Тема-3-5. Основы работы с математическими пакетами (MathCad)
 Скачать 3.25 Mb.
|
|
Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 266 результатов выполнения и т.д.), но предварительно их следует выделить. Выделение объекта или группы объектов осуществляется нажатием кнопки мыши в свободном месте окна и растяжением пунктирного прямоугольника таким образом, чтобы он охватил нужные объекты. Затем кнопку мыши следует отпустить. Вместо команд главного меню часто используют команды контекстно-зависимого меню - это меню, которое открывается системой в результате щелчка правой кнопкой мыши по соответствующему объекту, расположенному в окне Mathcad. Это меню (рис. 3.5.2-20) содержит набор команд, которые в данный момент можно выполнить по отношению к конкретному объекту. Рис. 3.5.2-20 Документы Mathcad могут содержать текстовые объекты, а также разного рода комментарии и примечания. Для того чтобы ввести текст непосредственно в рабочую область документа Mathcad, достаточно перед началом ввода текста нажать клавишу <">. В результате, в месте расположения курсора ввода появится область с характерным выделением, обозначающая, что ее содержимое не будет восприниматься процессором Mathcad в качестве формул, а станет простым текстовым блоком (рис. 3.5.2-21). Редактировать атрибуты текста в пределах блоков можно стандартными для текстовых редакторов средствами панели Форматирование. Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 267 Рис. 3.5.2-21. Комментарий к фрагменту формулы 3.5.2.3. Построение графиков и визуализация результатов вычислений Графический редактор Mathcad обеспечивает построение различных видов графиков: в декартовой и полярной системе координат, график поверхности, график уровней и т.п., которые можно разбить на две большие группы: двумерные (от одной переменной) и трехмерные (от двух переменных). Для построения графиков в подменю График (позиция Вставка) имеются шаблоны типов графиков. Большинство параметров, необходимых для построения графиков, задается автоматически. Вид окна системы с подменю вставки шаблонов показан на рис. 3.5.2-22. Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 268 Рис. 3.5.2-22. Вид подменю вставки шаблона графики Другим способом выбора шаблона типа графика является использование панели Графики, вызываемой щелчком по соответствующей кнопке панели Математика. Перед построением графика функция, для которой он строится, должна быть описана, а ее аргументу (или аргументам) задан диапазон изменения. Если диапазон изменения аргумента не задан, то по умолчанию график будет построен в диапазоне от -10 до 10 с шагом 1. Для задания нужного диапазона и шага изменения аргумента в Mathcad используется дискретная переменная. Рассмотрим «Построение графиков одной переменной». Процедура построения графика функции от одной переменной заключается в следующем. Курсор устанавливается в то место, где должен располагаться график, затем на панели График щелчком по кнопке X-Y Plot (двумерный график) вызывается его формат, где в местозаполнитель по оси абсцисс вводится имя аргумента, а в местозаполнитель по оси ординат имя функции (рис. 3.5.2-23). Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 269 Рис. 3.5.2-23. Создание декартового графика при помощи панели Graph Чтобы график функции появился, необходимо щелкнуть мышью вне графика. Самый простой и наглядный способ получения графика в декартовой системе координат - это формирование двух векторов данных, которые будут отложены вдоль осей Х и Y (рис. 3.5.2-24). В данном примере для задания индекса после имени вектора нужно нажать клавишу < [ > (открывающая квадратная скобка). При этом курсор ввода устанавливается в месте ввода нижнего индекса. Рис. 3.5.2-24. График двух векторов Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 270 При построении в одном шаблоне двух и более графиков, имена функций в меcтозаполнителе вводятся через запятую. Если функции имеют разные аргументы, то имена аргументов также вводятся через запятую в последовательности, соответствующей последовательности введенных имен функций. На рис. 3.5.2-25 приведен пример