часто встречаются) боль- шие и малые случайные погрешности при измерении. При малых значениях σ большие значения погрешностей встречаются реже, чем малые, при больших σ коли- чество больших и малых погрешностей соразмеримо. 4. С помощью правила «трех σ» проверить исходные данные на наличие грубых погрешностей (промахов). Промах (грубая погрешность измерений) – это погрешность результата отдель- ного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко от- личается от остальных результатов этого ряда. Результат с такой погрешностью так Таблица 1 В Измеренные значения сопротивлений, Ом Р R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12 R13 R14 R15 R16 R17 R18 R19 R20 1 99,9 99,8 101,0 100,0 100,0 99,4 100,0 99,8 99,7 100,0 100,0 101,0 100,0 100,0 99,9 120,0 100,0 99,8 100,0 100,0 0,95 2 9,80 9,90 10,50 10,10 10,20 9,40 15,00 9,80 9,70 10,10 10,30 10,70 9,60 9,90 9,80 10,00 9,70 10,20 10,10 10,30 0,95 3 19,90 19,80 20,50 20,10 20,20 19,40 20,00 29,80 19,70 20,10 20,30 20,60 19,90 19,80 20,00 19,90 20,10 20,00 19,80 19,70 0,99 4 1,990 1,980 2,050 2,010 2,020 1,940 2,000 1,980 1,970 2,910 2,030 2,070 1,980 1,990 1,970 2,020 1,990 2,010 2,000 1,980 0,9 5 49,90 49,80 50,50 50,10 50,20 49,40 50,00 49,80 49,70 50,10 50,30 59,60 49,90 50,00 49,80 50,20 50,00 49,90 50,10 50,00 0,95 6 101,0 100,0 95,0 104,0 107,0 92,0 99,0 96,0 105,0 102,0 121,0 106,0 99,0 98,0 99,0 100,0 97,0 101,0 98,0 100,0 0,99 7 10,10 10,00 9,50 10,40 10,70 9,20 9,90 9,60 10,50 10,20 10,10 10,60 9,80 9,90 16,00 9,90 10,10 9,70 10,00 9,80 0,9 8 206,0 200,0 200,0 199,0 201,0 198,0 201,0 198,0 263,0 197,0 205,0 197,0 199,0 198,0 202,0 198,0 200,0 199,0 198,0 201,0 0,95 9 492,0 505,0 496,0 498,0 500,0 566,0 500,0 502,0 503,0 504,0 495,0 500,0 497,0 498,0 502,0 503,0 499,0 499,0 500,0 501,0 0,99 10 998 990 991 997 999 1000 1008 1001 1202 1007 1000 1012 1000 1002 999 1000 1002 998 1002 1002 0,9 11 5,000 5,100 5,300 4,800 4,000 4,700 5,000 4,800 5,200 5,100 5,500 1,800 4,700 5,000 4,900 5,100 4,500 5,200 5,100 5,300 0,95 12 50,00 54,00 53,00 48,00 49,00 47,00 50,00 48,00 52,00 51,00 55,00 48,00 47,00 58,00 49,00 51,00 45,00 52,00 51,00 53,00 0,99 13 6,000 6,100 6,300 5,800 5,900 5,700 6,000 5,800 6,200 6,100 6,500 5,800 5,700 6,900 5,900 6,100 5,500 6,200 6,100 6,300 0,9 14 60,00 61,00 63,00 58,00 59,00 57,00 68,00 58,00 52,00 61,00 65,00 58,00 57,00 60,00 59,00 61,00 55,00 62,00 61,00 63,00 0,95 15 70,00 70,00 73,00 68,00 69,00 67,00 70,00 68,00 72,00 71,00 75,00 68,00 67,00 79,00 69,00 71,00 65,00 72,00 71,00 73,00 0,99 16 7,000 7,100 7,300 6,800 6,000 6,700 7,000 6,800 7,200 7,100 7,500 6,800 6,700 7,000 6,900 7,100 6,500 7,200 7,100 7,300 0,9 17 8,000 8,100 8,300 7,800 7,900 7,700 8,000 7,800 8,200 8,100 8,500 7,800 7,700 8,000 7,000 8,100 7,500 8,200 8,100 8,300 0,95 18 80,00 81,00 83,00 78,00 79,00 77,00 89,00 78,00 82,00 81,00 85,00 78,00 77,00 80,00 79,00 81,00 75,00 82,00 81,00 83,00 0.99 19 9,000 9,100 9,300 8,800 8,000 8,700 9,000 8,800 9,200 9,100 9,500 8,800 8,700 9,000 8,900 9,100 8,500 9,200 9,100 9,300 0,9 20 90,00 91,00 93,00 88,00 89,00 87,00 90,00 88,00 92,00 91,00 95,00 88,00 87,00 99,00 89,00 91,00 85,00 92,00 91,00 93,00 0,95 21 12,00 12,10 12,30 11,80 11,90 11,70 12,00 11,80 12,20 14,10 12,50 11,80 11,70 