СОЧЕТАНИЕ. Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания. Проказница Мартышка Осёл, Козёл
 Скачать 270.83 Kb.
|
|
Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания. Проказница Мартышка Осёл, Козёл, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Вот пуще прежнего пошли у них разборы И споры, Кому и как сидеть… знать:
уметь: множество Множество характеризуется объединением некоторых однородных объектов в одно целое. Объекты, образующие множество, называются элементами множества. Множество будем записывать, располагая его элементы в фигурных скобка {a, b, c, … , e, f}. Во множестве порядок элементов роли не играет, так {a, b} = {b, a}. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ø. множество Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В. В А Множество {a, b} является подмножеством множества {a, b, c, … , e, f}. Обозначается Пример: Задача Перечислите возможные варианты подмножества множества {3, 4, 5, 7, 9}. Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству. Комбинаторика является важным разделом математики, который исследует закономерности расположения, упорядочения, выбора и распределения элементов с фиксированного множества. ПРАВИЛО СУММИРОВАНИЯ Если два взаимоисключающие действия могут быть выполнены в соответствии k и m способами, тогда какое-то одно из этих действий можно выполнить k + m способами. Пример №1 Из города А в город В можно добраться 12 поездами, 3 самолетами, 23 автобусами. Сколькими способами можно добраться из города А в город В? Решение N=12+13+23=38 Пример № 2 В ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Конечно, n способами. Теперь эти n шариков распределены по двум ящикам: В первом m шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать? Решение. Из первого ящика шарик можно вытянуть m различными способами, из второго k различными способами, всего N = m + k способами. ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ Пусть две выполняемые одно за другим действия могут быть осуществлены в соответствии k и m способами Тогда обе они могут быть выполнены k ∙ m способами. Пример № 3 В турнире принимают участие 8 хоккейных команд. Сколько существует способов распределить первое, второе и третье места? Решение N=8∙7∙6=336 Пример № 4 Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления? Решение. Поскольку число двузначное, то число десятков (m) может принимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может принимать те же значения и может, кроме того быть равным нулю. Отсюда следует, что m = 9, а k= 10. Всего получим двузначных чисел N = m ·k = 9·10 =90. Пример № 5 В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола? Решение. По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет N =182 + 30 = 212. Типы соединений Множества элементов называются соединениями. Различают три типа соединений:
Определение: Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из n элементов. Иными словами, это такое множество, для которого указано, какой элемент находится на первом месте, какой – на втором, какой- на третьем, …, какой – на n-м месте. ПЕРЕСТАНОВКИ Перестановки – это такие соединения по n элементам из данных элементов, которые отличаются одно от другого порядком элементов. Число перестановок из n элементов обозначают Рn. Рn = n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n! Определение: Пусть n - натуральное число. Через n! (читается "эн факториал") обозначается число, равное произведению всех натуральных чисел 1 от до n: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n. В случае, если n = 0, по определению полагается: 0! = 1. ФАКТОРИАЛ Пример № 6 Найдем значения следующих выражений: 1! 2! 3! 7! Пример № 7 Чему равно а)Р5 ; б) Р3. Пример № 8 Упростите а) 7! · 8 б) 12! · 13 ·14 в) κ! · (κ + 1) Пример № 9 Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках? Решение. n =8 Р8=8! = 8·7·6·5 · 4 · 3 · 2 ·1 =40320 РАЗМЕЩЕНИЯ Определение. Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное множество из m элементов, состоящее из элементов n элементного множества. Число размещений из m элементов по n обозначают: вычисляют по формуле: Пример № 9 Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании учебных занятий на один день можно поставить 4 различных предмета. Сколько существует различных способов составления расписания на один день? Решение. Имеем 9-элементное множество, элементы которого учебные предметы. При составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество (уроков) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре (m=9, n=4) то есть A94: Пример № 10 Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать старосту и помощника старосты? Решение. Имеем 24-элементное множество, элементы которого ученики класса. При выборах старосты и помощника старосты мы будем выбирать 2-элементное подмножество (ученика) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре(m=24, n=2), то есть A242: СОЧЕТАНИЯ Определение. Сочетанием без повторений из n элементов по m -называется любое m элементное подмножество n -элементного множества Число сочетаний из n элементов по m обозначают и вычисляют по формуле: Пример № 11 Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать два дежурных ? Решение. n =24, m=2 Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? Д А НЕТ Все ли элементы входят в соединение? СОЧЕТАНИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ ПЕРЕСТАНОВКИ Рn = n! Д А НЕТ Определить к какому типу относится соединений относится задача. 1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков? 2. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде? Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да) Все ли элементы входят в соединение? ( да) Вывод: перестановка Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? Все ли элементы входят в соединение? (нет) (на этот вопрос ответ не нужен) Вывод: сочетания 3.Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными? Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? Все ли элементы входят в соединение? (нет) ( да) Вывод: размещение Проказница Мартышка Осёл, Козёл, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Вот пуще прежнего пошли у них разборы И споры, Кому и как сидеть… Сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно? Решение. Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да) Все ли элементы входят в соединение? (да) Вывод: перестановка Рn = n! =n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 n =4 Р4 = 4! = 4 · 3 · 2 ·1=24 «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле»? Кто автор высказывания? Е Е перестановки К размещение Л сочетание Е А С Й Н И О Ы Р Ч В М 12 21 120 56 132 720 6720 5040 9 1 Результаты решения задач
А Л Е К С Е Й Н К И О В Л А Е Л О Ч И В Ы Р К ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Выучить конспект и формулы. С. 321 № 1062 С. 325 №1074,1075 С. 329 №1081 |