Отсчета. Радиусвектор, векторы перемещения, скорости, ускорения. Траектория движения и пройденный путь. Перемещение и путь при равномерном и равнопеременном прямолинейном движении
 Скачать 166.56 Kb.
|
|
Кафедра общей и теоретической физики Профессор В.А. Яковенко Лекция №2 Кинематика материальной точки. Система отсчета. Радиус-вектор, векторы перемещения, скорости, ускорения. Траектория движения и пройденный путь. Перемещение и путь при равномерном и равнопеременном прямолинейном движении. Л-1: 1.1, 1.2, 1.4; Л-2: с.7-21 Механика изучает простейшую форму движения материи – механическое движение. Механика включает три основных раздела: кинематику, динамику и ста- тику. Механическим движением называется изменение положения тел или частей одного и того же тела в пространстве относительно друг друга с течением време- ни. Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение тел без учета взаимодействий между ними, т.е. без выяснения причин, вызываю- щих или изменяющих состояние движения. В динамике изучаются законы движе- ния тел в связи с причинами, которые обусловливают тот или иной характер дви- жения. В статике рассматриваются условия равновесия тел. Поскольку равнове- сие есть частный случай движения, законы статики оказываются естественным следствием законов динамики. Положение исследуемого тела может быть определено только по отношению к какому-нибудь другому телу. Тело, которое служит для определения положения других тел, называется телом отсчета. Чтобы описать движение, с этим телом связывают некоторую систему координат для отсчета положения в пространстве, а также часы для отсчета времени. Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и часов образуют систему отсчета. Понятие системы отсчета является одним из основополагающих в физике. Поскольку изменение положения любого тела можно наблюдать только по отношению к другим телам, то любое движение (как и покой) относительны. Дви- жение одного и того же тела в разных системах отсчета может иметь разный ха- рактер. По причине относительности все системы отсчета при кинематическом рассмотрении движения равноправны. Другое дело, что в некоторых из них законы Кафедра общей и теоретической физики Профессор В.А. Яковенко механики (об этом мы узнаем позже) принимают наиболее простой вид и для ре- шения конкретных задач такие системы являются более предпочтительными. Механическое движение может быть весьма различных видов и носить дос- таточно сложный характер. Поэтому при изучении движений в механике реальные движения вначале рассматривают как совокупность отдельных более простых ви- дов движений, а изучив их, переходят затем снова к более сложным движениям. Наиболее простым примером механического движения является движение так называемой материальной точки. Всякое движущееся тело обладает определенными размерами – протяжен- ностью в пространстве. Само движение также происходит в какой-то части про- странства, размер, который мы назовем масштабом движения. Так, например, на- ша Земля представляет собой шар ( 4 1, 3 10 d км ≈ ⋅ ), движущийся по круговой орби- те ( км D 8 10 3 ⋅ ≈ ) вокруг Солнца. При таком огромном масштабе движения, когда D d << , протяженность земного шара и происходящие в нем процессы практиче- ски не сказываются на характере его движения по орбите, и Землю можно в этом движении рассматривать как материальную точку. Под материальной точкой понимают в механике такое тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данной задаче. Другими словами, матери- альная точка представляет абстракцию реального тела, которое в данной задаче может рассматриваться как геометрическая точка, обладающая массой, равной массе тела. Введение понятия материальной точки оказывается полезным и при рас- смотрении протяженных тел. Так, для характеристики движения тела в целом не- обходимо знать закономерности движения отдельных его частей, на которые мож- но мысленно расчленить тело в виде материальных точек, т.е. тело можно рас- сматривать в качестве системы материальных точек. Для описания движения материальной точки нужно знать ее положение в раз- ные моменты времени. Возможны три способа описания: координатный (скалярный), векторный и так называемый естественный (по траектории). Рас- смотрим эти способы и связь между ними. Кафедра общей и теоретической физики Профессор В.