численные методы моделирования. Ответы на вопросы к лабораторной работе 1 1 Дайте определение трансцендентным уравнениям. Приведите примеры
 Скачать 0.61 Mb.
|
|
Ответы на вопросы к лабораторной работе №1 1) Дайте определение трансцендентным уравнениям. Приведите примеры. Нелинейные уравнения, которые содержат тригонометрические или другие специальные функции (ln(x),  , sinx и т. д.), называются трансцендентными.Примеры: x-cos(x)=0; x-ln(x)=0; x=  2) Представьте графическую интерпретацию методов решения трансцендентных уравнений.  Графическое представление метода половинного деления  Графическое представление метода хорд  Графическое представление метода Ньютона  Графическое представление метода секущих  Графическое представление метода простых итераций 3) Какие методы являются итерационными. Итерационными являются методы в которых шаг за шагом производится уточнение первоначального приближения. 4) Каковы преимущества и недостатки методов решения трансцендентных уравнений. 1. Метод половинного деления Преимущество: Данный метод всегда сходится и в реализации очень прост. Недостатки: Скорость сходимости очень мала, поэтому его используют для грубого уточнения корня и если на отрезке [а,b] содержится более одного корня, то метод не работает. 2. Метод хорд Преимущества: Сходится всегда; сходимость метода хорд линейная, но более быстрая, чем сходимость метода половинного деления. Недостатки: Необходимость вычисления производной функции на каждом шаге итерационного процесса; если исходная функция не имеет первой производной, то метод невозможно применить. 3. Метод касательных Преимущества: Эффективен для решения уравнений, график которых в окрестности корня имеет большую крутизну. Обладает высокой скоростью сходимости, но его сходимость зависит от вида функции, поэтому рекомендуется отрезок, на котором отделяется корень, выбирать очень небольшой длины. Недостатки: Нужно уметь вычислять производную (на каждом этапе). Производная не должна быть равна нулю. 4. Метод простой итерации Преимущества: Является универсальным, простым для реализации на ЭВМ и самоисправляющимся, т.е. любая неточность на каком - либо шаге итераций не отразится на конечном результате, а отразится лишь на количестве итераций. Недостатки: Не для всех уравнений он сходится, к тому же его сходимость зависит от удачи при выборе первого (начального) значения, с которого начинается поиск решения; 5) Эффективен ли метод простой итерации для решения уравнения вида 2x+1/x -6 =0 на интервал [2, 3].  ;  +1+6x=0 ; +6x+1=0Метод простой итерации не эффективен для данного уравнения, так как это нелинейное алгебраическое уравнение 6) Что значит – найти корень нелинейного уравнения. Найти корни нелинейного уравнения, означает найти те числа, которые путём подстановки их в уравнение, превращают его в верное числовое равенство. 7) Какое условие является окончанием процесса счета. Условием окончания процесса счёта является условие:  8) Какое условие ограничивает применение метода простой итерации. Для метода простой итерации следует подбирать функцию  так, чтобы  9) Сравните использованные методы по скорости сходимости итерационного процесса. Наибольшей скоростью сходимости обладает метод Ньютона по сравнению с другими итерационными методами. Обзор рассмотренных итерационных методов, позволяет сделать следующие выводы: наиболее эффективными являются методы Ньютона, секущих и простых итераций, но они не всегда обеспечивают сходимость решения. Более медленно сходящиеся методы половинного деления и хорд гарантируют получение решения для каждой непрерывной функции, если найден интервал, где она меняет знак. 10) Проиллюстрируйте метод половинного деления (метод итераций) для решения уравнения 0,1х 2 – х·ln х = 0 с точностью ε = 0,1 на интервале [1;2].  Решение уравнения методом простых итераций.    |