проект. Окружной этап региональной
 Скачать 0.78 Mb.
|
|
ОКРУЖНОЙ ЭТАП РЕГИОНАЛЬНОЙ НАУЧНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ СЕКЦИЯ «Математика» НЕСТАНДАРТНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ Автор: Яшкевич Кирилл, учащийся 7 класса ГБОУ СОШ им. И.Ф.Самаркина с.Новая Кармала Научный руководитель: Самаркина Елена Александровна, учитель математики Красный Яр, 2016 г. Оглавление Введение………………………………………………………………….…стр. 3 Глава 1. История появления таблицы умножения…………………...…..стр. 5 Глава 2. Нестандартные способы умножения…………………..………..стр. 7 2.1. Умножение «на пальцах»…………………………………………..…стр. 7 2.2. Умножение на 9…………………………………………………...…..стр. 8 2.3. Японский счёт…………………………………………………………стр. 9 2.4. Крестьянский способ умножения или метод «удвоения и раздвоения»…………………………………………………………..……стр. 11 2.5. Способ «Решетка»……………………………………………...…….стр. 12 Глава 3. Соревнование………………………………………………….…стр. 15 Заключение…………………………………………………….…………..стр. 16 Библиография……………………………………………………………...стр. 17 Приложение 1. Памятка………………………………………………..…стр. 18 ВВЕДЕНИЕ Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе. А можно ли умножать не только так, как предлагают нам в учебниках математики? Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений. Ведь способность быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление. В нашем современном обществе, когда у каждого есть телефон с калькулятором, мы всё чаще и чаще используем его, и, следовательно, уже забываем, как можно без всякой техники легко и быстро посчитать сложные и большие числа или не очень большие. Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что ученики затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического направления. Актуальность работы: несмотря на то, что наша жизнь в последние годы стала значительно легче благодаря обилию доступных электронных счетных устройств, навык быстрого и удобного умножения не потерял своей актуальности для человека. Цель: показать на практике и на теории, как интересно и удобно можно умножать большие и маленькие числа. Объект исследования: арифметическое действие «умножение». Предмет исследования: различные нестандартные способы умножения. Гипотеза исследования: использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков умножения усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей. Задачи: - познакомится с историей создания счёта; - познакомиться с основными способами умножения; - научиться умножать большие числа легко, быстро и удобно; - составить памятку выполнения умножения нестандартными способами. Методы исследования: сбор материала по теме, его анализ и обработка, оформление работы, создание презентации. Выход проектного продукта: памятка по выполнению умножения нестандартными способами. Практическая значимость работы: мышление – это основной человеческий ресурс. Качество нашего будущего будет целиком зависеть от качества нашего мышления. Глава 1. История появления таблицы умножения. При раскопках здания в городе Нара, древней столице Японии, археологами была найдена деревянная табличка с фрагментом таблицы умножения. Из всех табличек, обнаруженных в Японии, найденная – самая древняя. Каким же образом жители Японии впервые узнали о математической «запоминалочки»? Судя по тому, что иероглифы, которыми записаны цифры напоминают китайское письмо, скорее всего, она была просто скопирована из китайского учебника арифметики того времени. А откуда она взялась в Китае? Не исключено, что именно там ее впервые и придумали. Эту версию подтверждает находка, сделанная китайскими археологами на юге страны. Там была обнаружена дощечка, на которой был фрагмент таблицы умножения, возраст которой ученые оценили в 2700 -3000 лет. На основании этой находки ученые Китая предложили гипотезу, согласно которой впервые таблица умножения была составлена в Древнем Китае, а потом вместе с караванами проникли в Индию, а оттуда в страны Передней Азии и Европу. Однако этой версии противоречат многие находки, сделанные ранее. Например, в Индии в свое время были обнаружены более древние варианты таблицы умножения, возраст которых оценивается в 3000-3200 лет. Самые старые в мире таблицы умножения были найдены при раскопках городов Древней Месопотамии. Они были нанесены с помощью клинописи на глиняные таблички, возраст которых составляет 5000 лет. Скорее всего, таблица умножения появилась где-то в тех краях. Хотя не исключено также и то, что данная система устного счета появилась независимо в разных местах. Узнать имя гениального математика, который первым додумался записать результаты умножения в виде таблицы, скорее всего, не удастся. Это пришло в голову сразу нескольким людям. В европейской культуре автором таблицы умножения считается знаменитый греческий математик Пифагор. Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера. Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия. За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел, и все эти приемы соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом. Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения. Глава 2. Нестандартные способы умножения. 2.1. Умножение «на пальцах». Счет по пальцам широко применялся в старину. Этим способом успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Этот способ описал в своей «Арифметике» выдающийся математик 18 века Леонтий Филиппович Магницкий. Вот, например, как умножали древние римляне на пальцах числа от 6 до 10. 1. Мысленно пронумеруем свои пальцы от 6 до 10 на каждой руке, начиная с мизинца. Пусть требуется умножить 7 на 8. 2. Кончик пальца 7 левой руки касается кончика пальца 8 правой руки. Соприкасающиеся пальцы и все пальцы ниже считают десятками. У нас это 50. 3. Теперь верхние пальцы левой и правой руки перемножаются друг с другом. Слева у нас 3, а справа 2. 3·2=6 4. Теперь складываем оба числа: 50=6+56. Правильно?  2.2. Умножение на 9. Многие в школе мучаются с таблицей умножения. Учишь ее учишь, а она все равно забывается. Особенно трудно запоминается таблица умножения на 9. Однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится "на пальцах". Для этого нужно повернуть руки ладонями от себя. Мысленно присваивается пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки. Вот так:  Допустим, нам надо умножить 3 на 9. Чтобы вычислить ответ, надо найти палец под номером 3 и загнуть его. Количество пальцев слева от загнутого пальца – это десятки, количество пальцев справа – это единицы. У нас слева – 2 пальца, это 2 десятка, а справа 7 пальцев. Значит, 3·9=27.  Еще пример: нужно вычислить 9·8. В качестве "счетной машинки" не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмем, к примеру, 10 клеточек в тетради. Необходимо зачеркнуть 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа - 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто.
  7 2 Оказывается, забавно считать на пальцах, к тому же очень легко. И зря взрослые говорят, что на пальцах считать плохо. 2.3. Японский счёт. Некоторые люди по своему мировоззрению - визуалы. Они, как и многие из нас любят природу, не любят слишком много учить. И к этим людям относятся японцы. Японцы сейчас занимают одну из первых позиций на мировом рынке. А почему так? Такая маленькая страна, но такие большие результаты. Всё из-за их склада ума. Они не только умеют быстро и правильно считать, но и умеют это красиво преподносить. И одно из таких доказательств - это японский способ умножения. Его цель заключается в том, чтобы, не зная таблицы умножения можно без ошибок посчитать большие числа. Всё решается по алгоритму, который быстро и легко запоминается. В   чем суть метода? Всё очень просто — рисуются наклонные линии, по количеству десятков и единиц. Первый множитель рисуется с левым уклоном, второй с правым, десятки левее, единицы правее. Затем отделяем самые левые пересечения, самые правые, и остаётся середина. Считаем количество точек на пересечениях и просто записываем результат, сотни (самая левая группа точек), десятки (серединные точки) и единицы (группа точек справа). В принципе, метод можно применять и для трёхзначных чисел и для более крупных чисел. Главное правильно выделять группы чисел и обращать внимание на перенос. Принцип метода прост — группы пересечений дают порядок величин, скажем, пересечение линий десятков с линией единиц даст десятки, а пересечение линии десятков с линией десятков даст сотни. Количество точек даёт результат умножения. Так что остаётся только посчитать. Но, согласитесь, насколько забавней такой метод умножения, по сравнению с привычным столбиком! 2.4. Крестьянский способ умножения или метод «удвоения и раздвоения». Самым, на мой взгляд, «родным» и легким способом умножения является способ, который употребляли русские крестьяне. Этот прием вообще не требует знания таблицы умножения дальше числа 2. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. В случае нечетного числа надо откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением 37……….32 74……….16 148……….8 296……….4 592……….2 1184……….1 Произведение всех пар соответственных чисел одинаковое, поэтому 37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184 В случае, когда одно из чисел нечетное или оба числа нечетные, поступаем следующим образом: 24 ∙ 17 24 ∙ 16 = = 48 ∙ 8 = = 96 ∙ 4 = = 192 ∙ 2 = =384 ∙ 1 = 384 24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408 2.5. Способ «Решетка». Например, умножим 793 на 92. 