лабораторные работы. Обработки данных
 Скачать 1.26 Mb.
|
|
y=tpdf(x,k) – расчет значения плотности вероятности распределения Стью- дента с k степенями свободы в точке x . y=unifpdf(x,a,b) – расчет значения плотности вероятности равномерного в промежутке ) , ( b a распределения в точке x . Функции Matlab для расчета функций распределения y=chi2сdf(x,k ) – расчет значения функции распределения распределения 2 χ с k степенями свободы в точке x . y=expсdf(x,lambda) – расчет значения функции распределения экспоненци- ального распределения с параметром λ в точке x . y=fсdf(x,m,k) – расчет значения функции распределения распределения Фи- шера с m , k степенями свободы в точке x . y=gamсdf(x,a,b) – расчет значения функции распределения гамма- распреде- ления с параметрами b a, в точке x . y=normсdf(x,a,sigma) – расчет значения функции распределения нормально- го распределения с параметрами a , σ в точке x , a – математическое ожида- ние, σ – среднее квадратичное отклонение. y=tсdf(x,k) – расчет значения функции распределения распределения Стью- дента с k степенями свободы в точке x . y=unifсdf(x,a,b) – расчет значения функции распределения равномерного распределения в промежутке ) , ( b a распределения в точке x . Для расчета значений гамма-функции в Matlab имеется функция y=gamma(x) 1.3. Порядок выполнения работы 1.3.1. Для каждого распределения п. 1.2.8 вывести в одно графическое окно два графика плотности вероятности. Один из графиков плотности вероятности получить по собственной программе, написанной для расчета значений функ- ции плотности вероятности по формулам п. 1.2.8, второй – с использованием функций системы Matlab. Исследовать их зависимость от параметров распреде- лений. 1.3.2. Для каждого распределения п. 1.2.8 вывести в отдельное графическое окно график функции распределения с использованием функций системы Mat- lab. Исследовать их зависимость от параметров распределений. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 2.1. Цель работы 2.1.1. Изучение многомерных распределений теории вероятностей и мате- матической статистики. 2.1.2. Исследование многомерных распределений теории вероятностей и математической статистики с помощью средств Matlab. 2.2. Теоретические положения. Плотности вероятностей некоторых многомерных распределений 2.2.1. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение ) , ( R A N Непрерывный случайный вектор ) ,..., ( 1 m ξ ξ ξ = называется распределенным по нормальному закону , если его плотность вероятности имеет вид )) ( 2 1 exp( ) 2 ( 1 ) ( X R X f m ϕ π ξ − = , где ) ( ) ( ) ( 1 A X R A X X T − − = − ϕ Здесь приняты следующие обозначения: ) ,..., ( 1 m T x x X = – m -мерный вектор аргументов плотности вероятности; ) ,..., ( 1 m T a a A = – m -мерный вектор пара- метров; m j i R R j i , 1 , ), ( , = = , – симметричная положительно определенная ) ( m m × -матрица параметров; R −1 – матрица, обратная матрице R; R – опре- делитель матрицы R. Символ Т означает транспонирование, так что X – век- тор-столбец, а X T – вектор-строка. Параметры А и R распределения являются соответственно математическим ожиданием и ковариационной матрицей век- тора ξ Уравнение c A X R A X X T = − − = − ) ( ) ( ) ( 1 ϕ определяет в m R гиперповерхность, которая представляет собой эллипсоид. При 2 + = m c он называется эллипсоидом рассеяния нормального распределе- ния. Содержательный смысл эллипсоида рассеяния состоит в том, что n-мерное равномерное в данном эллипсоиде распределение имеет то же мате- матическое ожидание A и ту же ковариационную матрицу R , что и данное нормальное распределение. Многомерный ( m -мерный) объем эллипсоида рас- сеяния пропорционален корню квадратному из определителя ковариационной матрицы: ) 1 2 ( / ) 2 ( 2 / 2 / + Γ + = m R m V m m π При заданных дисперсиях компонент случайного вектора этот объем достигает своего максимума, когда компоненты не коррелированы (матрица R диаго- нальная). 