построения графиков трех функций, аргументом которых является дискретная переменная х, изменяющаяся в диапазоне от 1 до 10 с шагом 0,2. f1 x ( ) sin x ( ) 9< f2 x ( ) cos x ( ) 9< f3 x ( ) sin x ( ) 2 9< x 1 1.2 + 10 −− 9< 0 2 4 6 8 10 1 0 1 f1 x ( ) f2 x ( ) f3 x ( ) x Рис. 3.5.2-25. Пример построения графика трех функций Формат графика можно изменить с использованием установок, производимых в различных вкладках окна форматирования (рис. 3.5.2-26) (вызов окна – два щелчка мыши в области графика). Рис. 3.5.2-26. Окно форматирования графиков С использованием вкладки X-Y Axes (Оси X-Y) можно провести форматирование осей координат (нанести сетку, оси пересечения и т.п.). Установки вкладки Traces (Следы) позволяют провести форматирование самих графиков (вид линии, цвет, толщина линии и т.п.). Вкладка Labels (Метки) предназначена для внесения заголовков в область графика, а с помощью вкладки Defaults (Умолчание) можно вернуться к виду графика принятому по умолчанию. Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 271 Чтобы удалить график, нужно щелкнуть в его пределах мышью и выбрать в верхнем меню Правка пункт Вырезать или Удалить. Рассмотрим построение «Трехмерных изображений». Чтобы создать трехмерный график, требуется нажать кнопку с изображением любого из типов трехмерных графиков на панели инструментов Графики. В результате появится пустая область графика с тремя осями (рис. 3.5.2-27) и единственным местозаполнителем в нижнем левом углу. В этот местозаполнитель следует ввести, например имя z (имя функции от двух переменных - z(x,y)). Для построения трехмерных графиков в современных версиях Mathcad появилась достаточно простая процедура, которая состоит в следующем: объявить двумерную функцию с использованием оператора присваивания (:=), а затем, установив курсор в место ввода графика, щелкнуть на панели График по кнопке Трехмерный график. На месте курсора появится шаблон трехмерного графика, в единственное место шаблона которого вводится имя функции. График появится после щелчка вне области графика. Эта процедура была применена при построении левого графика (рис. 3.5.2-28). График поверхности может быть построен и с использованием массива численных значений функции (на рис. 3.5.2-29 справа). При этом, с помощью дискретных переменных должны быть введены значения обоих аргументов заданной функции, затем введен массив, элементами которого являются значения функции, и только после этого введен шаблон графика, в котором задается имя функции. График будет построен после щелчка мышью вне области шаблона. Рис. 3.5.2-27. Создание шаблона трехмерного графика Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 272 n 5 9< m 7 9< i 0 n −− 9< j 0 m −− 9< x i 0.5 i √ 9< y j 0.2 j √ 9< Z i j + sin x i y j √ ∋ ( 9< f x y + ( ) x 2 y 2 √ ∋ ( 9< f Z Рис. 3.5.2-28. Построение трехмерных графиков В одном шаблоне трехмерного графика можно построить график не только одной, но и нескольких двумерных функций. В качестве примера на рис. 3.5.2-29 приведены графики пересечения двух плоскостей (две функции) и построение тора (три функции). В этом случае в местозаполнитель через запятую требуется ввести имена обеих функций. Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 273 Рис. 3.5.2-29. Одновременное построение графиков нескольких двумерных функций Для форматирования трехмерных графиков используются настройки окна, вызываемого двумя щелчками в области графика (рис. 3.5.2-30). Рис. 3.5.2-30 В окне форматирования на вкладке General (Общие) Display As (Показать как) имеется 6 переключателей, позволяющих выбрать тип графика: ∂ Surface plot – график поверхности; ∂ Contour plot – график линий уровня; ∂ Data points – на графике представлены только расчетные точки; ∂ Vector Field plot – график векторного воля; ∂ Bar plot – график трехмерной диаграммы; ∂ Patch plot – площадка расчетных значений. Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 274 Чтобы выбрать тот или иной тип графика, нужно установить соответствующий переключатель и щелкнуть по кнопке Применить. Например, если для графика функции 2 2 f(x, y) x y < ∗ , приведенного на рис. 3.5.2-31, выбрать тип Bar plot (график трехмерной диаграммы), то график приобретет вид как на рис. 3.5.2-32. Трехмерный график можно вращать и масштабировать. Вращение графика выполняется наведением на него указателя мыши при нажатой левой кнопке. Масштабирование выполняется аналогично, но при нажатой дополнительно клавише Анимация графика (медленное вращение) выполняется также аналогично, но при нажатой кнопке При построении графика в полярной системе координат (рис. 3.5.2-32), каждая точка задается углом W и модулем радиус-вектора R(W) . График функции обычно строится в виде линий, которую описывает конец радиус-вектора при изменении угла W в определенных пределах (чаще всего от 0 до 2 ο). После вывода шаблона надо ввести W в шаблон снизу, а R(W) – справа. Рис. 3.5.2-31. График трехмерной диаграммы Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 275 W 0 0.01 ο √ + 2 ο √ −− 9< 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 1 0.5 0 R W ( ) W R W ( ) sin 3 W √ ( ) 9< Rmin 0 9< Rmax 1.2 9< n 20 9< i 0 n −− 9< ε i i ο n √ 9< j 0 n −− 9< Π j j 2 √ ο n √ 9< X i j + sin ε i ∋ ( cos Π j ∋ ( √ 9< Y i j + sin ε i ∋ ( sin Π j ∋ ( √ 9< Z i j + cos ε i ∋ ( 9< X Y + Z + ( ) Рис. 3.5.2-32. Построение графиков в полярной системе координат Еще один широко распространенный тип графиков для представления поверхностей – контурный график представления поверхностей с помощью линий равного уровня (рис. 3.5.2-33). Тип графика задается с помощью соответствующей кнопки панели График. Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 276 z x y + ( ) sin x y √ ( ) , 9< x 0 20 −− 9< y 0 20 −− 9< M x y + ( ) f x 10 , ( ) 3 y 10 , ( ) 3 + 9< M Рис. 3.5.2-33. Построение контурного графика 3.5.2.4. Символьные алгебраические преобразования Символьный процессор Mathcad позволяет решать многие задачи математики аналитически, без применения численных методов и, следовательно, без погрешностей вычислений. В символьных вычислениях допускается использование большинства встроенных функций MathСad, конечно, за исключением тех, которые реализуют численные методы. Символьный процессор умеет выполнять основные алгебраические преобразования, такие, как упрощение выражений, разложение их на множители, символьное суммирование и перемножение. Символьные вычисления в MathСad можно осуществлять в двух различных вариантах: ∂ с помощью команд меню; ∂ с помощью оператора символьного вывода —>. Первый способ более удобен, когда требуется быстро получить какой-либо аналитический результат для однократного использования, не сохраняя сам ход вычислений. Второй способ более нагляден, т. к. позволяет записывать выражения в традиционной математической форме и сохранять символьные вычисления в документах MathСad. Кроме того, аналитические преобразования, проводимые через меню, касаются только одного, выделенного в данный момент, выражения. Именно поэтому в дальнейшем будем рассматривать примеры символьного преобразования с использованием панели Symbolic. На панели Symbolic (Символика) находятся кнопки, соответствующие специфическим командам символьных преобразований (рис. 3.5.2-34). Например, таким, как разложение выражения на множители, приведение подобных слагаемых и другим операциям, которые в Mathcad нельзя проводить численно, и для которых, соответственно, не предусмотрены встроенные функции. Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 277 Рис. 3.5.2-34. Панель Simbolic (Символика) Рассмотрим символьное вычисление на примере разложения на сомножители выражения cos(4х) с помощью оператора -> и команды Expand (Разложить), отраженной в виде кнопки на панели Symbolic (Символика). Для этого требуется выполнить последовательность следующих действий: 1. Введите выражение cos (4х). 2. Нажмите кнопку Еxpand (Разложить) на панели Symbolic (Символика). 3. Введите в местозаполнитель после появившегося ключевого слова expand (рис. 3.5.2-35) имя переменной х, либо нажмите клавишу <Del>, чтобы просто удалить местозаполнитель. 4. Введите оператор символьного вывода —>. 5. Нажмите клавишу <Enter> либо просто щелкните мышью за пределами выражения. Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 278 Рис. 3.5.2-35. Символьное разложение выражения Отметим, что можно действовать и в другом порядке: сначала ввести ключевое слово, а уже затем впечатать, в появившиеся местозаполнители, выражение и переменную (рис. 3.5.2-36). Рис. 3.5.2-36. Результат первоначального ввода ключевого слова Необходимо помнить, что не всякое выражение поддается аналитическим преобразованиям. Если это так (например, если задача вовсе не имеет аналитического решения, или она оказывается слишком сложной для символьного процессора MathСad), то в качестве результата выводится само выражение, например рис. 5.4.1-4. Рис. 3.5.2-36 Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 279 Очень часто применяемая операция - упрощение выражений, по смыслу эта операции противоположна операции разложения. Символьный процессор MathСad стремится так преобразовать выражение, чтобы оно приобрело более простую форму. При этом используются различные арифметические формулы, приведение подобных слагаемых, тригонометрические тождества, пересчет обратных функций и др. Для упрощения выражения при помощи оператора символьного вывода используйте ключевое слово simplify (рис. 3.5.2-37). Рис. 3.5.2-37. Упрощения математического выражения Следует помнить, что если некоторым переменным, входящим в выражение, ранее были присвоены некоторые значения, то они будут подставлены в него при выполнении символьного вывода (рис. 3.5.2-38). Рис. 3.5.2-38. Упрощение выражения с подстановкой значения переменных Упрощение выражений, содержащих числа, производится по-разному, в зависимости от наличия в числах десятичной точки. Если она есть, то выполняется непосредственное вычисление выражения (рис. 3.5.2-39). Рис. 3.5.2-39. Упрощение выражения с числами. С помощью ключевого слова factor (Разложить на множители), расположенного напанели Symbolic, MathСad позволяет производить разложение выражений на простые множители (рис. 3.5.2-40). Эта операция позволяет разложить полиномы на произведение более простых полиномов, а целые числа — на простые сомножители. Рис 3.5.2-40. Примеры разложения на множители. Чтобы привести подобные слагаемые с помощью оператора символьного вывода, нужно произвести следующую последовательность действий: Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 280 1. Введите выражение. 2. Нажмите кнопку Сollect на панели Symbolic (Символика). 3. Введите в местозаполнитель после вставленного ключевого слова collect имя переменной, относительно которой требуется привести подобные слагаемые (на рис. 3.5.2-40 в первой строке - это переменная х, во второй — у). 4. Введите оператор символьного вывода —>. 5. Нажмите клавишу <Enter>. Рис. 3.5.2-40. Приведение подобных слагаемых по разным переменным Отметим, что после ключевого слова collect допускается задание нескольких переменных через запятую. В этом случае приведение подобных слагаемых выполняется последовательно по всем переменным. Если выражение является полиномом относительно некоторой переменной х, заданным не в обычном виде a0+a1x+a2x 2 +..., а как произведение других, более простых полиномов, то символьным процессором MathСad легко определяются полиномиальные коэффициенты a0,a1,a2.... Коэффициенты сами могут быть функциями (подчас довольно сложными) других переменных. Чтобы вычислить полиномиальные коэффициенты с помощью оператора символьного вывода, следует выполнить следующие действия: 1. Введите выражение. 2. Нажмите кнопку Coeffs на панели Symbolic (Символика). 3. Введите в местозаполнитель после вставленного ключевого слова coeffs аргумент полинома. 4. Введите оператор символьного вывода —>. 5. Нажмите клавишу <Enter>. Рис. 3.5.2-41. Вычисление полиномиальных коэффициентов для простой переменной и выражения Чтобы разложить сложную дробь на более простые дроби, следует выполнить команду Convert to Partial Fractions (Разложить на элементарные дроби), для этого на панели Symbolic (Символика) достаточно указать ключевое слово parfrас (рис. 3.5.2-42), имя переменной указывается после ключевого слова parfrac. Рис. 3.5.2-42. Разложение на элементарные дроби. |