Определение внутренних усилий методом сечений (Алексейцев)-1. Определение внутренних усилий методом сечений

Название	Определение внутренних усилий методом сечений
Дата	02.04.2022
Размер	2.2 Mb.
Формат файла
Имя файла	Определение внутренних усилий методом сечений (Алексейцев)-1.pdf
Тип	Методические указания #436936
страница	1 из 3

1 2 3

Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВО «Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова»
Алексейцев А.И., Борисова А.Д., Черепанова Е.В.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ
МЕТОДОМ СЕЧЕНИЙ
Методические указания и варианты заданий для студентов обучающихся по направлениям входящим в укрупненные группы «Металлургия, машиностроение и материалообработка», «Транспортные средства»
Барнаул 2018 2
УДК 620.174(0.75.5)
А-478
Алексейцев А.И. Метод сечений. Определение внутренних усилий методом сечений: Методические указания и вари- анты заданий/А.И. Алексейцев, А.Д. Борисова,
Е.В.Черепанова; Алт. гос. тех. ун-т им. И. И. Ползунова. –
Барнаул, 2018. – 60 с.
Методические указания предназначены для студентов изучающих курс «Сопротивление материалов», "Техниче- ская механика" и "Прикладная механика" по направлениям входящим в укрупненные группы «Металлургия, машино- строение и материалообработка», «Транспортные средст- ва» и включают в себя варианты решения расчетного за- дания по определению внутренних усилий методом сече- ний.
Рассмотрена и одобрена на заседании кафедры
«Механика и инноватика».
Протокол №5 от 06.02.2018 г.

3
Внутренние усилия и их определение.
Между частицами твердого тела существуют определенные силы межатомного взаимодействия, называемые внутренними силами. Они стремятся сохранить тело как единое целое и противодействуют вся- кому внешнему воздействию, изменяющему взаимное расположение частиц. Внутренние силы действуют и при отсутствии внешней на- грузки, но в этом случае они взаимно уравновешены и никаким обра- зом себя не проявляют. Деформация тела, являющаяся результатом внешнего воздействия, приводит к изменению внутренних сил. В кур- сах «Сопротивление материалов» и "Техническая механика" изучают и вычисляют только приращения внутренних сил или так называемые внутренние усилия, которые появляются в результате нагружения. Та- ким образом, возникает необходимость связать и выразить внутренние усилия через внешние нагрузки. Для этого широко используется «ме-
тод сечений».
Рассмотрим брус, находящийся в равновесии под действием внешних сил F
1
, F
2
, F
3
…F
n и опорных реакций (рисунок 1).
Рисунок 1
Мысленно рассечем стержень на две части некоторой плоско- стью, перпендикулярной продольной оси Z (рисунок 2).
4
Рисунок 2
Внутренние силы действуют во всех точках поперечного сечения, т.е. представляют собой распределенную нагрузку. С помощью урав- нений статики установить закон распределения этой нагрузки не пред- ставляется возможным. Методами статики можно лишь установить статический эквивалент внутренних сил, т.е. главный вектор
R

и глав- ный момент
M

. Проекциями главного вектора и главного момента на координатную систему ZXY являются три силы и три момента, кото- рые называются внутренними силовыми факторами или внутрен-
ними усилиями. Начало системы координат ZXY размещается в цен- тре тяжести поперечного сечения. Ось Z направляется по внешней нормали к сечению, т.е. по продольной оси стержня, а оси X и Y на- правляются перпендикулярно продольной оси и лежат в плоскости се- чения. Предлагается для левой и правой части выбрать направление осей и внутренних усилий так, как показано на рисунке 3.
Рисунок 3
Положительные направления внутренних усилий
y
x
z
Q
Q
N
,
,
совпадают с направлением соответствую-
щей оси, а положительные моменты
y
x
z
M
M
M
,
,
на-
правлены против хода часовой стрелки, если смотреть
со стороны положительного направления соответст-
вующей оси.

5
Каждое внутреннее усилие имеет свое название и соответствует определенному виду деформации:
z
N
- продольная (осевая) сила, которая определяется как сумма проекций на продольную ось Z всех внешних сил, действующих на од- ну из частей рассеченного стержня, и вызывает продольную деформа- цию стержня (растяжение или сжатие).
x
Q
- поперечная (перерезывающая) сила, которая определяется как сумма проекций на ось X всех внешних сил, действующих на одну из частей рассеченного стержня, и вызывает деформацию сдвиг или срез в направлении оси X.
y
Q
- поперечная (перерезывающая) сила, которая определяется как сумма проекций на ось Y всех внешних сил, действующих на одну из частей рассеченного стержня, и вызывает деформацию сдвиг или срез в направлении оси Y.
z
M
- крутящий момент, определяется как сумма моментов всех внешних сил относительно оси Z, действующих на одну из частей рас- сеченного стержня, и вызывает деформацию кручение.
x
M
- изгибающий момент, определяется как сумма моментов всех внешних сил относительно оси X, действующих на одну из частей рассеченного стержня, и вызывает деформацию изгиб в плоскости
ZOY.
y
M
- изгибающий момент, определяется как сумма моментов всех внешних сил относительно оси Y, действующих на одну из частей рассеченного стержня, и вызывает деформацию изгиб в плоскости
ZOX.
Для практического вычисления шести внутренних силовых фак- торов в самом общем случае нагружения надо составить шесть уравне- ний равновесия, а именно:
0 1




