Определение внутренних усилий методом сечений (Алексейцев)-1. Определение внутренних усилий методом сечений

Название	Определение внутренних усилий методом сечений
Дата	02.04.2022
Размер	2.2 Mb.
Формат файла
Имя файла	Определение внутренних усилий методом сечений (Алексейцев)-1.pdf
Тип	Методические указания #436936
страница	2 из 3

1 2 3

Правило знаков для крутящего момента M
z
:
Если внешняя нагрузка создает крутящий момент относительно оси
Z, действующий против часовой стрелки, то в выражении для M
z
она
дает отрицательное слагаемое, если по часовой стрелке, то дает по-
ложительное слагаемое. Смотреть необходимо со стороны отбро-
шенной части стержня (т.е. со стороны положительного направле-
ния оси Z).

11 динат в выбранном масштабе откладываются значения продольных сил с учетом знаков (рисунок 1-5).
Рисунок 1-5
Положительные значения продольных сил N
z откладывают вверх от нулевой линии, отрицательные – вниз. В тех сечениях стержня, где приложены внешние сосредоточенные силы, на эпюре продольных сил получаются «скачки» равные величине этих сил. На тех участках стержня, где действует распределенная нагрузка, эпюра продольных сил ограничивается наклонной прямой, где распределенная нагрузка отсутствует, то эпюра ограничивается прямой параллельной базе.
12
Пример 2.
К стержню приложены сосредоточенные скручивающие моменты
(рисунок 2-1). Определить значения внутренних усилий и построить их эпюры, если M=4 кНм.
Уч. I Уч. II
Уч. III
Рисунок 2-1
Стержень имеет три силовых участка.
На каждом участке проводим произвольное сечение и отбрасыва- ем левую часть, т.к. там находятся неизвестные нам опорные реакции, определять которые по условию задачи не требуется. К оставшейся правой части прикладываем совокупность шести внутренних силовых факторов и составим уравнения статики. Так как стержень нагружен внешними моментами, плоскость действия которых перпендикулярна продольной оси стержня, то отличен от нуля будет только один внут- ренний силовой фактор – крутящий момент M
z
Правило знаков для крутящего момента M
z
:
Если внешняя нагрузка создает крутящий момент относительно оси
Z, действующий против часовой стрелки, то в выражении для M
z
она
дает отрицательное слагаемое, если по часовой стрелке, то дает по-
ложительное слагаемое. Смотреть необходимо со стороны отбро-
шенной части стержня (т.е. со стороны положительного направле-
ния оси Z).

