Главная страница

Ррр. Основные понятия математической логики


Скачать 2.23 Mb.
НазваниеОсновные понятия математической логики
Дата03.10.2022
Размер2.23 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаege15.doc
ТипЗакон
#710566
страница4 из 48
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   48

Ещё пример задания:

Р-30. Укажите наименьшее целое значение А, при котором выражение

(y + 2x < A) (3y +2x > 120) (3y x > 30)

истинно для любых целых положительных значений x и y.


Решение:

  1. второе и третье выражения не зависят от выбора A: (3y +2x > 120) or (3yx > 30)

  2. таким образом, нам нужно выбрать значение A так, чтобы условие (y + 2x < A)

выполнялось при всех x и y, для которых ложно (3y +2x > 120) or (3yx > 30), то есть истинно

(3y +2x  120) and (3yx  30)

  1. последние два условия можно переписать в виде

(y  – 2x/3 + 40) and (yx/3 + 10)

  1. поскольку по условию x и y должны быть положительны, добавляем ещё два условия:

(y  – 2x/3 + 40) and (yx/3 + 10) and (x > 0) and (y > 0)

  1. изобразим схематично на плоскости x y эту область (она заштрихована):



  1. для всех точек этой области должно выполняться условие y + 2x < A, равносильное условию

y < – 2x +A

  1. это значит, что вся область должна лежать ниже линии y = – 2x +A; одна такая подходящая линия показана на рисунке сверху

  2. поскольку коэффициент наклона этой линии (–2) по модулю больше, чем коэффициент прямой y = – 2x/3 + 40, при параллельном переносе вниз, соответствующем изменению A, она коснётся заштрихованной области не в вершине , а в угловой точке около оси OX

  3. таким образом третье условие не влияет на результат, и для всех x > 0 и y > 0, удовлетворяющих условию 3y +2x  120, нужно обеспечить выполнение условия

y < – 2x +A

  1. умножим обе части последнего неравенства на 3: 3y < – 6x +3A

  2. теперь, учитывая, что 3y 2x + 120, получаем, что максимальное значение 3y, которое нужно «перекрыть», равно 2x + 120

  3. поэтому получаем 2x + 120 < – 6x +3A или 3A > 120 + 4x

  4. максимально возможное значение x, удовлетворяющее условию 3y +2x  120, определяется подстановкой минимального y, равного 1: 3 +2x  120  2x  117  xmax = 58

  5. поэтому допустимые значение A определяются условием:

3A > 120 + 4xmax = 120 + 458 = 352

откуда следует, что A > 117,(6), то есть Amin = 118.

  1. Ответ: 118.

Ещё пример задания:

Р-29. Укажите наименьшее целое значение А, при котором выражение

(y + 2x < A) (x > 20) (y > 30)

истинно для любых целых положительных значений x и y.


Решение:

  1. второе и третье выражения не зависят от выбора A: (x > 20) or (y > 30)

  2. таким образом, нам нужно выбрать значение A так, чтобы условие (y + 2x < A)

выполнялось при всех x и y, для которых ложно (x > 20) or (y > 30), то есть истинно

(x  20) and (y  30)

  1. поскольку по условию x и y должны быть положительны, добавляем ещё два условия:

(x  20) and (y  30) and (x > 0) and (y > 0)

  1. изобразим схематично на плоскости x y эту область (она заштрихована):



  1. для всех точек этой области должно выполняться условие y + 2x < A, равносильное условию

y < – 2x +A

  1. это значит, что вся область должна лежать ниже линии y = – 2x +A; одна такая подходящая линия показана на рисунке сверху

  2. очевидно, что минимальное значение A соответствует ситуации, когда при параллельном переносе показанной линии вниз, соответствующем изменению A, она коснётся правого верхнего угла заштрихованного прямоугольника, то есть пройдёт через точку (x = 20, y = 30)

  3. поэтому допустимые значение A определяются условием:

30 < – 220 +A

откуда следует, что A > 70, то есть Amin = 71.

  1. Ответ: 71.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   48


написать администратору сайта