Основные понятия математической логики
![]()
|
Ещё пример задания:Р-20 (М.В. Кузнецова). Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула ДЕЛ(x, А) (ДЕЛ(x, 21) + ДЕЛ(x, 35)) тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)? Решение: введём обозначения A = ДЕЛ(x, А), D21 = ДЕЛ(x, 21) , D35 = ДЕЛ(x, 35) введём множества: A –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A D21 –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D21 D35 –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D35 … ![]() Раскроем импликацию по правилу ![]() ![]() Чтобы формула была тождественно истинной необходимо, чтобы ![]() ![]() ![]() ![]() Множество ![]() Выполним анализ исходной формулы с помощью кругов Эйлера. ![]() Чтобы в множество ![]() ![]() В задании требуется найти НАИМЕНЬШЕЕ значение, этому условию соответствует 21. Ответ: 21 Ещё пример задания:Р-19 (М.В. Кузнецова). Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула ¬ДЕЛ(x, А) (¬ДЕЛ(x, 21) ¬ ДЕЛ(x, 35)) тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)? Решение: введём обозначения A = ДЕЛ(x, А), D21 = ДЕЛ(x, 21) , D35 = ДЕЛ(x, 35) и DN = ДЕЛ(x, N) введём множества: A –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A D21 –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D21 D35 –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D35 … Запишем формулу из условия в наших обозначениях ![]() Раскроем импликацию по правилу ![]() ![]() Чтобы формула была тождественно истинной необходимо, чтобы А = 1, когда ![]() ![]() Множество ![]() Выполним анализ исходной формулы с помощью кругов Эйлера. ![]() в множество А должны входить все числа, попавшие в объединение ![]() Число 35 делится на 5 и 7, поэтому: ![]() ![]() Перепишем и упростим формулу для А: ![]() Таким образом, каждое из множеств D35 и D21 входит в множество D7 . Объединение D35 + D21 тоже входит в D7. Поскольку 7 – наибольший общий делитель чисел 21 и 35, то найдено максимальное значение соответствующее условию задачи. ![]() Ответ: 7. |