Главная страница
Навигация по странице:

  • Решение (через отрезки, А.Н. Евтеев, Тульская обл.)

  • Решение (графическое, О.В. Алимова)

  • Решение (М.В. Кузнецова)

  • Решение (программа на Python , А. Носкин): Программа на Python, перебор вариантов: a = [] список для хранения значений А

  • Основные понятия математической логики


    Скачать 2.32 Mb.
    НазваниеОсновные понятия математической логики
    Дата16.02.2022
    Размер2.32 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаege15.doc
    ТипЗакон
    #363571
    страница6 из 50
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   50

    Ещё пример задания:

    Р-27. Известно, что для некоторого отрезка А формула

    ( (x A) (x2 64) ) ( (x2 25) (x A) )

    тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при всех вещественных значениях переменной x). Какую наименьшую длину может иметь отрезок A?


    Решение:

    1. заметим, что здесь два условия объединяются с помощью логической операции «И»:

    (x A) (x2 64)

    (x2 25)  (x A)

    1. рассмотрим первое условие; чтобы импликация была истинна, при истинной левой части (посылке) вторая часть (следствие) тоже должна быть истинна

    2. это значит, что если x принадлежит отрезку A, должно выполняться условие x2 64, то есть

    | x| 8, поэтому отрезок A должен целиком содержаться внутри отрезка [–8; 8]

    1. теперь рассмотрим второе условие: если x2 25, то есть если | x| 5, то такой x должен принадлежать отрезку A

    2. это значит, что весь отрезок [–5; 5] должен находиться внутри A, длина этого отрезка – 10.

    3. Ответ: 10.

    Ещё пример задания:

    Р-26 (демо-2018). Для какого наибольшего целого числа А формула

    ( (x 9) (xx A) ) ( (yy A) (y 9) )

    тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?


    Решение:

    1. заметим, что здесь два условия, которые объединяются с помощью логической операции «И»:

    (x 9) (xx A)

    (yyA)  (y 9)

    1. необходимо, чтобы оба условия были выполнены одновременно; к счастью, первое зависит только от переменной x, а второе – только от переменной y, поэтому их можно рассматривать отдельно: каждое из них задает некоторое ограничение на значение A

    2. рассмотрим первое условие: (x 9) (xx A). Для того чтобы импликация была истинной, нужно не допустить варианта 1  0, то есть при истинной левой части правая часть тоже должна быть истинной.

    3. это значит, что для всех 0  x 9 мы должны обеспечить xx A, то есть выбрать Axx для все допустимых значений x. Очевидно, что для этого необходимо и достаточно выбрать A99= 81. Таким образом, мы определили минимальное допустимое значение A = 81.

    4. теперь рассмотрим второе условие: (yyA)  (y 9). Чтобы оно было истинно, нужно не допустить варианта 1  0. Выбором A мы можем влиять на левую часть, но не на правую. «Угрозу» представляет вариант, когда правая часть ложна, то есть y> 9. В этом случае нам нужно сделать левую часть ложной, то есть обеспечить выполнение условия yy> A.

    5. для выбора максимального A возьмем минимальное значение y, для которого y> 9. Это даёт условие 1010> A, откуда следует A < 100

    6. таким образом, максимально допустимое значение A равно 99.

    7. Ответ: 99.

    Решение (через отрезки, А.Н. Евтеев, Тульская обл.):

    1. Если заменить неравенства буквами, то формула в общем виде будет выглядеть так:

    ( P Q )  (R  S)=1

    1. Перейдём от импликаций в скобках к логическому сложению, получим:

    (¬P +Q )  (¬R + S)=1

    1. Поскольку между скобками мы имеем логическое умножение, истинное лишь при истинности обоих сомножителей, можем перейти к системе:

    ¬P +Q =1

    ¬R + S=1

    1. Вернёмся от букв к исходным неравенствам, учитывая инверсию:

    (x> 9) + (xx  A)=1

    (yy> A) + (y 9) =1

    1. Перейдём к числовой прямой. Чтобы формула была истинной, каждая записанная выше сумма должна закрывать всю ось. Для первого выражения это будет выглядеть так:



    1. Интервал от 10 и далее закрывает неравенство x > 9, а интервал от 0 до 9 включительно закрывает неравенство xxA. И поскольку х на этом интервале не превышает 9, выражение xxA будет истинным уже при А=81

    2. Аналогично для второй суммы:



    1. Интервал от 0 до 9 включительно закрывает неравенство y 9, а интервал от 10 и далее закроет неравенство yy > A. И поскольку значения у начнутся здесь с 10, а yy =100, то выражение гарантированно будет истинным, если А будет меньше 100, то есть, не будет превышать 99.

