Тема-3-5. Основы работы с математическими пакетами (MathCad)
 Скачать 3.25 Mb.
|
|
Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 258 minerr(x1,x2,…) – вектор значений для x1,x2,…, которые приводят к минимальной ошибке в системе уравнений; mod(x, modulus) – остаток от деления х по модулю (аргументы - действительные числа, результат имеет такой же знак, как и х); rank(A) – ранг квадратной матрицы А; Re(z) – действительная часть комплексного числа; rnd(x) – псевдослучайное число с равномерным распределением в интервале [0, x]; root(expr, var) – значение переменной var, при которой выражение expr равно нулю (в пределах точности TOL); sin(z) – синус; sort(v) – вектор v, отсортированный по убыванию; tan(z) – тангенс. Операторы и функции используются для создания математических выражений. Данные, используемые для проведения вычислений, могут быть представлены числовыми константами и переменными. Наиболее часто встречающиеся встроенные константы Mathcad представлены в таблице 3.5.2-1. Таблица 3.5.2-1 Переменная Знач. по умолчанию Назначение и использование π 3.1415926535897931 Число π из 17 десятичных цифр е 2.7182818284590451 Число е из 17 десятичных цифр ⁄ 10 307 Бесконечность представляется максимальным числом в среде пакета ТОL 0.001 Величина ошибки, используемая при приближенных вычислениях i или j Мнимая единица ORIGIN 0 Нижняя граница индекса массивов Имена переменных формируются по общепринятому принципу –- уникальное имя, начинающееся с буквы. Для присваивания переменной значения используется следующая конструкция: x:= 5. Символ присваивания (:=) отличен от математического знака равенства (=) и вводится с клавиатуры символом двоеточия или палитры Калькулятор панели Математика. Отметим, что не следует применять переменную в выражениях до присваивания этой переменной конкретного значения. Перед началом работы курсор на экране имеет вид крестика, в момент ввода информации приобретает вид синего уголка. Ниже на рис. 3.5.2-5 приведены примеры построения математических выражений, где переменным присвоены числовые значения, использованы встроенные (стандартные) функции, выведены значения констант (е и ο ), а также вычислены значения выражений, использующих переменные и константы. Для проведения вычислений использован знак равенства (=). Выражения Стандартные функции Числовые константы x 5 9< y 3 9< a 10 9< 5 8 ∗ 13 < x y ∗ 8 < x y ∗ ( ) 4 2 < ln x ( ) 1.609 < sin x ( ) 0.959 , < tan a ( ) 0.648 < sinh x ( ) 74.203 < 0 2 x x 2 ∫ ⌠ d 2.667 < x x 3 d d 75 < e 2.718 < ο 3.142 < Рис. 3.5.2-5 Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 259 Удобство и эффективность расчетов в Mathcad прежде всего определяется возможностью создания и использования функций пользователя. Они позволяют проводить многократные вычисления одного и того же выражения. Имя функции образуется по тем же правилам, что и имя переменной, но здесь следом за именем в скобках (через запятую) перечисляются параметры. Перед использованием функции в вычислениях значения всех ее параметров и переменных, входящих в ее выражение, должны быть определены. Например, f x ( ) sin x 1 ∗ ( ) 9< z x y + ( ) x y 3 √ 2 9< x 2 9< y 4 9< f x ( ) 0.141 < z x y + ( ) 8 < Рис. 3.5.2-6 Mathcad не делает различий между именами переменных и функций. Это означает, что, если функцию определить как f(x), то в дальнейших расчетах нельзя использовать переменную с именем f. Одним из важнейших понятий системы Mathcad является дискретная переменная. Под дискретной переменной понимается ряд чисел, выстроенных в порядке возрастания или убывания, поэтому её иногда называют интервальной переменной. С помощью дискретных переменных можно задать как целые, так и дробные значения переменной, но обязательно равноотстоящие друг от друга. Пример определения дискретных переменных показан на рис. 3.5.2-7. x 0 5 −− 9< a 1 1.1 + 2 −− 9< Рис. 3.5.2-7 Это означает, что переменная х принимает значения от 0 до 5 с шагом 1, а переменная а – от 1 до 2 с шагом 0.1, другими словами, при описании дискретных переменных указывается первое, второе и последнее значения. Если второе значение переменной опущено, то это означает, что шаг ее изменения равен 1. Знак диапазона (две точки) нельзя набирать с клавиатуры, нажимая два раза клавишу «.» (точка). Вместо этого надо использовать клавишу «;» (точка с