12,00 11,90 12,10 11,50 12,20 12,10 12,30 0,99 22 120,0 121,0 123,0 118,0 119,0 107,0 120,0 118,0 122,0 121,0 125,0 118,0 117,0 120,0 119,0 121,0 115,0 122,0 121,0 123,0 0,9 23 14,00 14,10 14,30 13,80 18,90 13,70 14,00 13,80 14,20 14,10 14,50 13,80 13,70 14,00 13,90 14,10 13,50 14,20 14,10 14,30 0,95 24 140,0 141,0 143,0 138,0 139,0 137,0 190,0 138,0 142,0 141,0 145,0 138,0 137,0 140,0 139,0 141,0 135,0 142,0 141,0 143,0 0,99 25 150,0 155,0 159,0 145,0 141,0 146,0 154,0 150,0 151,0 152,0 147,0 153,0 147,0 150,0 156,0 154,0 142,0 148,0 181,0 149,0 0,9 26 99,6 99,9 101,0 101,0 100,0 99,4 100,6 99,8 99,7 100,0 98,0 101,0 100,0 100,0 99,8 80,6 100,0 99,8 100,0 100,3 0,9 27 9,70 9,80 10,70 10,30 10,20 9,50 13,00 9,80 9,60 10,20 10,30 10,40 9,70 9,80 9,90 10,00 9,90 10,30 10,10 10,30 0,95 28 19,60 19,90 20,60 20,40 20,50 19,70 20,10 27,30 19,50 20,30 20,60 20,40 19,70 19,90 20,10 19,60 20,20 20,40 19,90 19,50 0,99 29 1,970 1,990 2,060 2,030 2,010 1,930 2,020 1,940 1,980 2,890 2,010 2,050 1,970 1,970 1,950 2,050 1,980 2,060 2,020 1,960 0,9 30 49,60 49,70 50,30 50,60 50,10 49,60 50,20 49,60 49,60 50,30 50,20 57,30 49,60 50,20 49,90 50,10 50,30 49,80 50,60 50,20 0,95 же часто называют промахом. Причиной появления промахов в ряду являются непредсказуемые явления, не имеющие явной связи со случайными процессами, приводящими к разбросу боль- шинства значений в ряду (например, ошибка оператора при записи результата одного или нескольких результатов). При обработке промахи влияют на среднее значение R СР , остаточные погрешности α i , значение σ. Правило «трех сигма» (рис. 1.) позволяет отделить подозрительные на промах значения и повысить достоверность определения случайной погрешности. Лучше пойти на сокращение ряда значений на одно или не- сколько чисел, чем принять промах за проявление анализируемого случайного про- цесса. Рис. 1. Определение вероятности нахождения случайной погрешности в интервалах с границами, кратными σ Значения в ряду, имеющие остаточные погрешности |𝛼 𝑖 | > 3𝜎 (9) считаются промахами и при обработке результатов измерений исключаются из ис- ходного ряда. После исключения из ряда измерений промахов расчет повторяют для нового значения n', меньшего исходного числа измерений в ряду на число исключен- ных промахов. Вновь находят R СР (R' СР ), α i ', σ' и вновь проверяют сокращенный ряд по правилу «трех сигма», сравнивая значения α i ' и 3σ'. Циклический процесс проверок на промахи и новых расчетов повторяют, пока все промахи не будут исключены. В случае их обнаружения исключить результаты измерения с грубой погреш- ностью, и провести вновь расчет для нового значения числа измерений n'=n–m (где n = 20, m – количество промахов) начиная с п. 1. ВНИМАНИЕ!!! Расчеты по пунктам 1, 2, 3, 4 следует повторять столько раз, сколько необходимо для устранения всех промахов из исходного ряда изме- рений (в некоторых вариантах задания промахов может и не быть). 5. Рассчитать среднюю квадратическую погрешность S (Ом) среднего арифме- тического. Разброс значений R СР можно оценить средней квадратической погрешностью среднего арифметического значения, используя исходный ряд измерений с исклю- ченными промахами: 𝑆 = √ 𝛼 1 2 + 𝛼 2 2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 2 𝑛(𝑛 − 1) = 𝜎 √𝑛 . (10) Значение средней квадратической погрешности S среднего арифметического значения является численной характеристикой, позволяющей оценить точность опре- деления R СР Из выражения (10) видно, что увеличение количества измерений в ряду n при- водит к повышению точности результата измерений. 