Основные правила вычисления пределов. Основные правила вычисления пределов, связанные с арифметическими операциями
 Скачать 148.5 Kb.
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, предел суммы равен сумме пределов.
, предел произведения равен произведению пределов.
, предел частного равен отношению пределов, если
.
, предел постоянной величины равен самой постоянной.
− постоянную величину можно выносить за знак предела.| ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ: |  . |
| ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ: |  , ,где  …(натуральное число) |
Второй замечательный предел на практике можно использовать и в такой форме ( а, в – соnst)
 |  |
Следствия из замечательных пределов – это соотношения эквивалентности между некоторыми БМ величинами.
ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть
, т.е. является бесконечно малой величиной.| Следствия из первого замечательного предела. | Следствия из второго замечательного предела. |
| sin x x tg x x arcsin x x arctg x x 1 - cos x x2 / 2 |      |
Техника вычисления пределов
При вычислении пределов функций используется правило предельного перехода под знаком непрерывной функции, которое формулируется так:
.Оно справедливо для всех элементарных функций, так как они непрерывны в своих областях определения. Из правила следует, что при вычислении пределов, прежде всего, необходимо аргумент функции заменить его предельным значением и выяснить, имеется ли неопределенное соотношениие. К не определенным относятся соотношения вида:
, 
.Если такое выражение существует, необходимо выполнить тождественные преобразования, в результате которых устраняется неопределенность, а затем вычисляется предел.
Логическая схема техники вычисления пределов
Основные этапы поиска способа раскрытия неопределенности представлены в алгоритме на следующей странице, а конкретные примеры вычисления пределов функции приведены в разделе "Примеры выполнения обязательных заданий по теме 4".
Общий алгоритм вычисления предела функции
| Подставить  (в том числе и ) в . | ||
| | ||
| Проанализировать полученное неопределенное соотношение:  . | ||
| | ||
 | Если это отношение многочленов, то выделяется главная часть:  | |
 | алгебраические преобразования :выделение в числителе и знаменателе множителя, стремящегося к нулю. | Если это отношение многочленов, то определяются корни числителя и знаменателя дроби и многочлены раскладываются на множители. |
| Если предел содержит квадратные (кубические) корни, то следует умножить и разделить дробь на соответствующий сопряженный множитель. | ||
| использование эквивалентных бесконечно малых величин. | Отношение степенных функций. | |
 | Это неопределенное выражение приводится к виду:  или  . | |
 | Если  , то привести к общему знаменателю и получить . | |
| Преобразование иррациональности  . | ||
 | Приведение предела к виду второго замечательного предела, т.е.  , где - бесконечно малая величина.Затем используют известные формулы  или  . | |