лабораторные работы. Обработки данных
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
9.2.2. Оценивание координат объекта по измерениям пеленгов Полученную оценку (9.3) используем в задаче оценивания декартовых коор- динат объекта на плоскости xoy угломерным способом в многопозиционных локационных системах. Из M базовых точек (позиций) ) , ( 1 1 1 y x A = ,…, ) , ( M M M y x A = измеряются углы на объект, в результате чего получают значе- ния углов M α α , , 1 Κ (рис. 9.1). Величины M 1 , , α α Κ независимы и распределе- ны по нормальному закону ) , ( 2 σ i a N , где i a – точное значение i -го угла, 2 σ – дисперсия ошибок измерений углов. Координаты i i y x , базовых точек будем считать известными. По имеющимся измерениям необходимо оценить вектор координат объекта ) , ( c c T y x = Θ Опишем алгоритм расчета МНК-оценки (9.3). Соотношения (9.1) в данном случае имеют вид M i e x x y y arctg i i c i c i , 1 , = + − − = α , (9.5) так что ( ) M i x x y y arctg y x i c i c c c i , 1 , , = − − = ψ . (9.6) Рис. 9.1. Графическая иллюстрация задачи оценивания местоположения объекта по измерениям пеленгов В векторной форме записи (9.2) будем иметь следующие обозначения: ) ( i T Z α = , )) , ( ( ) , ( c c i c c T y x y x ψ = Ψ , ) ( i T e E = , M , 1 i = Поскольку ошибки измерений i e независимы и имеют одну и ту же дисперсию 2 σ , то ковариационная матрица вектора E равна I R E 2 σ = , где I – единичная ) ( M M × -матрица. В этом случае оценка (9.3) приводится к виду )) ( ( ) ( 0 1 0 Θ Ψ − + Θ = Θ − Z Q Q Q T T NK ) , (9.7) где ) , ( 0 0 0 y x T = Θ – опорная точка. Матрица Q в соответствии с формулами (9.4), (9.6) формируется в виде M i q Q j i , 1 ), ( , = = , 2 , 1 j = , где i i i i d y y dx y x d q − = = 0 0 0 0 1 , ) , ( ψ , i i i i d x x dy y x d q − = = 0 0 0 0 1 , ) , ( ψ , ( ) ( ) 2 i 0 2 i 0 i y y x x d − + − = Таким образом, в выражении (9.7) NK Θ ) , 0 Θ , Z , ) ( 0 Θ Ψ – векторы-столбцы, Q – ) 2 ( × M - матрица и ( ) M 2 Q T × − -матрица. 9.3. Средства Matlab для выполнения задания Matlab обладает весьма удобными средствами для работы с матрицами. Для транспонирования матрицы применяется символ « ' » (кавычка), так что A′ – это транспонированная матрица A . Используются также следующие символы: «+» (плюс) или «–» (минус) для сложения или вычитания матриц, «*» (звездоч- ка) для умножения матриц, « / » (слэш) или « \ » (обратный слэш) для деления матриц. Например, B \ A означает левое деление B на A , соответствующее ма- тематическому произведению B A 1 − , где 1 A − – обратная матрица. Запись B / A означает правое деление матрицы A на матрицу B , что соответствует произве- дению 1 AB − . Использование деления вместо умножения на обратную матрицу имеет преимущества по точности и времени выполнения, так как использует метод исключения Гаусса без явного обращения матриц. 