6. Рассчитать доверительный интервал. Конечным результатом определения случайной погрешности является интервал ±ΔR (Ом), за границы которого погрешность не выходит с некоторой вероятностью P. Этот интервал называется доверительным интервалом, а вероятность нахождения погрешности в нем – доверительной вероятностью. При нахождении границ довери- тельного интервала задаются заранее известным значением доверительной вероятно- сти (например, 0,9; 0,95, 0,99 и т. д.) (рис. 2.). Рис. 2. Определение границ доверительного интервала по заданной доверительной вероятности Указанный способ определения доверительных интервалов справедлив только при n 30. На практике часто количество измерений бывает меньше. В этом случае фактически переходят от нормального закона распределения случайной погрешности к закону распределения Стьюдента с тем же средним арифметическим значением. Для определения доверительного интервала пользуются коэффициентами Сть- юдента t n (n,P), которые зависят не только от выбранной доверительной вероятности Р (табл.1.), но и от количества измерений n (табл. 2.). Использование коэффициента Стьюдента дает поправку для границ довери- тельного интервала с учетом того, что (n≠). Доверительный интервал становится шире при уменьшении числа измерений в ряду. Таблица 2 Значения коэффициентов Стьюдента t n Количе- ство зна- чений в ряду, n Доверительная вероятность, P 0,90 0,95 0,99 0,999 1 6,314 12,706 63,657 636,619 2 2,920 4,303 9,925 31,598 3 2,353 3,182 5,841 12,941 4 2,132 2,776 4,604 8,610 5 2,015 2,571 4,032 6,859 6 1,943 2,447 3,707 5,959 7 1,895 2,365 3,499 5,405 8 1,860 2,306 3,355 5,041 9 1,833 2,262 3,250 4,781 10 1,812 2,228 3,169 4,587 11 1,796 2,201 3,106 4,437 12 1,782 2,179 3,055 4,318 13 1,771 2,160 3,012 4,221 14 1,761 2,145 2,977 4,140 15 1,753 2,131 2,947 4,073 16 1,746 2,120 2,921 4,015 17 1,740 2,110 2,898 3,965 18 1,734 2,101 2,878 3,922 19 1,729 2,093 2,861 3,883 20 1,725 2,086 2,845 3,850 Зная S, n и P, определяют доверительный интервал ±ΔR, в который с заданной вероятностью P и при количестве измерений n входит истинное значение измеряемой величины: R= S·t n (n,Р). (11) 7. Окончательный результат измерения записывают так: R=R СР ±ΔR (Ом) при P = (заданная доверительная вероятность). Запись читается: истинное значение R находится в интервале от (R СР - ΔR) до (R СР +ΔR) с доверительной вероятностью P =…, наиболее достоверное значение равно R СР . 8. Построить для ряда результатов, не содержащего промахов, гистограмму (рис.3.) распределения остаточных (случайных) погрешностей, взяв ширину интерва- лов = 0,5σ. После вычисления граничных значений всех интервалов выполняют сравнение с ними значений остаточных погрешностей α i , определяя, в какой из интервалов вхо- дит конкретная α i . После распределения всех α i по интервалам считают количество вхождений остаточных погрешностей в каждый интервал n j После определения n j для каждого интервала определяют значения n j /n, по ко- торым