краевые задачи в полосе для вырождающихся эллиптических уравнени. Оглавление Введение Глава Априорные оценки решений краевой задачи
 Скачать 21.28 Kb.
|
|
Оглавление Введение………………………………………………………………………….. Глава 1. Априорные оценки решений краевой задачи................... 1.1 Вспомогательные оценки.............................................................................. 1.2 Доказательства ......................................................................... Глава 2. Существование и единственность решения задачи ....... Глава 3. Априорная оценка решений краевой задачи............. 3.1 Вспомогательные утверждения..................................................................... Глава 4. Существование и единственность решения задачи ……. Литература......................................................................................................... Введение Актуальность темы. Важным разделом современной теории дифференциальных уравнений является теория дифференциальных уравнений с существенно переменными коэффициентами. Одним из объектов исследования этой теории являются вырождающиеся уравнения. Теория вырождающихся эллиптических уравнений в настоящее время интенсивно развивается. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений относятся к неклассическим задачам математической физики. Одна из главных трудностей, возникающих в этой теории, связана с влиянием младших членов уравнения на постановку краевых задач и их разрешимость. Основы этой теории были заложены в фундаментальных работах М.В. Келдыша, Ф. Трикоми и А.В. Бицадзе. Дальнейшее развитие эта теория получила для уравнений второго порядка в работах О.А. Олейник, С.Г. Михлина, М.И. Вишика, Дж. Кона, Л. Ниренберга, В.А, Рукавишникова, А.Г. Ереклинцева, С.Н. Антонцева, СИ. Шмарева. Исследование вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка в случае степенного характера вырождения было начато в работах М.И. Вишика и В.В. Грушина. Затем ряд фундаментальных результатов для некоторых вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка был получен С.З. Левендорским, С.А. Исхоковым. В работах В.П. Глушко была установлена коэрцитивная разрешимость краевых задач для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений в специальных весовых пространствах С.Л. Соболева, норма в которых определяется с помощью специального интегрального преобразования Fa, введенного В.П. Глушко. В работах А.Д. Баева были введены и исследованы весовые псевдодифференциальные операторы, построенные по преобразованию Fa, что позволило доказать коэрцитивную разрешимость и установить коэрцитивные априорные оценки решений общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Настоящая диссертационная работа посвящена доказательству коэрцитивных априорных оценок и теорем разрешимости граничных задач для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих новый класс весовых псевдодифференциальных операторов и производную —. 8t Частным случаем таких уравнений является новый класс вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Диссертационная работа представляет собой дальнейшее развитие того направления, которое было начато в работах С. Бунеева и А.Д. Баева. Исследование краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений является актуальным не только с теоретической, но и с практической точки зрения, так как такие задачи используются при моделировании многих стационарных процессов с вырождением. Цель работы. Исследовать краевые задачи для эллиптических уравнений высокого порядка, вырождающихся с различной скоростью на разных частях границы области. Доказать существование и единственность обобщенных решений поставленных задач. 1. Доказательство априорных оценок решений двух классов краевых задач в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка 2. Доказательство теорем о существовании и единственности решений для этих классов краевых задач Методы исследования. Основными методами исследования являются: метод, основанный на теории Научная новизна. 1) Вводится определение…... Доказана теорема о ……Дается приложение…… 2) Доказана обобщенная разрешимость краевой задачи для классов эллиптических ……. Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер, заполняя определенный пробел в теории. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений . Цель работы. Цель работы состоит в следующем: 1. Доказательство априорных оценок решений двух классов краевых задач в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка 2. Доказательство теорем о существовании и единственности решений для этих классов краевых задач Список литературы Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрические функции. Функции Лежандра, Наука, М., 1973 Бицадзе А. В., Некоторые классы уравнений в частных производных, Наука, М., 1981 Градштейн И. С., Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Физматгиз, М., 1963 Коган М. Н., “ О магнитогидродинамических течениях смешанного типа”, Прикл. мат. мех.,25:1 (1961), 132–137 Смирнов М. М., Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения, Наука, М., 1966 Смирнов М. М., Уравнения смешанного типа, Высшая школа, М., 1985 Франкль Ф. И., Избранные труды по газовой динамике, Наука, М., 1973 Agarwal P., Karimov E., Mamchuev M., Ruzhansky M., “On boundary-value prob- lems for a partial differential equation with Caputo and Bessel operators”, Recent Applications of Harmonic Analysis to Function Spaces, differential Equations, and Data Science, Birkhäuser, Basel, 2017, 707–718 Agmon S., “The fundamental solution and Tricomi’s problem for a class of equations of mixed type”, Proc. Int. Cong. Math. Amsterdam,II (1954) Altin A., “Solutions of type for a class of singular equations”, International Journal of Mathematical Science,5:3 (1982), 613–619 Appell P., Kampe de Feriet J., Fonctions Hypergeometriques et Hyperspheriques. Polynomes d’Hermite, Gauthier-Villars, Paris, 1926 Barros-Neto J. J., Gelfand I. M., “Fundamental solutions for the Tricomi operator, I”,Duke Math. J.,98:3 (1999), 465–483 |