Основные элементарные функции,. Основные элементарные функции, их свойства и графики
 Скачать 125.7 Kb.
|
|
На тему: «Основные элементарные функции, их свойства и графики» Содержание: Показательные функции: Определение. Функция, заданная формулой у=ах (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а. Сформулируем основные свойства показательной функции : Область определения — множество (R) всех действительных чисел. Область значений — множество (R+) всех положительных действительных чисел. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает. Является функцией общего вида.  Рис. 1 График функции  , на интервале x [-3;3] Рис. 2 График функции  , на интервале x [-3;3]Степенные функции: Функция вида у(х)=хn, где n – число R, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола). Степенная функция у=х² D(x)=R – функция определена на все числовой оси; E(y)=[0;∞) - функция принимает положительные значения на всей области определения; При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0). Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;∞). Функция является четной (симметрична относительно оси Оу). В зависимости от числового множителя, стоящего перед х², функция может быть уже/шире и направлена вверх/вниз.  Рис. 3 График функции  , на интервале x [-3;3]Степенная функция у=х³ График функции у=х³ называется кубической параболой. Степенная функция у=х³ обладает следующими свойствами: D(x)=R – функция определена на все числовой оси; E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения; При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0). Функция возрастает на всей области определения. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).  Рис. 4 График функции  , на интервале x [-3;3]В зависимости от числового множителя, стоящего перед х³, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать. Степенная функция с целым отрицательным показателем: Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами: D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n; E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число; Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число. Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.  Рис. 5 График функции  , на интервале x [-3;3]Степенная функция с дробным показателем Степенная функция с дробным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка) D(x) R, если n – нечетное число и D(x)=[0;∞), если n – четное число ; E(y) (-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=[0;∞), если n – четное число; Функция возрастает на всей области определения для любого числа n. Функция проходит через начало координат в любом случае.  Рис. 6 График функции  , на интервале x [0;3] Рис. 7 График функции  , на интервале x [0;5] Рис. 8 График функции  , на интервале x [-3;3]Логарифмические функции: Логарифмическая функция у = loga x обладает следующими свойствами : Область определения D(x) (0; + ∞). Область значений E(y) ( - ∞; + ∞) Функция ни четная, ни нечетная (общего вида). Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 < а < 1. График функции у = loga x может быть получен из графика функции у = ах с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке 9 построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке 10 - для 0 < a < 1.  Рис. 9 График функции  ; на интервале x [0;5] Рис. 10 График функции  ; на интервале x [0;5]Тригонометрические функции: Функции y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х называют тригонометрическими функциями. Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х нечетные, а функция у = соs х четная. Функция y = sin (х). Область определения D(x) R. Область значений E(y) [ - 1; 1]. Функция периодическая; основной период равен 2π. Функция нечетная . Функция возрастает на промежутках [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на промежутках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Z. График функции у = sin (х) изображен на рисунке 11.  Рис. 11 График функции  ; на интервале x [-2 ;2 ]Функция y = cos(х). Область определения D(x) R. Область значений E(y) [ - 1; 1]. Функция периодическая с основным периодом 2π. Функция четная. Функция убывает на промежутках [2πn; π+ 2πn] и возрастает на промежутках [-π+ 2πn; 2πn], nπZ. График функции у = соs (х) изображен на рисунке 12.  Рис. 12 График функции ; на интервале x [-2 ;2 ]Функция y = tg х. Область определения: D(x) π/2 + πk, kZ. Область значений E(y) (- ∞; + ∞) π- основной период функции. Функция нечетная. Функция возрастает на промежутках ( -π/2 +πn;π/2 +πn). График функции у = tg х изображен на рисунке 13.  Рис. 13 График функции  ; на интервале x (-  ; )Функция y = ctg х. Область определения функции: D(x) xπ/2 +πk, kZ. Область значений функции E(y) (- ∞; + ∞). Функция периодическая с основным периодом π. Функция нечетная. Функция у = ctg х убывает на промежутках (πn;π+πn). График функции у = ctg х изображен на рисунке 14.  Рис. 14 График функции  ; на интервале x (-𝜋;)Обратные тригонометрические функции: Функции y = arcsin (х), у = arccos (х), у = arctg (х), у = arcctg (х) называют обратными тригонометрическими функциями. Функция y = arcsin (x): Свойства функции y = arcsin (x): 1. Область определения D(x)[−1;1] 2. Область значения E(y) [−π/2;π/2] 3. y=arcsin(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D 5. График y = arcsin(x) симметричен графику y = sin(x) относительно линии y=x 6. y=arcsin(x) нечетная функция т.е. ∀x∈[−1;1] arcsin(−x)=−arcsin(х) График функции y = arcsin (x) изображен на рисунке 15.  Рис. 15 График функции  ; на интервале x [-  ;]Функция y = arccos (x): Свойства функции y = arccos (x): 1. Область определения D(x)[−1;1] 2. Область значения E(y) [0;π] 3. y=arccos(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D 5. График y = arccos(x) симметричен графику y = cos(x) относительно линии y=x 6. y=arccos(x) функция общего вида График функции y = arccos (x) изображен на рисунке 16.  Рис. 16 График функции  ; на интервале x [- ;]Функция y = arctg (x): Свойства функции y = arctg (x): Область определения D(x)(- ∞;+∞) Область значения E(y) [−π/2;π/2] y=arctg (x)- непрерывная строговозрастающая функция на D График y = arctg(x) симметричен графику y = tg(x) относительно линии y=x y=arctg (x) нечетная функция. График функции y = arctg (x) изображен на рисунке 17.  Рис. 17 График функции  ; на интервале x [- 5; 5]Функция y = arcсtg (x): Свойства функции y = arcсtg (x): Область определения D(x)(- ∞;+∞) Область значения E(y) [0 ; π] y=arctg (x)- непрерывная строгоубывающая функция на D График y = arcсtg(x) симметричен графику y = сtg(x) относительно линии y=x y=arcctg (x) функция общего вида. График функции y = arcctg (x) изображен на рисунке 18.  Рис. 18 График функции  .Список использованной литературы: Алгебра и начала анализа, учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений ; С.М. Никольский; М. Просвещение, 2001 Конспект лекции по высшей математике. Некоторые изображения взяты из сети Интернет, графики функции построены в программе Microsoft Office Exel. Список рисунков: |