z
n
i
iz
N
F
;
0 1




x
n
i
ix
Q
F
;
0 1




y
n
i
iy
Q
F
;
0 1




z
m
j
jz
M
M
;
0 1




x
m
j
jx
M
M
;
0 1




y
m
j
jy
M
M
6
Порядок определения внутренних усилий:
1. Определить опорные реакции (если есть такая необходимость).
2. Разбить конструкцию на силовые участки. Под силовым участ- ком понимается часть стержня, в пределах которого тот или иной си- ловой фактор изменяется по одному закону. Границами силовых уча- стков являются:
- начало и конец стержня;
- сечения, где продольная ось стержня меняет направление;
- сечения стержня, где приложены сосредоточенные силы;
- сечения стержня, где приложены сосредоточенные моменты;
- сечения стержня, где начинает или заканчивает действовать рас- пределенная нагрузка.
3. На каждом силовом участке провести произвольное сечение и одну из частей мысленно отбросить (удобнее отбрасывать наиболее на- груженную часть конструкции, или ту, где есть неизвестные опорные реакции).
4. Влияние отброшенной части на оставшуюся заменить совокуп- ностью всех шести внутренних усилий.
5. Определить внутренние усилия, составив соответствующие уравнения статики.
6. Построить эпюры внутренних усилий.
Эпюра - это график, показывающий изменение
внутреннего усилия по длине стержня.

7
Пример 1.
Определить значения внутренних усилий и построить их эпюры для стержня (рисунок 1-1), если F=5 кH, q=40 кH/м.
Уч. I
Уч. II Уч. III
Рисунок 1-1
Стержень имеет три силовых участка. На каждом участке прово- дим произвольное сечение и отбрасываем правую часть, т.к. там нахо- дятся неизвестные нам опорные реакции, определять которые по усло- вию задачи не требуется (рисунки 1-2, 1-3, 1-4).
К оставшейся левой части прикладываем совокупность шести внутренних усилий и составим все шесть уравнения статики.
Правило знаков для продольной силы N
z
:
если внешняя нагрузка вызывает деформацию растяжения рассмат-
риваемого участка стержня, то в выражении для определения N
z
она
дает положительное слагаемое, и наоборот, если вызывает деформа-
цию сжатия, то дает отрицательное слагаемое.
8
Участок I
2
,
1 0
1

 z
Рисунок 1-2 1)
;
0


z
F
0 7

 F
N
z
).
(
35 7
кН
F
N
z


2)
;
0


x
F
0

x
Q
3)
;
0


y
F
0

y
Q
4)
;
0


z
M
0

z
M
5)
;
0


x
M
0

x
M
6)
;
0


y
M
0

y
M

9
Участок II.
8
,
0 0
2

 z
Рисунок 1-3 1)
;
0


z
F
0 3
7 2





z
q
F
F
N
z
2 3
7
z
q
F
F
N
z




При
).
(
20 0
15 35 0
2
кН
N
z
z





При
).
(
12 8
,
0 40 15 35 8
,
0 2
кН
N
м
z
z







2)
;
0


x
F
0

x
Q
3)
;
0


y
F
0

y
Q
4)
;
0


z
M
0

z
M
5)
;
0


x
M
0

x
M
6)
;
0


y
M
0

y
M
10
Участок III.
9 0,
0 3

 z
Рисунок 1-4 1)
;
0


z
F
0 8
,
0 3
7





q
F
F
N
z
).
(
12 32 15 35 8
,
0 3
7
кН
q
F
F
N
z









2)
;
0


x
F
0

x
Q
3)
;
0


y
F
0

y
Q
4)
;
0


z
M
0

z
M
5)
;
0


x
M
0

x
M
6)
;
0


y
M
0

y
M
Знак «минус», полученный для продольной силы на участках II и
III, говорит о том, что действительное направление продольной силы
N
z не совпадает с принятым на рисунках 1-3 и 1-4. На самом деле про- дольная сила N
z направлена в противоположную сторону и вызывает сжатие данного участка. Знак «плюс», полученный для продольной си- лы на участках I и II, говорит о том, что действительное направление
N
z совпадает с направлением, выбранным на рисунке 1-2 и 1-3 и вы- зывает растяжение данных участков стержня.
Наглядное представление о законе изменения продольных сил по длине стержня дает эпюра. Нулевая линия (база) проводится парал- лельно оси стержня, а ось ординат перпендикулярно базе. По оси ор-

11 динат в выбранном масштабе откладываются значения продольных сил с учетом знаков (рисунок 1-5).
Рисунок 1-5
Положительные значения продольных сил N
z откладывают вверх от нулевой линии, отрицательные – вниз. В тех сечениях стержня, где приложены внешние сосредоточенные силы, на эпюре продольных сил получаются «скачки» равные величине этих сил. На тех участках стержня, где действует распределенная нагрузка, эпюра продольных сил ограничивается наклонной прямой, где распределенная нагрузка отсутствует, то эпюра ограничивается прямой параллельной базе.
12
Пример 2.
К стержню приложены сосредоточенные скручивающие моменты
(рисунок 2-1). Определить значения внутренних усилий и построить их эпюры, если M=4 кНм.
Уч. I Уч. II
Уч. III
Рисунок 2-1
Стержень имеет три силовых участка.
На каждом участке проводим произвольное сечение и отбрасыва- ем левую часть, т.к. там находятся неизвестные нам опорные реакции, определять которые по условию задачи не требуется. К оставшейся правой части прикладываем совокупность шести внутренних силовых факторов и составим уравнения статики. Так как стержень нагружен внешними моментами, плоскость действия которых перпендикулярна продольной оси стержня, то отличен от нуля будет только один внут- ренний силовой фактор – крутящий момент M
z

1 2 3