А. Яковенко Выберем начало отсчета O и прямо- угольную систему координат х, y, z (рис. 2.1, а). При первом способе положение точки A в любой момент времени t задается ее коор- динатами x, y, z. При втором способе поло- жение точки определяется радиусом- вектором r , проведенным с начала отсчета O в данную точку A. Пусть при движении точка перемести- лась из положения 1 в положение 2 (рис. 2.1 б). Эти положения определяются со- ответствующими радиусами-векторами 1 r и 2 r (или координатами 1 x , 1 y , 1 z и 2 x , 2 y , 2 z ). Вектор, проведенный из начального положения материальной точки в положе- ние, где точка находится в рассматриваемый момент времени, называется векто- ром перемещения ∆r . Иначе говоря, вектор перемещения r ∆ соединяет две точки, соответствующие двум определенным положениям материальной точки при дви- жении. Как видим из рисунка, он равен приращению радиуса-вектора за время t ∆ 2 1 r r r ∆ = − Если материальная точка последовательно перемещается из положения 1 в 2, а затем в положение 3, то суммарный вектор перемещения 13 r ∆ будет равен сумме векторов 12 r ∆ и 23 r ∆ (рис. 2.2). 13 12 23 r r r ∆ = ∆ + ∆ Попасть из точки 1 в точку 3 (рис. 2.2) можно разными путями, но суммарное пере- мещение во всех случаях будет одно и то же 13 r ∆ . Вектор перемещения показывает, в каком направлении и на какое расстояние переместилась точка относительно пер- воначального положения, однако ничего не говорит о том, как она двигалась в каждый момент времени. Например, если точка, движущаяся по окружности, вернулась в исходное по- Рис. 2.1 Рис. 2.2 Кафедра общей и теоретической физики Профессор В.А. Яковенко ложение, то перемещение численно равно нулю, хотя пройдено определенное расстояние. Таким образом, важно знать не только перемещение, но и линию, по которой происходит движение. Линия, вдоль которой материальная точка движется в пространстве в данной системе отсчета, называется траекторией движения. Эту линию описывает конец радиуса-вектора точки. Путь представляет собой длину участка траектории s , пройденного точкой за некоторый промежуток времени. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволиней- ное движения материальной точки. При прямолинейном движении в одном направлении путь s равен модулю вектора перемещения r ∆ , а при криволинейном – s r > ∆ Например, если точка, движущаяся по окружности радиусом R , сделала половину оборота, то модуль перемещения 2 r R ∆ = , а пройденный путь s R π = В тех случаях, когда траектория известна, движение можно описать третьим способом (естественным), в соответствии с которым положение точки определяет- ся величиной пути ( ) t s , пройденного по траектории за некоторый промежуток вре- мени. Таким образом, для описания движения необходимо задать зависимости ( ) t r , или ( ) t x , ( ) t y , ( ) t z , или ( ) t s , которые называются кинематическими законами дви- жения. Векторный и координатный методы описания движения материальной точки по сути тождественны. Например, в декартовой системе координат радиус-вектор точки r xi yj zk = + + , т.е. связывает воедино три скалярных закона движения. Век- торный способ предпочтителен при теоретическом исследовании характера дви- жения. Координатный способ более удобен для решения конкретных задач. Уравнение траектории связывает координаты движущейся точки, например, при движении на плоскости ( ) x f y = или ( ) y f x = . Чтобы получить уравнение тра- Кафедра общей и теоретической физики Профессор В.А. Яковенко ектории, необходимо из уравнений ( ) t x , ( ) t y , ( ) t z , исключить время. Пусть, например, движение задано уравнениями (рис. 2.3): cos x R t = ω , sin y R t = ω Исключив из них время, получим уравнение окружности: 2 2 2 x y R + = Обычно при рассмотрении различных задач необходимо знать не только пере- мещение или пройденное расстояние, но и скорость движения (перемещения). Различают среднюю скорость движения точки за некоторый конечный проме- жуток времени t ∆ , и мгновенную скорость в данный момент времени (в данной точке траектории). Средней скоростью движения за время t ∆ называют отношение вектора пе- ремещения точки r ∆ к интервалу времени, за который произошло это перемеще- ние r t ∆ υ = ∆ Вектор средней скорости υ направлен вдоль вектора перемещения r ∆ , т.е. вдоль хорды AB (рис. 2.4, а). Cредняя скорость характеризует движение на некотором отрезке пути в целом. Для того чтобы найти скорость движения в данной точке траекто- рии, вводится понятие мгновенной скорости. Вектор мгновенной скорости равен пределу отношения вектора перемещения r ∆ к интервалу времени t ∆ , т.е. производной радиуса-вектора r по времени, и направлен по каса- тельной к траектории в данной точке в направлении движения точки A (как и век- тор dr ) 0 lim t r dr t dt ∆ → ∆ υ = = ∆ Рис. 2.3 Рис. 2.4 Кафедра общей и теоретической физики Профессор В.А. Яковенко Разложим вектор мгновенной скорости для некоторого момента времени на со- ставляющие вдоль координатных осей (рис. 2.4, б) x y z i j k υ = υ + υ + υ , где x dx i dt υ = , y dy j dt υ = , z dz k dt υ = Тогда модуль вектора скорости 2 2 2 x y z υ = υ + υ + υ Равномерным называется движение, при котором материальная точка за лю- бые равные промежутки времени ∆t совершает одинаковые перемещения ∆r (проходит одинаковые пути S ∆ ). В этом определении существенно не только ра- венство перемещений ∆r (путей S ∆ ) за равные интервалы времени t ∆ , но и про- извольность выбора данных интервалов. Значит, какой бы интервал мы ни взяли, отношение t r ∆ ∆ / неизменно т.