    2. Ответ: 99.

    Решение (графическое, О.В. Алимова):

    1. Перейдем к системе и избавимся от импликации

    (left brace 40 x > 9) + (xx A) =1

    (yy > A) + (y 9) = 1

    1. Так как уравнения независимы, то можно рассматривать их отдельно. Согласно условию нас будет интересовать только I четверть.

    2. Построим множества, удовлетворяющие первому уравнению.

      1. дизъюнкция – объединение множеств

      2. от y в первом уравнении ничего не зависит, то есть, если для какого-то x неравенство выполнилось, то оно будет выполняться для этого x при любом y, следовательно можем рассматривать области плоскости, а не только отрезки/интервалы на оси OX

      3. для точек правой границы левого прямоугольника условие x2 A выполняется

      4. для точек левой границы правого прямоугольника условие x > 9 не выполняется



    1. При увеличении значения А, ширина левого прямоугольника будет увеличиваться, и при А = 81, объединение прямоугольников закроет все значения х. Это наименьшее возможное значение А. При дальнейшем увеличении А, будет расти область пересечения прямоугольников, но все значения х, будут входить в объединение прямоугольников.

    2. Рассмотрим второе уравнение. Множества удовлетворяющие этому уравнению будут выглядеть так:

    group 41

    1. Пока верхний и нижний прямоугольник пересекаются, можем увеличивать А.

    2. Значение А можно увеличивать и дальше, пока в область объединения прямоугольников не перестанет попадать целое значение y. А это произойдет при А=100, для у=10 неравенство y> A перестанет выполняться. Наибольшее значение А=99.

    3. Ответ: 99.

    4. Замечания. В зависимости от строгости(не строгости) неравенств в исходном уравнении, будут включатся или исключатся точки, лежащие на границе соответствующей области.
      Так значение А для уравнения (x < 9) (xxA) = 1 будет 64,

    для уравнения (x < 9) (xx < A) = 1 будет 65,

    а для уравнения (x 9) (xx < A) = 1 будет 82. Аналогично, во втором уравнении, могут получиться числа 100, 81, 80.

    Решение (М.В. Кузнецова):

    1. Заметим, что данная формула содержит конъюнкцию двух импликаций. Конъюнкция истинна только, если оба операнда равны 1, т.е. обе импликации должны быть равны 1, для этого надо исключить ситуации 1 0 , переведя их к истинным импликациям 1 1 или 0  0.

    2. Дальнейшие рассуждения оформим в таблице.

    Формула*

    ( (x 9 ) ( A≥ xx) )  ( ( A≥ yy)  ( y 9 ) )

    Изменяемое выражение**

    -

    +

    +

    -

    Нельзя допустить

    1

    0

    1

    0

    Надо обеспечить

    1

    1

    0

    0

    Новые выражения

    x 9, xϵ[0;9]

    Axx

    A < yy

    y> 9, y ϵ [10; ∞)

    Выводы

    A9∙9, Amin= 81

    A<10∙10, A max= 99

    Пояснения

    * При переписывании формулы в неравенствах с «А» меняем местами левую и правую часть, т.е. «А» пишем слева.

    ** Помечаем символом «+» элементы формулы, содержащие «A», изменяя значения которых должны исключить неблагоприятные ситуации.

    1. Ответ: 99.

    Решение (программа на Python, А. Носкин):

    1. Программа на Python, перебор вариантов:

    a = [] # список для хранения значений А

    for A in range(1,200):

    k = 1 # флаг

    for x in range(1,100):

    for y in range(1,100):

    if (((x<=9)<=(x*x<=A))and((y*y<=A)<=(y<=9)))==False:

    k = 0 # появился Х или Y, при котором ЛОЖЬ

    break

    if k == 1: # все числа Х и Y перебрали

    a.append( A )

    print( max(a) )

    1. Ответ: 99.
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   50


    написать администратору сайта