Инструкционная карта к практическому занятию по теме Множества и. Операции над множествами. Диаграмма ЭйлераВенна. Разбиение множества на классы
 Скачать 413.07 Kb.
|
|
Практическая работа № 1. Тема: «Операции над множествами. Диаграмма Эйлера-Венна. Разбиение множества на классы» Основные теоретические положения и примеры решения типовых заданий. Понятие множества. Подмножества. Понятие множества относится к аксиоматическим понятиям математики. Множество – совокупность определённых, различимых между собой объектов, рассматриваемых как единое целое, и обладающая некоторым общим свойством. Имеется три важных момента, характеризующих понятие множества: 1) объекты, входящие во множество, определённые – т.е. для каждого объекта можно однозначно сказать, принадлежит ли он данному множеству или нет; 2) объекты, входящие во множество, различимы между собой – т.е. во множестве не может быть двух или более одинаковых объектов; 3) все объекты, входящие во множество, мыслятся как единое целое – т.е. во множестве абстрагируются от свойств отдельных объектов, но говорят об общем свойстве множества, как единого целого; такое общее свойство называют характеристическим. Например, можно говорить о множестве всех книг данной библиотеки, множестве всех вершин данного многоугольника, множестве всех натуральных чисел, множестве всех точек данной прямой. Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, D и т.д. Объекты, входящие во множество, называют элементами. Например:  – множество букв русского алфавита; – множество натуральных чисел; – множество студентов, сидящих на 1-м ряду.Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае множество называется бесконечным. Множество может содержать и всего лишь один элемент. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается ∅. Множества А и S1, рассмотренные выше, – конечные, а множество N – бесконечное. Принадлежность элемента множеству записывается значком ∈. Например:  – буква «бэ» принадлежит множеству букв русского алфавита; – буква «бета» не принадлежит множеству букв русского алфавита; – число 5 принадлежит множеству натуральных чисел; – число 5,5 – не принадлежит множеству натуральных чисел; – Вольдемар не сидит в первом ряду.Таким образом, если множество содержит конечное число элементов, то оно может быть задано перечислением его элементов. Множество может быть также задано при помощи правила, позволяющего определить, является ли данный объект элементом множества или нет. При записи правило, задающее множество, отделяется вертикальной чертой или двоеточием. Например, 1)  - множество чисел, принадлежащих отрезку  (подразумевается множество действительных чисел, которые перечислить через запятую уже невозможно);2)  - множество рациональных чисел, то есть, чисел, представимых в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем.Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В одновременно является элементом множества А. Иными словами, множество В содержится во множестве А:  . Значок  называют значком включения.Например: А – это множество букв русского алфавита. Обозначим через С – множество его гласных букв, которое будет подмножеством множества А. Тогда:  .Пусть заданы множества А = {1, 3, 5, 7} и B = {3, 5}. Очевидно, что В есть подмножество А, т.е. .Множество N натуральных чисел является подмножеством множества Z целых чисел, т. е.  .  Из определения подмножества следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т. е. справедливо утверждение  . Говорят, что А – самое широкое подмножество А. Пустое множество является подмножеством любого множества. Пустое множество является самым узким подмножеством любого множества.Пример 1. Дано некоторое множество, состоящее из трёх элементов:  . Найти все его подмножества.Решение. Во-первых, это – пустое множество ∅. Во-вторых, множества, содержащие по одному элементу: {а}, {b},{с}. В-третьих, множества, содержащие по два элемента: {а, b}, {b, с}, {а, с}. И, наконец, само множество {а, b, с}. Ответ: ∅, {а}, {b},{с},{а, b}, {b, с}, {а, с},{а, b, с}. Зафиксированное каким-либо образом множество объектов, допустимых при данном рассмотрении, называют универсальным множеством (базовым множеством, основным множеством, универсумом). Часто обозначается U. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обозначают так: А = В. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В. Обозначается  .  Объединением множеств А и В называется такое множество , каждый элемент которого содержится хотя бы в одном из множеств А или В. Обозначается  .  Разностью двух множеств А и В называется множество , содержащее лишь те элементы из А, которые не входят в В. Обозначается  .  Если множество В – подмножество множества А ( ), то разность называется дополнением к В в множестве А. Обозначается  .Дополнением множества А по отношению к универсальному множеству U есть множество  , составленное из всех тех элементов U, которые не находятся в А:  Пример 2. Дано: а)  , A = {1;3;4;5;9}, B = {2;4;5;10}. б)  , A = [-3;3), B = (2;10].Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A,  .Решение. a) A∩B = {4;5}, A∪B = {1;2;3;4;5;9;10}, A \ B = {1;3;9}, B \ A = {2;10}, = Z \ B;б) A∩B = (2;3), A∪B = [-3;10] , A\B = [-3,2], B\A = [3,10],B Z\B = (-∞,2]∪(10,+∞). Пример 3. Пусть А – множество различных букв в слове «математика», а В – множество различных букв в слове «стереометрия». Найти пересечение и объединение множеств А и В. Решение. А = { м, а, т, е, и, к } В = { с, т, е, р, о, м, и, я } А∩В = { м, т, е, и } А ∪ В = { м, а, т, е, и, к, с, р, о, я }. Для иллюстрации операций над множествами часто используются диаграммы Эйлера – Венна. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U , а внутри него – кругов, представляющих множества. • объединение А∪В • пересечение А∩В • разность А\В • дополнение A     Круги, которыми изображаются множества, называются кругами Эйлера. Пример 3.В классе английский язык изучают 25 человек, а немецкий – 27 человек, причем 18 человек изучают одновременно английский и немецкий языки. Сколько человек в классе: а) изучают иностранные языки? б) изучают только английский язык? в) изучают только немецкий язык? Р  ешение. А - множество школьников, изучающих английский язык, В – множество школьников, изучающих немецкий язык. Изобразим эту ситуацию с помощью диаграммы. Два языка изучают 18 школьников, поставим это число в пересечение множеств А и В. Английский язык изучают 25 человек, но среди них 18 человек изучают и немецкий язык, значит, только английский язык изучают 7 человек, укажем это число на диаграмме. Аналогично, только немецкий язык изучают 27 – 18 = 9 человек. Поместим и это число на диаграмму. По диаграмме получаем: а) 7 человек, б) 9 человек, в) 7 + 18 + 9 = 34 человека.  Пример 4. Используя диаграммы Эйлера-Венна доказать тождество: A\ (B\C) = (A\B) ∪ ( A ∩ C). Решение. Построим диаграммы: Левая часть равенства представлена на рисунке а), правая – на рисунке б). Из диаграмм очевидно равенство левой и правой частей данного соотношения. Разбиение множества на классы. Говорят, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы, если выполнены следующие условия: 1) любые два подмножества попарно не пересекаются; 2) объединение всех подмножеств совпадает с исходным множеством Х. Разбиение множества на классы называют классификацией. Классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множества. Например, натуральные числа можно разбить на четные и нечетные. Буквы русского языка можно разбить на гласные и не гласные. Вообще, если на множестве Х задано одно свойство А, то это множество разбивается на два класса: первый класс – объекты, обладающие свойством А, второй класс – объекты, не обладающие свойством А. Если элементы множества обладают двумя независимыми свойствами, то все множество разбивается на 4 класса. Н  апример, на множестве натуральных чисел заданы два свойства: «быть кратным 2» и «быть кратным 3». При помощи этих свойств в множестве N можно выделить два подмножества А и В. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого. Тогда в первый класс войдут числа, кратные 2 и 3, во второй – кратные 2, но не кратные 3, в третий – кратные 3, но не кратные 2, в четвертый – не кратные 2 и не кратные 3.Пример 5. Пусть Х – множество четырехугольников, А, В и С – его подмножества. Можно ли говорить о разбиении множества Х на классы А, В и С, если: а) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, противоположные стороны которых не параллельны; б) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, имеющих прямой угол? Решение. а) Множества А, В и С попарно не пересекаются. Действительно, если у четырехугольника, противоположные стороны не параллельны, то он не может быть параллелограммом или трапецией. В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, поэтому он не может принадлежать ни множеству В, ни множеству С. Наконец, в трапеции две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, поэтому трапеция не может принадлежать ни множеству А, ни множеству С. Объединение множеств А, В и С даст все множество четырехугольников. Условия классификации выполнены, множество всех четырехугольников можно разбить на параллелограммы, трапеции и четырехугольники, противоположные стороны которых не параллельны. б) Множества А и В не пересекаются, но множества А и С имеют общие элементы, примером может служить прямоугольник, множества В и С тоже пересекаются: общим элементом является прямоугольная трапеция. Следовательно, нарушено первое условие классификации. Не выполняется и второе условие, так как некоторые четырехугольники не попадают ни в одно из подмножеств А, В или С, таким является четырехугольник с непараллельными сторонами и непрямыми углами. В этом случае множество Х на классы А, В и С не разбивается. Практическая часть. Задания выполняются по вариантам, заданным преподавателем. Задание 1. Образуйте все подмножества множества букв в слове.
Задание 2. Данные множества задать перечислением всех своих элементов.
Задание 3. Даны множества А и В. Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A, .
  |
≤2x<5}