для каждого интервала гистограммы изображается прямоугольник с рассчи- танной высотой (n j /n). В этой же системе координат, для сравнения, построить кривую распределения плотности вероятности по нормальному закону. Значения плотности вероятности по закону Гаусса рассчитываются по выражению (4), в которое в качестве параметра подставляется значение σ, а в качестве переменной – значения (целесообразно вы- брать , равные граничным значениям интервалов) Рис. 3. Пример построения гистограммы и графика закона распределения Гаусса Примечание: при построении графиков используются значения i , , n, по- лученные после исключения промахов. 9. Сделать вывод о соответствии реального закона распределения случайной погрешности (представленного в виде гистограммы) нормальному закону распреде- ления (закону Гаусса) при числе измерений n 20. Пример расчета С помощью моста постоянного тока произведено 20 равноточных измерении сопротивления резистора R i , Р=0,90. R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 99,9 99,9 101,0 100,0 100,1 99,6 100,0 99,8 99,7 100,0 R11 R12 R13 R14 R15 R16 R17 R18 R19 R20 100,0 101,0 100,1 100,0 99,9 118,0 100,0 99,9 100,0 100,0 1. Вычислить среднее арифметическое значение ряда отдельных измерений R СР (Ом) (математическое ожидание, результат измерения). 𝑅 СР = 𝑅 1 + 𝑅 2 + ⋯ + 𝑅 20 20 = 99,9 + 99,9 + ⋯ + 100,0 20 = 100,95 Ом. 2. Рассчитать остаточные погрешности α i (Ом). Зная R СР , определяют случайные абсолютные погрешности: α 1 = R 1 –R СР =99,9-100,95=-1,05 Ом, ………………………………………….. α 20 = R 20 –R СР =100,0-100,95=-0,95 Ом, Вариант α i , Ом R1 99,90 -1,05 R2 99,90 -1,05 R3 101,00 0,05 R4 100,00 -0,95 R5 100,10 -0,85 R6 99,60 -1,35 R7 100,00 -0,95 R8 99,80 -1,15 R9 99,70 -1,25 R10 100,00 -0,95 R11 100,00 -0,95 R12 101,00 0,05 R13 100,10 -0,85 R14 100,00 -0,95 R15 99,90 -1,05 R16 118,00 17,06 R17 100,00 -0,95 R18 99,90 -1,05 R19 100,00 -0,95 R20 100,00 -0,95 R СР 100,95 ∑ 𝛼 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 0 Правильность вычисления остаточных погрешностей для исходного ряда ре- зультатов можно проверить, вычислив сумму α 1 +α 2 +…+α n .Результат вычисления суммы должен быть равен нулю: ∑ 𝛼 𝑖 = −1,05 + (−1,05) + ⋯ + (−0,95) = 0. 𝑛 𝑖=1 3. Рассчитать среднюю квадратическую погрешность σ (Ом) результатов еди- ничных измерений в данном ряду. 𝜎 = √ 𝛼 1 2 + 𝛼 2 2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 2 𝑛 − 1 = √ (−1,05) 2 + (−1,05) 2 + ⋯ + (−0,95) 2 20 = 4,03 Ом. 4. С помощью правила «трех σ» проверить исходные данные на наличие грубых погрешностей (промахов). Значения в ряду, имеющие остаточные погрешности |𝛼 𝑖 | > 3𝜎 = 3 ∙ 4,03 = 12,09 Ом считаются промахами и при обработке результатов измерений исключаются из ис- ходного ряда. Вариант α i , Ом3σ, Ом R1 99,90 -1,05 12,09 R2 99,90 -1,05 12,09 R3 101,00 0,05 12,09 R4 100,00 -0,95 12,09 R5 100,10 -0,85 12,09 R6 99,60 -1,35 12,09 R7 100,00 -0,95 12,09 R8 99,80 -1,15 12,09 R9 99,70 -1,25 12,09 R10 100,00 -0,95 12,09 R11 100,00 -0,95 12,09 R12 101,00 0,05 12,09 R13 100,10 -0,85 12,09 R14 100,00 -0,95 12,09 R15 99,90 -1,05 12,09 R16 118,00 17,06 12,09 промах, исключаем из ряда R17 100,00 -0,95 12,09 R18 99,90 -1,05 12,09 R19 100,00 -0,95 12,09 R20 100,00 -0,95 12,09 ∑ 𝛼 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 0 𝜎 = √ 𝛼 1 2 + 𝛼 2 2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 2 𝑛 − 1 4,03 В случае их обнаружения исключить результаты измерения с грубой погреш- ностью, и провести вновь расчет для нового значения числа измерений n'=n–m (где n = 20, m – количество промахов) начиная с п. 1. n'=n–m=20-1=19. 