матем сужд. Матем суждения. Методика изучения теорем. Основные виды математических суждений. Методика изучения теорем и их доказательств
 Скачать 296.5 Kb.
|
Основные виды математических суждений. Методика изучения теорем и их доказательствЛекция Суждение –это такая форма мышления, в которой отображается наличие или отсутствие самого объекта (наличие или отсутствие каких-либо его признаков и связей). Важнейшими видами сложных суждений являются:теоремы аксиомы Аксиома – предложение, принимаемое без доказательства. Теорема – математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства. два вида формулирования теоремы:импликативная категорическая В теореме, которая сформулирована в импликативной форме, должно быть ясно указано: условие теоремы (при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект); заключение теоремы (что об этом объекте утверждается). Структура теоремы:Условие теоремы Заключение теоремы Пример 1.Категоричная форма: Вертикальные углы равны Импликативная форма: Если углы вертикальны, то они равны Основные типы теорем:прямая обратная противоположная конрапозитивная Доказательство – рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения. Элементы доказательства: тезис; аргументы доказательства; демонстрация. Тезис – математическое предложение, в котором выражается главная цель доказательства. Форма выражения тезиса – суждение. Аргументы доказательства – положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов – суждения. Демонстрация – логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису. Метод доказательства – способ связи аргументов при переходе от условия к заключению суждения. Делятся на две группы:Методы доказательства, выделенные по тому, как строится обоснование тезиса Методы доказательства, выделенные по используемому математическому аппарату Методы доказательства, выделенные по тому, как строится обоснование тезиса:прямые косвенные Прямые приемы доказательства :синтетический - преобразование условия суждения; восходящий анализ – отыскание достаточных оснований справедливости заключения; нисходящий анализ – отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений; последовательное преобразование то условия, то заключения суждения. Косвенные приемы поиска доказательств:метод от противного – метод, при котором истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения; разделительный метод (метод разделения условий или метод исключения) – метод, при котором тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения опровергаются, кроме одного. Методы доказательства, выделенные по используемому математическому аппарату:Метод геометрических преобразований – метод, используемый как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии; Алгебраические методы – методы доказательства теорем с помощью уравнений, неравенств, тождественных преобразований; Векторный метод – метод, использующий аппарат векторной алгебры; Координатный метод – метод, позволяющий устанавливать переход от геометрических отношений к аналитическим. этапы изучения теоремы:мотивация изучения теоремы и раскрытие ее содержания; работа над структурой теоремы; мотивация необходимости доказательства теоремы; построение чертежа и краткая запись содержания теоремы; поиск доказательства, доказательство и его запись; закрепление теоремы; применение теоремы. Для мотивировки необходимости изучения теорем можно предложить такие приемы:Обобщение наблюдаемых в жизни фактов и явлений и перевод их на математический язык. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения практических задач. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения задач и доказательства других теорем. Показ, как решалась данная проблема в истории науки. Все перечисленные приемы служат одновременно и раскрытию содержания теоремы. Из других приемов раскрытия содержания теорем можно назвать:наблюдение наглядного материала, в том числе подвижных моделей или ряда чертежей; выполнение построений; решение задач на вычисление и доказательство; выполнение лабораторных и практических работ; решение задач на отыскание некоторых зависимостей. Чтобы теорема была усвоена, необходима работа с ней и после ее доказательства. Этому способствуют задания следующих видов:Сформулируйте теорему. Выделите условие и заключение теоремы. К каким фигурам применима теорема? Сформулируйте теорему со словами «Если…то…». Сформулируйте предложение, обратное теореме. Воспроизведите доказательство теоремы по новому чертежу, изменив его положение и обозначение элементов. Составьте план доказательства. Назовите аргументы, которые использовались при доказательстве. Докажите теорему другим способом. Решите задачи на применение теоремы. Этапы работы над теоремой:Мотивация изучения теоремы. «Открытие» самими учащимися содержания теоремы, формулирование теоремы. Мотивировка необходимости доказательства теоремы. Работа над структурой теоремы. Поиск доказательства, доказательство. Усвоение формулировки теоремы. Усвоение доказательства теоремы. Решение задач на применение теоремы. Логико-математический анализ теоремы:В какой форме сформулирована теорема Сформулируйте теорему в импликативной форме Выделите разъяснительную часть Выделите условие и заключение теоремы Установите в зависимости от числа условий и заключений, является ли данное утверждение простым или сложным Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равныКраткая запись теоремы: (VΔАВСΛΔ А1В1С1)((AB= А1В1)Λ(AС= А1С1)Λ(BС= В1С1))=>(ΔАВС=Δ А1В1С1) Теорема сформулирована в импликативной форме Разъяснительная часть: теорема рассматривается на множестве любых пар треугольников АВС и А1В1С1. Условие: 1) АВ = А1В1; 2) АС = А1С1 ; 3) ВС = В1С1 Всего три условия, соединены союзом «и» Заключение: АВС = А1В1С1 Всего заключений – 1 Так как в теореме три условия, то теорема сложная Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисойЗаполните таблицу логико-математического анализа теоремы
|