ЗЯЗЯ. Определение Порядком
 Скачать 0.7 Mb.
|
|
Т. Лагранжа Следствие 2.1. (теорема Лагранжа) Порядок каждой подгруппы конечной группы делит порядок группы. Доказательство. Пусть G = (S; ∗) – конечная группа, а H – ее подгруппа. Рассмотрим левостороннее разложение группы G по подгруппе H. Тогда по теореме 2 все левые смежные классы равномощны, и их мощность равна порядку подгруппы H. Каждый элемент множества S лежит ровно в одном левом смежном классе, поэтому |G| = |H| · {число левых смежных классов}. Отсюда |H| | |G|. 8. Нормальная подгруппа - Подгруппа HH группы GG называется нормальной подгруппой, если ∀x∈G,∀h∈H:x⋅h⋅x−1∈H Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией. ЯДРО ГОМОМОРФИЗМА ( СВОЙСТВО ) ДОПИСАТЬ ДОМА !!!! 9. Класс сопряжённости — множество элементов группы {\displaystyle G}G, образованное из элементов, сопряжённых заданному g принадлежащее G{\displaystyle g\in G}, то есть — всех элементов вида {\displaystyle hgh^{-1}}, hgh^-1 где h{\displaystyle h}hhрр — произвольный элемент группы G{\displaystyle G}. Класс сопряжённости элемента g принадлежащий G{\displaystyle g\in G} может обозначаться [g],g^G{\displaystyle [g]}, {\displaystyle g^{G}}или Cl (g) Элементы {\displaystyle g_{1}}g1 и {\displaystyle g_{2}}g2gg2 группы G{\displaystyle G}GG называются сопряжёнными, если существует элемент {\displaystyle h\in G}h принадлежит G, для которого {\displaystyle hg_{1}h^{-1}=g_{2}}hg1h^-1=g2. Сопряжённость является отношением эквивалентности, а потому разбивает {\displaystyle G}G на классы эквивалентности, это, в частности, означает, что каждый элемент группы принадлежит в точности одному классу сопряжённости, и классы {\displaystyle [g_{1}]} [g1] и [g2]{\displaystyle [g_{2}]}[[ совпадают тогда и только тогда, когда {\displaystyle g_{1}}g1 и {\displaystyle g_{2}}g2 сопряжены, и не пересекаются в противном случае.{\displaystyle \mathrm {Cl} (g)}. Уравнение Коши для функции f:RR имеет вид f(x+y)=f(x)+f(y) 10. kerϕ={x∈G1|ϕ(x)=e(G2)}kerϕ={x∈G1|ϕ(x)=e(G2)} — ядро гомоморфизма ϕ:G1→G2ϕ:G1→G2. Отображение ϕ:G1→G2ϕ:G1→G2 группы ⟨G1,⋅⟩⟨G1,⋅⟩ в группу ⟨G2,×⟩⟨G2,×⟩ называется гомоморфизмом, если оно сохраняет групповую структуру: ∀a,b∈G1:ϕ(a⋅b)=ϕ(a)×ϕ(b)∀a,b∈G1:ϕ(a⋅b)=ϕ(a)×ϕ(b) (Теорема о Гомоморфизмах: пусть F:G→R (f-гомоморфизм G на R),тогда группа R изоморфна(??) фактор группе G/kerf ) 11 Простая группа — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы. Критерий просто конечной абелевой группы ????  |