Основные понятия математической логики

• Название: Основные понятия математической логики
• Дата: 16.02.2022
• Размер: 2.32 Mb.
• Имя файла: ege15.doc
• Тип: Закон; #363571
• страница: 6 из 50

Ещё пример задания:

Р-27. Известно, что для некоторого отрезка А формула

( (x  A)  (x²  64) )  ( (x²  25)  (x  A) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при всех вещественных значениях переменной x). Какую наименьшую длину может иметь отрезок A?

Решение:

1. 
   заметим, что здесь два условия объединяются с помощью логической операции «И»:
   

(x A) (x² 64)

(x² 25)  (x A)

2. 
   рассмотрим первое условие; чтобы импликация была истинна, при истинной левой части (посылке) вторая часть (следствие) тоже должна быть истинна
   
3. 
   это значит, что если x принадлежит отрезку A, должно выполняться условие x² 64, то есть
   

| x| 8, поэтому отрезок A должен целиком содержаться внутри отрезка [–8; 8]

4. 
   теперь рассмотрим второе условие: если x² 25, то есть если | x| 5, то такой x должен принадлежать отрезку A
   
5. 
   это значит, что весь отрезок [–5; 5] должен находиться внутри A, длина этого отрезка – 10.
   
6. 
   Ответ: 10.
   

Ещё пример задания:

Р-26 (демо-2018). Для какого наибольшего целого числа А формула

( (x  9)  (xx  A) )  ( (yy  A)  (y  9) )

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

Решение:

1. 
   заметим, что здесь два условия, которые объединяются с помощью логической операции «И»:
   

(x 9) (xx  A)

(yy A)  (y 9)

2. 
   необходимо, чтобы оба условия были выполнены одновременно; к счастью, первое зависит только от переменной x, а второе – только от переменной y, поэтому их можно рассматривать отдельно: каждое из них задает некоторое ограничение на значение A
   
3. 
   рассмотрим первое условие: (x 9) (xx  A). Для того чтобы импликация была истинной, нужно не допустить варианта 1  0, то есть при истинной левой части правая часть тоже должна быть истинной.
   
4. 
   это значит, что для всех 0  x 9 мы должны обеспечить xx  A, то есть выбрать Axx для все допустимых значений x. Очевидно, что для этого необходимо и достаточно выбрать A99= 81. Таким образом, мы определили минимальное допустимое значение A = 81.
   
5. 
   теперь рассмотрим второе условие: (yy A)  (y 9). Чтобы оно было истинно, нужно не допустить варианта 1  0. Выбором A мы можем влиять на левую часть, но не на правую. «Угрозу» представляет вариант, когда правая часть ложна, то есть y> 9. В этом случае нам нужно сделать левую часть ложной, то есть обеспечить выполнение условия yy> A.
   
6. 
   для выбора максимального A возьмем минимальное значение y, для которого y> 9. Это даёт условие 1010> A, откуда следует A < 100
   
7. 
   таким образом, максимально допустимое значение A равно 99.
   
8. 
   Ответ: 99.
   

Решение (через отрезки, А.Н. Евтеев, Тульская обл.):

1. 
   Если заменить неравенства буквами, то формула в общем виде будет выглядеть так:
   

( P Q )  (R  S)=1

2. 
   Перейдём от импликаций в скобках к логическому сложению, получим:
   

(¬P +Q )  (¬R + S)=1

3. 
   Поскольку между скобками мы имеем логическое умножение, истинное лишь при истинности обоих сомножителей, можем перейти к системе:
   

¬P +Q =1

¬R + S=1

4. 
   Вернёмся от букв к исходным неравенствам, учитывая инверсию:
   

(x> 9) + (xx  A)=1

(yy> A) + (y 9) =1

5. 
   Перейдём к числовой прямой. Чтобы формула была истинной, каждая записанная выше сумма должна закрывать всю ось. Для первого выражения это будет выглядеть так:
   

6. 
   Интервал от 10 и далее закрывает неравенство x > 9, а интервал от 0 до 9 включительно закрывает неравенство xxA. И поскольку х на этом интервале не превышает 9, выражение xxA будет истинным уже при А=81
   
7. 
   Аналогично для второй суммы:
   

8. 
   Интервал от 0 до 9 включительно закрывает неравенство y 9, а интервал от 10 и далее закроет неравенство yy > A. И поскольку значения у начнутся здесь с 10, а yy =100, то выражение гарантированно будет истинным, если А будет меньше 100, то есть, не будет превышать 99.
   