запятой). Дискретная переменная практически играет роль оператора цикла, что позволяет получить таблицу значений функции для ряда значений переменных и построить график функции на множестве значений переменной. Перед построением таблицы функцию надо описать, а всем переменным, входящим в ее состав, должны быть присвоены числовые значения. Диапазон и шаг изменения аргумента следует задать с использованием дискретной переменной. Теперь, если после имени функции ввести знак равенства, на экране появится таблица значений функции в заданном диапазоне изменения аргумента. Перед выводом таблицы значений функции рекомендуется выводить соответствующие им значения аргумента, таблица которых выводится аналогично (имя аргумента и знак равенства). В приведенном ниже примере на рис. 3.5.2-8 a и b – переменные, а х – параметр функции y(x). Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 260 a 4 9< b 3.4 9< y x ( ) a sin x 2 ∋ ( b ∗ 9< x 1 1.2 + 2 −− 9< x 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 < y x ( ) 4.247 4.292 4.272 4.162 3.971 3.777 < Рис. 3.5.2-8 Вычисления выражений в Mathcad проводятся с точностью, соответствующей 20 знакам, но на экран выводятся не все значащие цифры (по умолчанию 3). Чтобы изменить формат вывода числового результата, достаточно установить курсор на нужном числовом результате, дважды щелкнуть мышкой, и в появившемся окне провести форматирование. На рис.3.5.2-9 окно Формат Результата открыто на вкладке Формат чисел, где перечислены доступные форматы. Рис. 3.5.2-9 General (Главный) – формат принят по умолчанию, числа отображаются с порядком, а число знаков мантиссы определяется параметром Экспоненциальный порог. Decimal (Десятичный) – формат выводит результат в десятичном представлении чисел с плавающей точкой (например, 12.256). Scientific (Научный) – формат отображает числа только с порядком (например, 1.22*10 5 ). Engineering (Инженерный) – формат отображает числа только с порядком, кратным 3 (например, 1.22*10 6 ). Fraction (Дробный) – формат отображает числа в виде правильной или неправильной дроби (например, 3 5 или 3 2 1 ). Кроме вида формата, в окне можно изменить число знаков после десятичной точки и число знаков, выводимое после десятичной точки (порог экспоненциального представления). Выбранные параметры могут быть применены только к выделенному числу (кнопка ОК) или ко всему документу (кнопка Set as Default). Ниже на рис. 3.5.2-10 приведены примеры отображения результатов в различных форматах отображения. Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 261 a e 10 9< Главный (по умолчанию) a 2.203 10 4 ≥ < Научный a 22026.466 < Десятичный a 22.026 10 3 ≥ < Инженерный a 11053739568 501839 < Дробный Рис. 3.5.2-10 Работа с векторами и матрицами. Определение вектора или матрицы в Mathcad производится с помощью кнопки Матрица панели Математика. Для этого необходимо, установив курсор на место ввода, ввести имя матрицы (имена матриц в математике принято отображать большими буквами) и оператор присваивания, затем щелкнуть по изображению шаблона матрицы. На экране появится диалоговое окно (рис.3.5.2-11), в которое надо ввести число строк и столбцов матрицы и щелкнуть по кнопке ОК. На экране появится шаблон матрицы. Рис.3.5.2-11 С помощью шаблона можно ввести матрицу, содержащую не более 100 элементов. Доступ к любому элементу матрицы можно получить через имя матрицы с двумя индексами. Первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца. Вектор – это матрица, состоящая из одного столбца, поэтому произвольный элемент вектора задается одним индексом. Для набора нижнего индекса удобно пользоваться клавишей [ (открывающая квадратная скобка). Нумерация элементов массива (вектора или матрицы) может начинаться с 0, 1 или любого другого числа (положительного или отрицательного). Установкой начального индекса управляет встроенная функция ORIGIN. По умолчанию ORIGIN=0. Это означает, что первый член массива имеет номер 0. Чтобы, как обычно принято в математике, нумерация начиналась с 1, надо перед вводом матрицы набрать строчку: ORIGIN=1. Mathcad позволяет выполнить над матрицами основные арифметические действия, включая сложение, вычитание и умножение, а также операции обращения, вычитания определителя матрицы, нахождения собственных чисел и собственных векторов и т.