2.2.2. Двухмерное нормальное распределение Если ) , ( 2 1 ξ ξ ξ = – двухмерный случайный вектор, распределенный по нор- мальному закону, то мы имеем ) , ( 2 1 x x X T = , ) , ( 2 1 a a A T = , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 , 2 1 , 2 2 , 1 1 , 1 R R R R R , 1 , 2 2 , 1 2 , 2 1 , 1 R R R R R − = , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − 1 , 1 1 , 2 2 , 1 2 , 2 1 1 R R R R R R , ( ) ) ( ) )( ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 1 , 1 2 2 1 1 2 , 1 2 1 1 2 , 2 1 a x R a x a x R a x R A X R A X X T − + − − − − = = − − = − ϕ Если здесь обозначить 2 1 1 , 1 σ = R , 2 2 2 , 2 σ = R и выразить коэффициент ковариа- ции ) , cov( 2 1 1 , 2 2 , 1 ξ ξ = = R R через коэффициент корреляции 2 , 1 r по формуле 2 1 2 , 1 1 , 2 2 , 1 σ σ r R R = = , то функцию ) ( X ϕ можно представить в виде ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − − − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 , 1 2 1 2 1 1 2 2 , 1 2 1 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) 1 ( 1 ) , ( σ σ σ σ ϕ a x a x a x r a x r x x , а плотность вероятности двухмерного нормального распределения – в виде ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − = ) , ( 2 1 exp 1 2 1 ) , ( 2 1 2 2 , 1 2 1 2 1 x x r x x f ϕ σ πσ ξ Линии равного уровня двухмерной плотности вероятности, определяемые уравнением 1 2 1 ) , ( c x x f = ξ или уравнением c x x = ) , ( 2 1 ϕ , где 1 c и c – некоторые константы, представляют собой эллипсы в плоскости 2 1 ox x . Уравнение 4 ) , ( 2 1 = x x ϕ определяет эллипс рассеяния, площадь которого 2 , 1 1 , 2 2 , 2 1 , 1 4 4 R R R R R S − = = π π Для двухмерного нормального распределения функция регрессии 2 ξ на 1 ξ определяется выражением ) ( 1 1 1 2 2 , 1 2 2 a x r a x − + = σ σ , а функция регрессии 1 ξ на 2 ξ – выражением ) ( 2 2 2 1 2 , 1 1 1 a x r a x − + = σ σ 2.2.3. Произведение одномерных гамма-распределений )) , ( ),..., , (( 1 1 m m m b a b a Γ ( ) , 0 , 0 0 , 0 , 0 , ) ( 1 1 1 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > > > Γ = − − = ∏ i i i i b x a i a i i m i x a b x e x b a x f i i i i ξ 2.2.4. Произведение одномерных распределений Уишарта )) , ( ),..., , (( 2 2 1 1 m m m k k W σ σ При 2 2 i i b σ = , 2 i i k a = произведение гамма-распределений представляет собой произведение одномерных распределений Уишарта. 2.2.5. Произведение одномерных распределений хи-квадрат ) ,..., ( 1 m m k k H При 2 = i b , 2 i i k a = произведение гамма-распределений представляет собой произведение распределений хи-квадрат. 2.2.6. Произведение одномерных экспоненциальных распределений ) ,..., ( 1 m m E λ λ При i i b λ = , 1 = i a произведение гамма-распределений представляет собой произведение экспоненциальных распределений. 2.2.7. Равномерное распределение в гиперпрямоугольнике ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 1 1 m m b a b a b a × × × Λ )) , ( ),..., , ( ), , (( 2 2 1 1 m m m b a b a b a U ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < < < − = ∏ = , 0 , , , ) ( 1 1 иначе b a b x a a b x f i i i i i i i m i ξ Многомерные распределения будем изучать с помощью средств трехмерной графики системы программирования Matlab. 2.3. Средства Matlab для изучения многомерных распределений 2.3.1. Создание массивов трехмерной графики Трехмерные поверхности обычно описываются функцией двух переменных ) , ( y x f z = . Специфика построения трехмерных графиков требует не просто за- дания ряда значений x и y, то есть векторов x и y, а определения двухмерных массивов X и Y. Для создания таких массивов служит функция meshgrid. [X,Y]=meshgrid(x,y) – преобразует область, заданную векторами x и y, в двухмерные массивы X и Y, которые могут быть использованы для вычисления значений функции двух переменных и построения трехмерных графиков. Эта функция формирует массивы X и Y таким образом, что строки выходного мас- сива X являются копиями вектора x, а столбцы выходного массива Y – копиями вектора y. Пример [X,Y]=meshgrid(1:1:4,6:1:9) X = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Y = 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 В этом примере формируются массивы X и Y для построения трехмерной по- верхности при изменении x от 1 до 4 с шагом 1 и y от 6 до 9 с шагом 1. 