13
Участок I.
1
,
1 0
1

 z
Рисунок 2-2 1)
;
0


z
F
0

z
N
2)
;
0


x
F
0

x
Q
3)
;
0


y
F
0

y
Q
4)
;
0


z
M
0 4
5 14




M
M
M
M
z
).
(
20 4
5 5
4 5
14
м
кН
M
M
M
M
M
z












5)
;
0


x
M
0

x
M
6)
;
0


y
M
0

y
M
Участок II.
6
,
0 0
2

 z
14
Рисунок 2-3 1)
;
0


z
F
0

z
N
2)
;
0


x
F
0

x
Q
3)
;
0


y
F
0

y
Q
4)
;
0


z
M
0 4
5



M
M
M
z
).
(
36 4
9 9
4 5
м
кН
M
M
M
M
z







5)
;
0


x
M
0

x
M
6)
;
0


y
M
0

y
M
Участок III.
2
,
1 0
2

 z
Рисунок 2-4 1)
;
0


z
F
0

z
N
2)
;
0


x
F
0

x
Q
3)
;
0


y
F
0

y
Q
4)
;
0


z
M
0 4

 M
M
z
).
(
16 4
4 4
м
кН
M
M
z





5)
;
0


x
M
0

x
M
6)
;
0


y
M
0

y
M

15
Рисунок. 2-5
Знак «минус», полученный для крутящего момента M
z на участке
I, говорит о том, что действительное направление крутящего момента не совпадает с принятым на рисунке 2-2. На самом деле крутящий мо- мент M
z направлен в противоположную сторону. Знак «плюс», полу- ченный для крутящего момента M
z на участках II и III, говорит о том, что действительное направление M
z совпадает с направлением, вы- бранным на рисунке 2-3 и 2-4. Эпюра крутящих моментов (рисунок
2-5) строится аналогично эпюрам продольных сил.
В тех сечениях стержня, где приложены внешние сосредоточен- ные моменты, на эпюре крутящих моментов получаются «скачки», равные величине этих моментов.
16
Пример 3.
Балка – это прямолинейный стержень, работающий на изгиб.
Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интен- сивностью q=10 (кН/м), сосредоточенной силой F=8 (кН) и сосредото- ченным моментом M=20 (кНм)
(рисунок 3-1). Определить значения внутренних усилий и построить их эпюры.
Рисунок 3-1
Заданная балка имеет шарнирно - подвижную опору А и шарнир- но - неподвижную опору В, в которых возникают реакции R
A
, R
B
и Н
В,
Уч. I Уч. II Уч . III
Рисунок 3-2
Определим значения и направления этих реакций. Для этого зада- димся их произвольным направлением и составим уравнения моментов относительно опорных точек А и В (рисунок 3-2).
0 11 5
,
9 3
3 0











B
R
q
M
F
A
M
).
(
27
,
26 11 5
,
9 3
10 20 3
8 11 5
9 3
3
кН
q
M
F
B
R













0 5
,
1 3
8 11 0











q
M
F
A
R
В
M
).
(
73
,
11 11 5
,
1 3
10 20 8
8 11 5
1 3
8
кН
q
M
F
A
R













0 0



A
z
H
F

17
После определения опорных реакций делается проверка. Для этого со- ставляется уравнение
0

C
М

. Если тождество выполняется, то опорные реакции определены верно.
ПРОВЕРКА
0 8
5
,
6 3
3 0










B
R
q
M
A
R
C
M
03
,
0 8
27
,
26 5
,
6 3
10 20 3
73
,
11










0

Тождество выполняется, значит опорные реакции определены верно.
Если при определении
A
R
и
B
R
получились положительные значе- ния, то это значит, что их действительное направление будет совпадать с принятым на рисунке 3-2. Если значение опорной реакции получи- лось отрицательным, то предлагается первоначально выбранное на- правление реакции зачеркнуть, и направить в противоположную сто- рону, и в дальнейшем считать положительным.
Заданная конструкция имеет три силовых участка. На каждом участке проводится произвольное сечение и одна из частей отбрасыва- ется. Удобнее отбрасывать ту часть, которая содержит большее коли- чество нагрузок. Влияние отброшенной части заменяется совокупно- стью шести внутренних силовых факторов, которые можно опреде- лить, составив возможные уравнения статики. Из шести возможных, для данной задачи отличными от нуля будут только поперечная сила
y
Q
и изгибающий момент
x
M
Для практических вычислений внутренних усилий используют правила знаков.
18
Правило знаков для поперечной силы
y
Q
:
Если внешняя сила стремится повернуть рассматриваемую
часть конструкции относительно сечения по часовой стрелке, то в
выражение для
y
Q
на данном участке она дает положительное сла-
гаемое. И наоборот, если внешняя нагрузка стремится повернуть рас-
сматриваемую часть конструкции относительно сечения против ча-
совой стрелки, то в выражение для
y
Q
на данном участке она дает
отрицательное слагаемое (рисунок 3-3).
Рисунок 3-3
Правило знаков для изгибающего момента
x
M :
Если внешняя нагрузка вызывает сжатие верхних волокон балки,
при закрепленном сечении, то в выражение
x
M на данном участке она
дает положительное слагаемое. И наоборот, если внешняя нагрузка
вызывает сжатие нижних волокон балки, то в выражение
x
M на дан-
ном участке она дает отрицательное слагаемое (рисунок 3-4).
Рисунок 3-4