д. Основные действия над матрицами нашли свое отражение на палитре Матрица. Примеры численного и символьного выполнения этих операций приведены на рис. 3.5.2-12. ORIGIN 0 < i 0 2 −− 9< j 0 2 −− 9< D i j + 10 i , j , 9< D 10 9 8 9 8 7 8 7 6 ∑ ⌡ < D D T 9< D 10 9 8 9 8 7 8 7 6 ∑ ⌡ < D 0 0 + 10 < ORIGIN 1 9< D 1 1 + 10 < Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 262 B 3 4 1 4 5 2 5 1 8 ∑ ⌡ 9< B D ∗ 13 13 9 13 13 9 13 8 14 ∑ ⌡ < B D , 7 , 5 , 7 , 5 , 3 , 5 , 3 , 6 , 2 ∑ ⌡ < B D T √ 106 93 92 94 83 81 82 73 70 ∑ ⌡ < B B T √ 50 37 51 37 42 22 51 22 69 ∑ ⌡ < B 5 < B 1 , 7.6 6.2 , 0.6 4.4 , 3.8 0.4 , 4.2 , 3.4 0.2 , ∑ ⌡ < 1 2 3 ∑ ⌡ 1 2 3 ( ) √ 1 2 3 2 4 6 3 6 9 ∑ ⌡ < 1 2 3 ( ) 1 2 3 ∑ ⌡ √ 14 ( ) < Рис. 3.5.2-12 Для работы с векторами и матрицами в системе Mathcad имеется ряд встроенных векторных и матричных функций (табл. 3.5.2-2), делающих работу с векторами и матрицами столь же простой, что и с обычными числами и переменными. Таблица 3.5.2-2 Функция Назначение length(V) Возвращает число элементов вектора last(V) Возвращает номер последнего элемента max(V) возвращает максимальный элемент вектора или матрицы min(V) возвращает минимальный элемент вектора или матрицы Re(V) возвращает вектор действительных частей комп. вектора Im(V) возвращает вектор мнимых частей вектора с комплексными эл. augment(M1,M2) объединяет в одну матрицы M1 и M2, имеющие одинаковое число строк (объединение идет бок о бок), присоединяя первый столбец М2 к последнему столбцу М1. stact(M1,M2) объединяет матрицы M1 и M2, имеющие одинаковое число столбцов, сажая M1 над M2 diag(V) создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой – элементы вектора V cols(M) возвращает число столбцов матрицы М rows(M) возвращает число строк матрицы М rank(M) возвращает ранг матрицы М mean(M) возвращает среднее арифметическое элементов массива М Ниже на рис. 3.5.2-13 приведены примеры наиболее распространенных векторных и матричных операторов. B 1 2 12 ∑ ⌡ 9< A 5.6 9 12 , 8 5 8 3.6 11 , 3 9 10 0 ∑ ⌡ 9< C 1 4 5 3 1 1 7 9 1 ∑ ⌡ 9< V 1 3 6 ∑ ⌡ 9< length B ( ) 3 < max A ( ) 10 < diag V ( ) 1 0 0 0 3 0 0 0 6 ∑ ⌡ < min A ( ) 12 , < last B ( ) 2 < cols A ( ) 4 < rows A ( ) 3 < rank C ( ) 3 < mean C ( ) 3.556 < Рис. 3.5.2-13. Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 263 Кроме набора математических функций, при работе с матрицами большое удобство представляет наличие в Маtcad функций сортировки – перестановки элементов векторов и матриц: sort(V) – сортировка элементов вектора в порядке возрастания их значений; reverse(V) – сортировка элементов вектора в порядке убывания их значений; csort(M,n) – перестановка строк матрицы М таким образом, чтобы отсортированным оказался n–й столбец; rsort(M,n) – перестановка строк матрицы М таким образом, чтобы отсортированной оказалась n–я строка. Использование перечисленных функций можно проиллюстрировать следующими примерами, приведенными на рис. 3.5.2-15. Исходный вектор Прямая сортировка Реверс после сортировка V 3 2 4 1 ∑ ⌡ 9< VS sort V ( ) 9< VS 1 2 3 4 ∑ ⌡ < VR reverse VS ( ) 9< VR 4 3 2 1 ∑ ⌡ < Исходный матрица Сортировка по первому столбцу и по второй строке M 1 3 17 12 15 2 4 27 13 ∑ ⌡ 9< csort M 1 + ( ) 17 1 3 2 12 15 13 4 27 ∑ ⌡ < rsort M 2 + ( ) 12 15 2 4 27 13 1 3 17 ∑ ⌡ < Рис. 3.5.2-14 3.5.2.2. Ввод и редактирование формул Формульный редактор Mathcad позволяет быстро и эффективно вводить и изменять математические выражения. Тем не менее, некоторые аспекты его применения не совсем тривиальны. Предварительное изучение особенностей редактора формул позволяет пользователю значительно сэкономить время при реальной работе в пакете Mathcad. К основным элементам интерфейса редактора формул Mathcad относятся: ∂ указатель мыши, играющий обычную для приложений Windows роль; ∂ курсор - обязательно находящийся внутри документа в одном из трех видов: o - курсор ввода - это крестик красного цвета, который отмечает пустое место в документе, куда можно вводить текст или формулу; o - линии ввода - горизонтальная и вертикальная линии синего цвета, выделяющие в тексте или формуле определенную часть; o - линия ввода текста - красная вертикальная линия, аналог линий ввода для текстовых областей; ∂ местозаполнители - появляются внутри незавершенных формул в местах, которые должны быть заполнены символом или оператором: o - местозаполнитель символа - черный прямоугольник; o - местозаполнитель оператора — черная прямоугольная рамка. Виды курсоров и местозаполнителей, относящиеся к редактированию формул, представлены на рис. 3.5.2-15. Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 264 Рис. 3.5.2-15. Элементы интерфейса редактирования Большую часть окна Mathcad занимает рабочая область документа Mathcad, в которую пользователь вводит математические выражения, текстовые поля и элементы программирования. Ввести математическое выражение можно в любом пустом месте документа Mathcad. Для этого следует поместить курсор ввода в желаемое место документа, щелкнуть в нем мышью, и просто начать вводить формулу, нажимая клавиши на клавиатуре. При этом в документе создается математическая область, которая предназначена для хранения формул, интерпретируемых процессором Mathcad (рис. 3.5.2-16). Рис. 3.5.2-16. Пример посимвольного ввода формулы Поместить формулу в документ можно и просто начиная вводить символы, числа или операторы, например + или /, входящие в формулу. В этом случае на месте курсора ввода также создается математическая область, иначе называемая регионом, с формулой и линиями ввода, но в зависимости от типа оператора автоматически появляются и местозаполнители, без заполнения которых формула не будет восприниматься процессором Mathcad (рис. 3.5.2-17). Рис. 3.5.2-17. Пример начала ввода формул с операторов Редактировать формулы в Mathcad можно так, как подсказывают вам интуиция и опыт работы с другими текстовыми редакторами. Большинство операций правки формул реализованы естественным образом, однако некоторые из них несколько отличаются от общепринятых. Это связано с особенностью Mathcad как вычислительной системы. Рассмотрим основные действия по изменению формул. Операторы могут быть унарными (действующими на один операнд, как, например, оператор транспонирования матрицы или смены знака числа), так и бинарными (например, + или /, действующими на два операнда). При вставке нового оператора в документ Mathcad определяет, сколько операндов ему требуется. Если в точке вставки оператора один или оба операнда отсутствуют, Mathcad автоматически помещает рядом с оператором один или два местозаполнителя. Тема 3.5. Основы работы с математическими пакетами Страница 265 Чтобы произвести вставку оператора в формулу, нужно поместить линию ввода на часть формулы, которая должна стать первым операндом, а затем ввести оператор, нажав кнопку на панели инструментов или сочетание клавиш. Для того, чтобы вставить оператор не после, а перед частью формулы, выделенной линиями ввода, нажмите перед его вводом клавишу , которая передвинет вертикальную линию ввода вперед. Это важно, в частности, для вставки оператора отрицания. На рис. 3.5.2-18 показаны примеры вставки оператора в различные части формулы. Рис. 3.5.2-18. Вставка оператора в разные части формулы Некоторые операторы Mathcad вставит в правильное место независимо от положения линий ввода. Таков, например, оператор численного вывода =, который по смыслу выдает значение всей формулы в виде числа. Многие операции редактирования связаны с необходимостью удаления, перемещения или копирования не одного символа, а фрагмента формулы, всей формулы или даже нескольких объектов документа. Перед выполнением перечисленных действий редактируемую часть документа следует выделить. Чтобы выделить часть формулы в некоторой математической области с помощью клавиш, достаточно установить курсор перед (или после) выделяемой областью и, используя клавиши стрелки при удерживаемой клавише «Shift», выделить требуемый участок формулы. При этом выделенная часть формулы станет черной (рис. 3.5.2-19). Рис. 3.5.2-19. Выделение части формулы Часть формулы можно выделить и с помощью мыши. Для этого указатель мыши помещают на вертикальную линию ввода до (или после) выделяемой области, и, нажав и удерживая левую кнопку мыши, выделяют требуемый участок формулы. Чтобы удалить часть формулы, ее надо выделить и нажать клавишу Имеется еще один способ удаления части формулы: выделите ее нужную часть, затем нажмите комбинацию клавиш Этот способ удобен в случае, если требуется использовать фрагмент формулы в дальнейшем. Команды редактирования (вставить, удалить, копировать) применимы не только к отдельно взятой формуле, но и группе объектов документа Mathcad (текста, функций, |