Главная страница
Навигация по странице:

  • Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике ( , ,¬


  • Связь логики и теории множеств

  • Основные понятия математической логики


    Скачать 2.32 Mb.
    НазваниеОсновные понятия математической логики
    Дата16.02.2022
    Размер2.32 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаege15.doc
    ТипЗакон
    #363571
    страница1 из 50
      1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   50

    © К. Поляков, 2009-2021

    15 (повышенный уровень, время – 3 мин)


    Тема: Основные понятия математической логики.

    Что проверяется:

    Знание основных понятий и законов математической логики

    1.5.1. Высказывания, логические операции, кванторы, истинность высказывания.

    1.1.7. Умение вычислять логическое значение сложного высказывания по известным значениям элементарных высказываний.

    Про обозначения

    К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,,¬), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает и . Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение).
    В разных учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (, ,¬), что еще раз подчеркивает проблему. Далее во всех решениях приводятся два варианта записи.

    Что нужно знать:

    • условные обозначения логических операций

    ¬ A, не A (отрицание, инверсия)

    A B, A и B (логическое умножение, конъюнкция)

    A B, A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

    AB импликация (следование)

    • таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация» (см. презентацию «Логика»)

    • операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:

    AB = ¬ A B или в других обозначениях AB =

    • если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»

    • иногда полезны формулы де Моргана1:

    ¬ (A B) = ¬ A ¬ B

    ¬ (A B) = ¬ A ¬ B

    • для упрощения выражений можно использовать формулы

    (т.к. )
    (т.к. )

    • некоторые свойства импликации





    Связь логики и теории множеств:

    • пересечение множеств соответствует умножению логических величин, а объединение – логическому сложению;

    • пустое множество  – это множество, не содержащее ни одного элемента, оно играет роль нуля в теории множеств;

    • универсальное множество – это множество, содержащее все возможные элементы заданного типа (например, все целые числа), оно играет роль логической единицы: для любого множества целых чисел X справедливы равенства X + I = I и X · I = X (для простоты мы используем знаки сложения и умножения вместо знаков пересечения  и объединения  множеств)

    • дополнение множества X – это разность между универсальным множеством I и множеством X (например, для целых чисел – все целые числа, не входящие в X)

    • пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство A + X = I; в этом случае множество A должно включать дополнение , то есть (или «по-простому» можно записать ), то есть

    • пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство , в этом случае множество должно включать дополнение , то есть ; отсюда , то есть
      1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   50


    написать администратору сайта