19
Участок I.
0 z
1
3
Рисунок 3-5 1)
;
0


z
F
0

z
N
2)
;
0


x
F
0

x
Q
3)
;
0


y
F
0


A
y
R
Q
).
(
73
,
11
кН
R
Q
A
y


4)
;
0


z
M
0

z
M
5)
;
0


x
M
0 1



z
R
M
A
x
1
z
R
M
A
x


При
)
(
0 0
73
,
11
,
0 1
м
кН
M
z
x





.
При
).
(
19
,
35 3
73
,
11
,
3 1
м
кН
M
м
z
x





6)
;
0


y
M
0

y
M
Из результатов расчета видно, что на I участке перерезывающее усилие Q
y будет постоянным, а изгибающий момент M
x представляется линейной функцией от осевой координаты z.
Для определения внутренних усилий по всей длине балки такие же действия повторяют на каждом силовом участке.
20
Участок II.
0 z
2
5
Рисунок 3-6 1)
0


z
F
;
0

z
N
2)
;
0


x
F
0

x
Q
3)
;
0


y
F
0



F
R
Q
A
y
).
(
73
,
3 8
73
,
11
кН
F
R
Q
A
y





4)
;
0


z
M
0

z
M
5)
;
0


x
M
0
)
3
(
2 2






z
F
z
R
M
A
x
2 2
)
3
(
z
F
z
R
M
A
x





При
)
(
19
,
35 0
3 73
,
11
,
0 1
м
кН
F
M
z
x







.
При
).
(
84
,
53 40 84
,
93 5
8 8
73
,
11
,
5 1
м
кН
M
м
z
x









6)
;
0


y
M
0

y
M
Результат расчета показывает, что на втором участке перерезы- вающее усилие
y
Q
есть постоянная величина, а изгибающий момент
x
M представляется линейной функцией от осевой координаты z.

21
Участок III.
0 z
3
3
Рисунок 3-7 1)
0


z
F
;
0

z
N
2)
;
0


x
F
0

x
Q
3)
;
0


y
F
0 3




z
q
R
Q
B
y
0 3





z
q
R
Q
B
y
При
)
(
27
,
26 0
10 27
,
26
,
0 3
кН
Q
z
y







.
При
).
(
73
,
3 3
10 27
,
26
,
3 3
кН
Q
м
z
y






4)
;
0


z
M
0

z
M
5)
;
0


x
M
0 2
3 3
3






z
z
q
z
R
M
B
x
0 2
3 3
3






z
z
q
z
R
M
B
x
При
).
(
0 0
10 0
27
,
26
,
0 3
м
кН
M
z
x







При
).
(
81
,
33 45 81
,
78 2
3 3
10 3
27
,
26
,
3 3
м
кН
M
м
z
x










6)
;
0


y
M
0

y
M
22
Результат расчета показывает, что перерезывающее усилие
y
Q
на
III участке меняется по линейному закону, а изгибающий момент
x
M по закону квадратной параболы. Кроме того, на участке III функция
y
Q
меняет знак с плюса на минус, принимая в некотором сечении с коор- динатой
*
3
z
нулевое значение. Значит, функция
x
M
в этом сечении имеет экстремум. Чтобы определить экстремальное значение момента надо приравнять функцию
y
Q
к нулю на этом участке и определить координату
*
3
z
, т.е. определить где именно данная функция
y
Q
равна нулю.
0
*
3





z
q
R
Q
B
y
)
(
627
,
2
*
3
м
q
R
z
B


Подставив эту координату
*
3
z
в выражение
x
M
для данного участка, определим экстремальное значение момента.
При
),
(
627
,
2
*
3
м
z 
).
(
5
,
34 51
,
34 01
,
69 2
627
,
2 627
,
2 10 627
,
2 27
,
26
м
кН
M
x









По полученным результатам строятся эпюры внутренних усилий
(рисунок 3-8).
Эпюра изгибающих моментов М
х
строится со
стороны сжатых волокон.

23
Рисунок 3-8
Следует отметить, что в сечении, где приложен момент
М=20кНм, на эпюре
x
M
должен быть "скачок" на 20 кНм, а мы по-
лучили "скачок" на 20,03 кНм. Такая погрешность связана с округлени-
ем результатов при определении опорных реакций.
После построения эпюр необходимо проверить их правильность.
Для этого используются дифференциальные зависимости
q
z
d
M
d
Q
dz
dM
q
dz
dQ



2 2
,
,
24

1 2 3