9.4. Порядок выполнения работы 9.4.1. Выполнить статистическое компьютерное моделирование задачи при 10 базовых точках ( 10 = M ), расположенных на оси абсцисс с равномерным шагом 10 = l км, так что 0 x 1 = , l x x k 1 k + = + , 1 M , 1 k − = , (9.8) M k y k , 1 , 0 = = . (9.9) Для объекта с координатами ) 100 , 75 ( ) , ( = c c y x (9.10) вычислить 10 оценок 10 , 1 ), , ( , , , = = Θ ν ν ν ν c c T K N y x ) ) ) . (9.11) Опорную точку ) , ( 0 0 y x для получения каждой МНК-оценки выбрать равной наблюдению, полученному по первым двум пеленгам: 2 1 2 2 1 1 1 2 0 ) ( ) ( α α α α tg tg tg x tg x y y x − − + − = , (9.12) 1 1 1 0 0 ) ( y tg x x y + − = α . (9.13) Дисперсию ошибок измерений углов принять равной 001 , 0 2 = σ рад. 9.4.2. В одно окно вывести графическую иллюстрацию, включающую: базо- вые точки (9.8, 9.9), точку-объект (9.10), лучи пеленгов из базовых точек на объект под углами (9.5), точки-оценки координат объекта (9.7, 9.11). Лучи пе- ленгов можно построить следующим образом. Поскольку уравнение прямой, выходящей из точки ) 0 , ( i x под углом i α , имеет вид ) ( i i x x tg y − = α , то, выбрав, например, yl y y c = = 3 , 1 , получим i i i tg x tg yl xl α α + = Лучи проводятся с помощью функции plot через две точки ) 0 , ( i x и ) , ( yl xl , то есть по векторам ) , ( xl x u i = и ) , 0 ( yl v = 9.4.3. Исследовать зависимость точности оценивания от дисперсии ошибок измерений углов 2 σ , от выбора опорной точки ) , ( 0 0 y x , предусмотрев ее про- извольный выбор, от расположения на плоскости оцениваемого объекта по от- ношению к базовым точкам. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 10.1. Цель работы 10.1.1. Изучение методов решения задач регрессионного анализа. 10.1.2. Приобретение навыков решения задач регрессионного анализа с по- мощью системы Matlab. 10.2. Теоретические положения 10.2.1. Постановка задачи В регрессионном анализе изучается взаимосвязь между случайными и не- случайными величинами на основе экспериментальных данных. Ограничения, накладываемые на изучаемые величины, менее обременительны по сравнению с корреляционным анализом. В связи с этим считается, что задачи регрессион- ного анализа чаще встречаются на практике. Рассмотрим сразу случай многих переменных (множественную нелинейную регрессию) в матричной форме, поскольку он включает и простую линейную и нелинейную регрессии. Считается, что случайная величина η зависит от векторной неслучайной пе- ременной ) ,..., ( 1 q x x X = таким образом, что условная плотность вероятности величины η нормальная следующего вида: ) ), , ( ( ) / ( 2 σ θ ϕ η x N x f = , где ) ,..., ( 1 m θ θ θ = – вектор неизвестных параметров функции регрессии ) , ( θ ϕ x y = Эквивалентной является следующая модель данных: ξ θ ϕ η + = ) , ( X , где ) , 0 ( 2 σ ξ N ∈ Выбирая некоторые значения n X X ,..., 1 векторной переменной X , можно получить значения n o o y y , 1 , ,..., случайной величины η в виде n i z x y i i oi , 1 , ) , ( = + = θ ϕ , где i z – независимые случайные величины (значения величины ξ ). Требуется по наблюдениям ) , ( ),..., , ( , 1 , 1 n o n o y X y X получить оценки 2 , σ θ ) ) неизвестных параметров 2 , σ θ и сделать статистические выводы относительно этих параметров. 10.2.2. Точечные оценки параметров Решим задачу в матричных обозначениях. Функция регрессии ) , ( θ ϕ x y = , как линейная, так и нелинейная относительно X , может быть представлена следующим образом: θ θ ϕ T H X y = = ) , ( , где m j X h X h X h X H H j m T T , 1 )), ( ( )) ( ),..., ( ( ) ( 1 = = = = Здесь ) (X h j – некоторые функции вектора X , m j j m T , 1 ), ( ) ,..., ( 1 = = = θ θ θ θ , где T θ – вектор-столбец параметров. Класс функций, описываемых таким образом, называется классом функций, линейных по параметрам. Желая получить линейную функцию регрессии одной переменной, мы можем выбрать ) , ( ), , 