Лекция по вычислительной механике. Лекция Тема 1_2022. Основы вычислительной механики
 Скачать 6.67 Mb.
|
Лекция 1 «Вычислительная механика» Тема: Основы вычислительной механикик.т.н., доцент каф. ВММБКаменских Анна Александровна239-15-64anna_kamenskih@mail.ru
Основная литература Дополнительная литература Вычислительная механика – раздел механики сплошных сред, в котором строятся конечномерные модели сплошных сред, используется компьютерное моделирование и численные методы для решения задач механики деформируемого твердого тела и механики жидкости и газа. Конечные элементы Используются для разбиения конструкций на связанный по узлам набор конечных элементов Изополя перемещений, деформаций и напряжений Деформирование геометрии Механические коэффициенты, характеризующие состояние исследуемого объекта Вычислительный эксперимент – технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Формулировка основных законов, управляющих данными объектами, процессами, явлением Построение математической модели Постановка численной реализации математической модели Составление программы на ЭВМ для реализации численных методов, отладка работы программы Проведение вычислительного эксперимента (серии экспериментов), анализ результатов Три основных численных метода вычислительной механики Метод конечных разностей (МКР) – метод численного решения краевых задач для дифференциальных уравнений называют также методом сеток. На рассчитываемую область наносится сетка с узлами. Все производные, входящие в дифференциальные уравнения и граничные условия, приближенно заменяются соответствующими разностными отношениями (по формулам численного дифференцирования) и, таким образом, выражаются через неизвестные узловые значения искомой функции. В результате приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений функций в узлах сетки. Метод конечных элементов (МКЭ) – это метод приближённого численного решения физических задач. В его основе лежат две главные идеи: дискретизация исследуемого объекта на конечное множество элементов и кусочно-элементная аппроксимация исследуемых функций. Метод граничных элементов (МГЭ) – метод предусматривает предельных переход от исходной постановки задачи для дифференциальных уравнений к соотношениям, связывающим неизвестные функции на границе области или на ее части. Эти соотношения представляют собой граничные интегральные уравнения, дискретный аналог которых дает САУ относительно узловых неизвестных относящихся к узлам на поверхности тела. Схематически любой численный метод можно представить в виде Построение дискретного аналога области изменения аргумента Дискретизация математической модели, в результате которой получается алгебраический аналог математической модели (система алгебраических уравнений) Решение СЛАУ любым методом: метод Гаусса, метод прогонки, метод LU-разложения, итерационные методы решения СЛАУ (Зейделя, простых итераций) x y z 0 l Численный метод сходится, если при неограниченном росте числа алгебраических уравнений (узловых неизвестных) решение дискретной задачи стремится к решению исходной задачи. Численный метод называют устойчивым, если в процессе счета погрешность округления не накапливается и не искажает значительно конечный результат. Метод конечных разностей (МКР) Область непрерывного изменения аргумента (отрезок, прямоугольник и т.д.) заменяется конечным (дискретным) множеством точек (узлов), называемым сеткой. Вместо функции непрерывного изменения аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определенные в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия, заменяются (аппроксимируются) разностными соотношениями, т.е. линейными комбинациями значений сеточных функций в некоторых узлах сетки. В результате краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных, если исходная задача была линейной, алгебраических уравнений (системе разностных уравнений) – разностной схемой. Как выбрать сетку? Как написать разностную схему? Насколько хорошо разностная схема аппроксимирует исходную задачу? Устойчива ли разностная схема и в каком смысле? Какова скорость сходимости решения разностной задачи к решению исходной задачи? 1. Построить конечно-разностную схему для задачи Коши: 2. Построить конечно-разностную схему для задачи Коши: Представить дифференциальную постановку в виде конечных разностей Разностная сетка Разностная сетка Сетки и сеточные функции Разностная сетка - конечное множество точек заменяющее область непрерывного изменения аргумента. Сами точки – узлы сетки, а функции, определенные на этой сетке, - сеточными функциями. Равномерная сетка на отрезке Множество точек xi = ih, i = 0,1,2,…,N называется равномерной сеткой на отрезке [0,l] и обозначается , где h – шаг сетки. В качестве области определения сеточных функций кроме узлов, называемых еще целыми точками, часто используют полуцелые точки xi+1/2 = xi+0,5h, отмеченные на рисунке крестиками. Рассмотрим тот же отрезок [0,l]. Введя произвольные точки 0<x1<x2<…<xN–1<l, разобьем его на N частей. Тогда получим сетку с шагом hi = xi–xi–1, который зависит от номера i узла xi. Если hi ≠ hi+1 хотя бы для одного номера i , то сетку называют неравномерной. Неравномерная сетка на отрезке Равномерная сетка на плоскости Построим на каждом отрезке 0 ≤ x ≤ d, 0 ≤ y ≤ b сетку с шагом h = d/N1 и k = b/N2. Множество узлов (xi;yj) с координатами xi = ih, yj = jk назовём сеткой в прямоугольнике D. Разностная сетка на области сложной формы Разностная сетка на плоскости кольца Численное дифференцирование с помощью конечных разностей Для вычисления производной в точке xi используется аппарат разложения функций в ряд Тейлора, для чего функция в точке должна иметь достаточное число производных. h – шаг дифференцирования, от него зависит точность решения задачи. (1) (2) Левая конечная разность Правая конечная разность
Центральная конечная разность Конечные разности
Можно отметить, что на примере прослеживается влияния шага дифференцирования на погрешность производной, полученной с помощью численных процедур. точка y(xi-h) y(xi) y(xi+h) y'(xi) шаг диф. Аппроксимация дифференциальных операторов первой и второй производных на равномерной сетке Рассмотрим возможные способы аппроксимации дифференциального оператора вида: (1) определенного на множестве непрерывных функций в области G={d Правое разностное отношение Левое разностное соотношение Линейная комбинация (2) и (3) (2) (3) При = 1/2 получим центральное разностное соотношение (4) (5) Геометрическая интерпретация разностей Линия D отражает истинное значение производной в точке С правую разность – линия СВ, левую – АС, центральную – АВ. Значение тангенса угла наклона прямой АВ ближе к значению тангенса прямой D. Построить конечно-разностную схему для задачи Коши: Разностная сетка Для данной задачи нам понадобиться не только 1 и 2 производные 1 производная 2 производная 3 производная Аналогично можно найти производные 4 и более высокого порядка. 1 производная 3 производная 4 производная находиться через 3 и 1 конечную разность Далее необходимо переписать постановку задачи в формулах конечных разностей! 1 производная 4 производная 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 … i … N-1 N * преобразуем СЛАУ (в некоторых случаях (задачах) вычисления wi происходит последовательно) |