1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте. В предложенном примере можно использовать одну из этих сеток.   2. Выбрав сетку, умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки. В этом случае последовательно умножаем 9 на 7, на 9, и на 3.  Так пишется каждое произведение в соответствующей клетке. 3. Сетка со всеми заполненными клетками.  4. В заключение складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.  Число 72956 является ответом. Глава 3. Соревнование. В школе каждый человек учит таблицу умножения, затем постигает азы умножения столбиком на бумаге. Самые сообразительные и способные могут считать в уме, перемножая многозначные числа. Но признайтесь честно, кто сейчас сможет умножить двести сорок один на сто двадцать пять? Большинство из нас воспользуется карманным калькулятором или другим электронным гаджетом. Доступность техники расслабляет наш мозг, и заставить его шевелиться является большой проблемой у большинства обычных людей. Я попытался вызвать у моих одноклассников интерес к математике и именно поэтому провел между ними соревнование. Его цель состояла в том, чтобы выявить, какими способами можно быстрее и удобнее произвести вычисления, предложенными мною или стандартным столбиком. В соревновании участвовало 7 человек, которым было предложено умножить числа 123 и 224. Победили те, кто решал столбиком. Оно и понятно, ведь умножение столбиком уже более привычно для нас. Нестандартные способы умножения не сосредоточенны на быстром счёте. В чём же тогда преимущество таких вычислений? Они развивают логическое мышление, и самое главное появляется интерес к математике у школьников. Многие ребята после соревнования заинтересовались в нестандартных способах умножения. Поэтому решено создать памятку «Нестандартные способы умножения». Заключение. Рассмотрены нестандартные способы умножения и выявлено, что современный используемый алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный. Научившись считать всеми представленными способами, я пришел к выводу: самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе, может быть они для нас более привычны. Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался способ «Решетка». Я показал его своим одноклассникам, и он им тоже понравился. Использовать пальцы рук как инструмент при умножении чисел интересно и увлекательно. Я научил своих друзей использовать этот способ. Хотя этот метод подходит для умножения чисел от 6 до 10, но, я думаю, что для чисел ниже 6, стыдно не помнить таблицу умножения. Ведь чаще всего забываются таблицы на 6,7,8,9. Гипотеза подтвердилась: возрос интерес учащихся к математике, следовательно, они смогут использовать свои знания и умения в практической и повседневной жизни. Самым простым мне показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русские крестьяне. Я его использую при умножении не слишком больших чисел (очень удобно его использовать при умножении двузначных чисел). Заинтересовал меня и японский способ умножения. Я думаю, что и наш способ умножения в столбик не является совершенным и можно придумать еще более быстрые и более надежные способы. Но я также думаю, что без заучивания таблицы умножения не обойтись. Ведь некоторым людям будет сложнее понять ход вычислений, чем вспомнить необходимое число. А всем, кому интересен тот или иной способ, надо только тренироваться – и тогда секреты умножения быстро запомнятся. Библиография Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с. Перельман Я.И. Занимательная арифметика,- М.: АО «Столетие»,1994.- 176 с. Энциклопедия. Я познаю мир. Математика. – М.: Астрель Ермак, 2004.- 368 с. Энциклопедия для детей. Математика. – М.: Аванта +, 2003.- 688 с. Интернет – ресурсы 1.Быстрое умножение без калькулятора. http://samoychka.ru 2.Как научиться быстро считать в уме. http://kanks.ru/ 3.Корнеев А.А. Феномен русского умножения. История. http://numbernautics.ru/ Приложение 1. Памятка «Нестандартные способы умножения» Умножение «на пальцах». Умножение на 9. 3·9=27
7 2 8·9=72 Японский счёт. Крестьянский способ умножения 37·32=? 37……….32 74……….16 148……….8 296……….4 592……….2 1184……….1 37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184 Если одно из чисел нечетное или оба числа нечетные, то: 24 ∙ 17 24 ∙ 16 = = 48 ∙ 8 = = 96 ∙ 4 = = 192 ∙ 2 = =384 ∙ 1 = 384 24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408 Способ «Решетка». 793 · 92 =? 1. или 2. 3. 4. 5. 793·92=72956 |