1 ( β α θ = = T T x H Тогда x x x y β α β α β α ϕ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = ) , 1 ( ) , , ( Желая получить нелинейную функцию регрессии в виде 2 1 2 1 x x x y τ γ β α + + + = , достаточно выбрать ) , , , ( ), , , , 1 ( 2 1 2 1 τ γ β α θ = = T T x x x H Таким образом, мы рассматриваем зависимости вида n i z H y i T i oi , 1 , = + = θ , где n i m j X h X h X h H i j i m i T i , 1 , , 1 )), ( ( )) ( ),..., ( ( 1 = = = = , и считаем, что векторы n H H ,..., 1 линейно независимы. Воспользовавшись методом максимума правдоподобия, можно получить следующие оценки: ∑ ∑ = = − = n i i o i n j T j j T y H H H 1 , 1 1 ) ( ) ( θ ) , ∑ = − = n i T i i o H y n 1 2 , 2 ) ( 1 θ σ ) ) Обычно эти оценки записывают в другой форме. Если рассмотреть весь набор данных эксперимента, то рассматриваемую модель можно записать в виде Z F Y o + = θ , где ) ( , i o T o y Y = , )) ( ( ) ( , i j j i X h f F = = , ) ( j T θ θ = , ) ( i T z Z = , m j n i , 1 , , 1 = = В этом случае оценки запишутся следующим образом: ) ( ) ( 1 o T T Y F F F − = θ ) , (10.1) ) ( ) ( 1 2 θ θ σ ) ) ) F Y F Y n o T o − − = . (10.2) 10.2.3. Свойства оценок Оценка θ ) – несмещенная, состоятельная, эффективная. Оценка 2 σ ) – асимп- тотически несмещенная, состоятельная, асимптотически эффективная. Исправ- ленная оценка 2 2 1 σ σ ) ) m n n − = = ) ( ) ( 1 θ θ ) ) F Y F Y m n o T o − − − , где m – количество оцениваемых параметров, является несмещенной, состоятельной и эффективной. Оценки θ ) и 2 σ ) незави- симы. Рассмотрим распределения оценок. Доказано, что ) ) ( , ( 1 2 − ∈ F F N T m σ θ θ ) , (10.3) m n H m n n v − ∈ − = = 2 2 1 2 2 ˆ ) ( σ σ σ σ ) Матрица 1 2 ) ( − F F T σ (10.4) является ковариационной матрицей оценки. Введем обозначения: ) ( , j i T a F F A = = , m j i a F F A j i T , 1 , ), ( ) ( , 1 1 = = = − − Используя эти обозначения и распределение вектора θ ) , можно записать, что m i N a u i i i i i , 1 ), 1 , 0 ( , 2 = ∈ − = σ θ θ ) , m i T a m n a n t m n i i i i i i i i i , 1 , , 2 1 , 2 = ∈ − = − − = − σ θ θ σ θ θ ) ) ) ) Имея оценку θ ) , мы можем получить оценку ординаты функции регрессии y) для любой точки X в виде θ ) ) T H y = Можно показать, что ) , ( 1 2 H A H H N H y T T T − ∈ = σ θ θ ) ) и не зависит от 2 σ ) . Тогда статистика m n T T y T H A H y y Hn A H m n y y t − − − ∈ − = − − = 2 1 1 2 1 ) ( ) ( σ σ ) ) ) ) 10.2.4. Доверительные интервалы для параметров и функции регрессии На основе статистики i t получаем доверительный интервал для параметра m i i , 1 , = θ : i i i i i i i a t a t , 2 1 2 1 , 2 1 2 1 σ θ θ σ θ γ γ ) ) ) ) − − + < < − На основе статистики y t получаем доверительный интервал для истинного зна- чения функции регрессии θ T H y = : H A H t y y H A H t y T T 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 − − − − + < < − σ σ γ γ ) ) ) ) В этих выражениях 2 1 100 2 1 γ − − γ − t -процентное отклонение распределения m n T − (Стьюдента с m n − степенями свободы). На основе статистики v получаем доверительный интервал для дисперсии 2 σ : 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ) ( ) ( γ γ σ σ σ + − − < < − v m n v m n ) ) , где 2 1 2 1 , γ γ + − v v – 2 1 100 γ − - и 2 1 100 γ + -процентные отклонения распределения m n H − (хи-квадрат с m n − степенями свободы). Статистики i t , v можно использовать для проверки гипотез о параметрах |