9. 
   Ответ: 99.
   

Решение (графическое, О.В. Алимова):

1. 
   Перейдем к системе и избавимся от импликации
   

( x > 9) + (xx  A) =1

(yy > A) + (y  9) = 1

2. 
   Так как уравнения независимы, то можно рассматривать их отдельно. Согласно условию нас будет интересовать только I четверть.
   
3. 
   Построим множества, удовлетворяющие первому уравнению.
   

1. 
   дизъюнкция – объединение множеств
   
2. 
   от y в первом уравнении ничего не зависит, то есть, если для какого-то x неравенство выполнилось, то оно будет выполняться для этого x при любом y, следовательно можем рассматривать области плоскости, а не только отрезки/интервалы на оси OX
   
3. 
   для точек правой границы левого прямоугольника условие x² ≤A выполняется
   
4. 
   для точек левой границы правого прямоугольника условие x > 9 не выполняется
   

4. 
   При увеличении значения А, ширина левого прямоугольника будет увеличиваться, и при А = 81, объединение прямоугольников закроет все значения х. Это наименьшее возможное значение А. При дальнейшем увеличении А, будет расти область пересечения прямоугольников, но все значения х, будут входить в объединение прямоугольников.
   
5. 
   Рассмотрим второе уравнение. Множества удовлетворяющие этому уравнению будут выглядеть так:
   

6. 
   Пока верхний и нижний прямоугольник пересекаются, можем увеличивать А.
   
7. 
   Значение А можно увеличивать и дальше, пока в область объединения прямоугольников не перестанет попадать целое значение y. А это произойдет при А=100, для у=10 неравенство y² > A перестанет выполняться. Наибольшее значение А=99.
   
8. 
   Ответ: 99.
   
9. 
   Замечания. В зависимости от строгости(не строгости) неравенств в исходном уравнении, будут включатся или исключатся точки, лежащие на границе соответствующей области.
   Так значение А для уравнения (x < 9)  (xxA) = 1 будет 64,
   

для уравнения (x < 9)  (xx < A) = 1 будет 65,

а для уравнения (x  9)  (xx < A) = 1 будет 82. Аналогично, во втором уравнении, могут получиться числа 100, 81, 80.

Решение (М.В. Кузнецова):

1. 
   Заметим, что данная формула содержит конъюнкцию двух импликаций. Конъюнкция истинна только, если оба операнда равны 1, т.е. обе импликации должны быть равны 1, для этого надо исключить ситуации 1  0 , переведя их к истинным импликациям 1 1 или 0  0.
   
2. 
   Дальнейшие рассуждения оформим в таблице.
   

Формула*	( (x 9 ) ( A≥ xx) )  ( ( A≥ yy)  ( y 9 ) )
Изменяемое выражение**	-	+	+	-
Нельзя допустить	1	0	1	0
Надо обеспечить	1	1	0	0
Новые выражения	x 9, xϵ[0;9]	A≥x∙x	A < y∙y	y> 9, y ϵ [10; ∞)
Выводы	A≥9∙9, Amin= 81		A<10∙10, A max= 99

Пояснения

^* При переписывании формулы в неравенствах с «А» меняем местами левую и правую часть, т.е. «А» пишем слева.

^** Помечаем символом «+» элементы формулы, содержащие «A», изменяя значения которых должны исключить неблагоприятные ситуации.

3. 
   Ответ: 99.
   

Решение (программа на Python, А. Носкин):

1. 
   Программа на Python, перебор вариантов:
   

a = [] # список для хранения значений А

for A in range(1,200):

k = 1 # флаг

for x in range(1,100):

for y in range(1,100):

if (((x<=9)<=(x*x<=A))and((y*y<=A)<=(y<=9)))==False:

k = 0 # появился Х или Y, при котором ЛОЖЬ

break

if k == 1: # все числа Х и Y перебрали

a.append( A )

print( max(a) )

2. 
   Ответ: 99.