𝑅 СР = 𝑅 1 + 𝑅 2 + ⋯ + 𝑅 20 19 = 99,9 + 99,9 + ⋯ + 100,0 19 = 100,047 Ом. Вариант α i 3σ R1 99,90 -0,147 1,045 R2 99,90 -0,147 1,045 R3 101,00 0,953 1,045 R4 100,00 -0,047 1,045 R5 100,10 0,053 1,045 R6 99,60 -0,447 1,045 R7 100,00 -0,047 1,045 R8 99,80 -0,247 1,045 R9 99,70 -0,347 1,045 R10 100,00 -0,047 1,045 R11 100,00 -0,047 1,045 R12 101,00 0,953 1,045 R13 100,10 0,053 1,045 R14 100,00 -0,047 1,045 R15 99,90 -0,147 1,045 R17 100,00 -0,047 1,045 R18 99,90 -0,147 1,045 R19 100,00 -0,047 1,045 R20 100,00 -0,047 1,045 R СР 100,047 ∑ 𝛼 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 0 𝜎 = √ 𝛼 1 2 + 𝛼 2 2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 2 𝑛 − 1 0,348 ПРОМАХОВ НЕТ. 5. Рассчитать среднюю квадратическую погрешность S (Ом) среднего арифме- тического. Разброс значений R СР можно оценить средней квадратической погрешностью среднего арифметического значения, используя исходный ряд измерений с исклю- ченными промахами: 𝑆 = √ 𝛼 1 2 + 𝛼 2 2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 2 𝑛(𝑛 − 1) = 𝜎 √𝑛 = 0,348 √19 = 0,08 Ом. Из выражения (9) видно, что увеличение количества измерений в ряду n приво- дит к повышению точности результата измерений. 6. Рассчитать доверительный интервал. Для определения доверительного интервала пользуются коэффициентами Сть- юдента t n (n,P), которые зависят не только от выбранной доверительной вероятности Р (табл.1.), но и от количества измерений n (табл. 2.). Зная S, n и P, определяют доверительный интервал ±ΔR, в который с заданной вероятностью P и при количестве измерений n входит истинное значение измеряемой величины: R= S·t n (n,Р)=0,08·1,729=0,138 Ом. 7. Окончательный результат измерения записывают так: R=R СР ±ΔR=100,047±0,138 Ом при P = 0,90. Запись читается: истинное значение R=100,047±0,138 Омнаходится в интер- вале от (100,047-0,138 Ом) до (100,047+0,138 Ом) с доверительной вероятностью P=0,90, наиболее достоверное значение равно R СР =100,047 Ом. 8. Построить для ряда результатов, не содержащего промахов, гистограмму рас- пределения остаточных (случайных) погрешностей, взяв ширину интервалов = 0,5σ, с рассчитанной высотой равной n j /(n·0,5·σ). В этой же системе координат, для сравнения, построить кривую распределения плотности вероятности по нормальному закону (4), в которое в качестве параметра подставляется значение σ, а в качестве переменной – значения (целесообразно вы- брать , равные граничным значениям интервалов) Границы интервалов Значение границ, Ом Число вхож- дений, n j 𝑛 𝑗 𝑛 ∙ 0,5 ∙ 𝜎 р(∆) = 1 𝜎√2𝜋 ∙ 𝑒 (− ∆ 2 2𝜎 2 ) -3,00σ -1,045 0 0,000 0,013 -2,50σ -0,871 0 0,000 0,050 -2,00σ -0,697 0 0,000 0,155 -1,50σ -0,523 1 0,302 0,372 -1,00σ -0,348 2 0,604 0,695 -0,50σ -0,174 12 3,625 1,011 0,00 0,000 0 0,000 1,145 0,50σ 0,174 2 0,604 1,011 1,50σ 0,523 0 0,000 0,372 2,00σ 0,697 0 0,000 0,155 2,50σ 0,871 0 0,000 0,050 3,00σ 1,045 2 0,604 0,013 Рис. Гистограмма и график закона распределения Гаусса |