Симедиана. симедиана. Определение 1 симедиана чевиана, симметричная медиане, относительно биссектрисы того же угла треугольника. Определение 2
 Скачать 20.66 Kb.
|
|
В отличие от медианы, симедиана не является широко известным геометрическим объектом, однако её рассмотрение вполне естественно, поскольку симметрия относительно биссектрисы – достаточно часто встречающийся прием. Заметим, что свойства симедианы позволяют находить короткие решения многих трудных задач, в том числе и олимпиадных. . Отметим, что использование таких фактов, как основная задача о симедиане или свойство гармонического четырехугольника, приводит к существенному упрощению решения. Для начала, рассмотрим основные теоретические факты, связанные с симедианой. В первую очередь, это, конечно, определения. Симедиану, как и множество геометрических объектов, можно задавать несколькими определениями. В данном случае, обычно используют два, одно из которых раскрывает геометрическую суть симедианы, а второе – её метрические характеристики. Определение №1: симедиана – чевиана, симметричная медиане, относительно биссектрисы того же угла треугольника. Определение №2: симедиана – чевиана, делящая противоположную сторону в отношении квадратов прилежащих сторон. Сформулируем лемму, которая часто используется для решения задач про симедиану. Лемма: В треугольнике проведен отрезок, антипараллельный одной из сторон. Тогда прямые, содержащие медиану большого и симедиану маленького треугольника, совпадают. Одним из самых известных, но, в то же время, далеко не самым простым из фактов, связанных с симедианой является основная задача о симедиане. Основная задача: прямая, содержащая симедиану треугольника проходит через точку пересечения касательных из двух его вершин к описанной окружности треугольника. Определение: Вписанный в окружность четырехугольник называется гармоническим, если произведения его противоположных сторон равны. Свойство: диагонали гармонического четырехугольника являются симедианами. Лемма: если во вписанном четырехугольнике одна диагональ является симедианой, то он гармонический. Симедиана — геометрическое место точек внутри треугольника, выходящее из одной вершины, дающее два равных отрезка, антипараллельных двум сторонам, пересекающимся в этой вершине, и ограниченных тремя сторонами. Симедиана является частным случаем чевианы треугольника. Отрезки, на которые симедиана делит противоположную сторону, пропорциональны квадратам прилежащих сторон. Симедианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется точкой Лемуана и обозначается K или L Впервые точку Лемуана (Lemoine Point) обнаружил (1809) швейцарский геометр и тополог Симон Антуан Жан Люилье. Этой точке было посвящено исследование (1847) Эрнста Вильгельма Гребе (Grebe), в честь которого в Германии она называлась точкой Гребе (Grebe point). Точка названа в честь французского геометра Эмиля Лемуана, опубликовавшего доказательство существования точки (1873). Росс Хонсберегер (Ross Honsberger) назвал существование точки Лемуана "одним из драгоценных камней в короне современной геометрии".[3] Точка Лемуана изогонально сопряжена центроиду. Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна, когда эта точка является точкой Лемуана. Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон. Точка Лемуана — единственная точка, которая является центроидом своего подерного треугольника. Продолжение симедиан проходят через соответствующие вершины тангенциального треугольника. |