е. средняя скорость при равномерном движении равна мгновенной в любой момент времени υ υ = В реальной жизни равномерное прямолинейное движение встречается не слишком часто. Чаще за одинаковые промежутки времени тело совершает не одинаковые как по величине, так и по направлению перемещения (рис. 2.5). Такое движение будет неравномер- ным. Для него отношения перемещения к интер- валу времени непостоянные: 12 23 34 r r r t t t ∆ ∆ ∆ ≠ ≠ ∆ ∆ ∆ Для количественной характеристики изменения скорости вводится векторная физическая величина, называемая ускорением. Различают среднее и мгновенное ускорения. Среднее ускорение равно отношению изменения вектора скорости ∆ υ к интервалу времени ∆t , за который произошло это изменение, и направлено вдоль вектора изменения скорости ∆ υ : a t ∆υ = ∆ Рис. 2.5 Кафедра общей и теоретической физики Профессор В.А. Яковенко Среднее ускорение характеризует изменение скорости за некоторый интервал времени. Для того чтобы определить изменение скорости в данный момент време- ни, вводится понятие мгновенного ускорения. Вектор мгновенного ускорения равен пределу отношения изменения вектора скорости ∆ υ к интервалу времени, который бесконечно уменьшается, т.е. произ- водной вектора скорости по времени или второй производной радиуса-вектора по времени 2 2 0 lim t d d r a t dt dt ∆ → ∆υ υ = = = ∆ Движение, при котором за любые равные промежутки времени скорость испы- тывает одинаковые изменения будет равноускоренным или равнозамедленным. Для такого движения 1 2 const t t υ υ ∆ ∆ = = ∆ ∆ В процессе изучения кинематики материальной точки мы выяснили как: - выбирать систему отсчета (тело отсчета, система координат, часы); - определять положение материальной точки (радиус-вектор, координаты); - определять изменение положения материальной точки (зависимости радиуса- вектора, координат пути от времени); - определять быстроту изменения положения (средняя и мгновенная скорости); - определять быстроту изменения скорости (ускорение). В результате оказалось возможным решение основной задачи кинематики: ус- корение найти зависимость положения тела от времени в выбранной системе от- счета, если известно его ускорение, т.е. найти зависимости ( ) t r r = , или ( ) t x x = , ( ) t y y = , ( ) t z z = ; ( ) s s t = . Это вообще говоря, не простая задача и мы можем решить ее только в общих чертах, т.е. не доводя эту зависимость до явного вида. Из определения скорости dr dt υ = следует, что элементарно малое перемеще- ние материальной точки за элементарно малый промежуток времени dt опреде- ляется соотношение ( ) dt t r d υ = Кафедра общей и теоретической физики Профессор В.А. Яковенко Чтобы определить перемещение точки за конечный интервал времени t ∆ , не- обходимо этот интервал разбить на очень малые промежутки dt , определить ма- лые перемещения r d и суммировать их. В результате получим: ( ) ∫ = ∆ t t dt t r 0 υ , или ( ) ( ) 0 0 t t r t r t dt υ + = ∫ Рассмотрим случай прямолинейного равномерного движения const υ = . Выно- ся υ за знак интеграла, получим ( ) 0 0 t t r r − + = υ Если наблюдение начато в момент времени 0 t = , то t r r υ + = 0 . Это условие ( ) 0 t = будем учитывать во всех последующих случаях рассмотрения движения. Найдем зависимость скорости υ от времени при переменном движении. Из определения ускорения d a dt υ = имеем: dt a d = υ В результате интегрирования получим зависимость ( ) ( ) 0 0 t t a t dt υ υ = + ∫ Если движение прямолинейное равнопеременное, ( ) const a = , приходим к ре- зультату: ( ) 0 t at υ υ = + Найдем ( ) t r r = для случая, когда const a = в явном виде: ( ) ( ) 0 0 0 0 0 t t r r t dt r at dt υ υ ⌠ ⌡ = + = + + ∫ . Откуда Кафедра общей и теоретической физики Профессор В.А. Яковенко 2 0 0 2 at r r t = + υ + Спроецировав полученные выше равенства, например, на ось ох, получим: 0 x x x t = + υ , 0 x x at υ = υ + , 2 0 0 2 x x a t x x t = + υ + Рассмотрим теперь вопрос о том, как зная величину скорости в каждый момент времени, вычислить путь, проходимый материальной точкой с момента времени 1 t до момента времени 2 t Разобьем промежуток времени 1 2 t t − на N малых, не обязательно одинако- вых промежутков: 1 t ∆ , 2 t ∆ …… N t ∆ . Весь путь s , пройденный материальной точ- кой, можно представить: 1 2 1 N N i i s s s s s = = ∆ + ∆ + ∆ = ∆ ∑ Это равенство выполняется тем точнее, чем меньше промежутки времени i t ∆ В пределе 0 1 lim N i i t i s t υ ∆ → = = ∆ ∑ Откуда путь, проходимый точкой за интервал времени t ∆ равен: ( ) 0 t S t dt υ = ∫ Если движение равномерное ( ( ) const t υ = ), при 0 0 = t получим ( ) t S υ = Если движение равнопеременное ( const a = ), при 0 0 t = имеем: ( ) 0 0 = + ∫ t S at dt υ , откуда 2 0 2 = + at s t υ |