2.3.2. Построение контурных графиков Контурные графики являются попыткой отобразить на плоскость функцию двух переменных ) , ( y x f z = . Такую функцию можно представить в виде сово- купности линий равного уровня, которые получаются, если трехмерная поверх- ность пересекается рядом плоскостей, расположенных параллельно друг другу. При этом контурный график представляет совокупность спроектированных на плоскость xoy линий пересечения поверхности ) , ( y x f z = плоскостями. Для построения контурных графиков используется команда contour. contour(x,y,z,n) строит контурный график по данным матрицы z с указани- ем спецификаций для x и y с заданием n линий равного уровня. contour(x,y,z,v) строит линии равного уровня для высот, указанных значе- ниями элементов вектора v. Пример [x,y]=meshgrid(-3: .2: 3, -3: .2: 3); z=x.^2+y.^2; contour(x,y,z,8) grid on По этой программе на экран монитора будет выведено восемь графиков (рис. 2.1). Сетка на рисунок нанесена с помощью команды grid on. Рис. 2.1. Контурные графики, построенные с помощью функции contour 2.3.3. Построение графиков трехмерных поверхностей Команда plot3(…) является аналогом команды plot(…), но относится к функции двух переменных ) , ( y x f z = . Она строит аксонометрическое изобра- жение трехмерных (3D) поверхностей. plot3(X,Y,Z) вычерчивает различные строки, полученные из столбцов двухмерных массивов X,Y,Z одинаковой размерности. Массивы X и Y можно получить с помощью meshgrid. Пример [x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2); z=x.^2+y.^2; plot3(x,y,z) grid on По этой программе будет выведена фигура, представленная на рис. 2.2. Рис. 2.2. Трехмерный график, построенный с помощью функции plot3 Однако более наглядными являются сеточные графики трехмерных поверх- ностей с заданной или функциональной окраской. Такие графики выполняются командой mesh. mesh(X,Y,Z,C) – выводит в графическое окно сетчатую поверхность с цве- тами узлов поверхности, заданных массивом С. mesh(X,Y,Z) – аналог предшествующей команды при C=Z, с использовани- ем функциональной окраски, при которой цвет задается высотой поверхности. Пример [x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2); z=x.^2+y.^2; mesh(x,y,z) В результате выполнения этой программы на экран будет выведена фигура, представленная на рис. 2.3. Рисунок представлен в черно-белой палитре, хотя в действительности он формируется в цветной палитре. Рис. 2.3. Трехмерный график, построенный с помощью функции meshgrid 2.3.4. Продолжение построений графиков Во многих случаях желательно построение ряда наложенных друг на друга графиков в одном и том же окне. Такую возможность обеспечивает команда продолжения графических построений hold. hold on обеспечивает продолжение вывода графиков в текущее окно графи- ки, что позволяет добавлять последующие графики к уже существующему. hold off отменяет режим продолжения графических построений. Пример t=-3:0.2:3; [x,y]=meshgrid(t,t); z=x.^2+y.^2; contour(x,y,z,8) hold on v=2*t; plot(t,v,'k.-') grid on hold off В этом примере на контурный график функции 2 2 y x z + = наносится гра- фик прямой линии x y 2 = (рис. 2.4). Рис. 2.4. Два графика в одном графическом окне 2.4. Порядок выполнения работы 2.4.1. Вывести на экран монитора графики поверхностей и линии равных уровней плотностей вероятности приведенных выше двухмерных распределе- ний (при 2 = k ) и исследовать их зависимость от параметров распределений. 2.4.2. Для нормального распределения в одно графическое окно вывести эл- липс рассеяния и две функции регрессии. Исследовать зависимость формы и площади эллипса рассеяния от коэффициента корреляции при заданных дис- персиях компонент случайного вектора. Исследовать взаимное расположение функций регрессии и осей эллипса рассеяния (совпадают ли функции регрессии с осями эллипса?). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 3.1. Цель работы 3.1.1. Изучение методов моделирования одномерных случайных чисел. 3.1.2. Приобретение навыков моделирования одномерных случайных чисел в системе Matlab. 3.2. Теоретические положения Случайные числа с различными законами распределения обычно модели- руются с помощью преобразований одного или нескольких независимых значе- ний базовой случайной величины α . Базовая случайная величина α – это слу- чайная величина с распределением ) 1 , 0 ( U (равномерным распределением в ин- тервале (0,1) ). В любой системе программирования имеется стандартная про- грамма моделирования базовой случайной величины. Независимые случайные величины с распределением ) 1 , 0 ( U будем обозначать символами ,... , 2 1 α α |