Высшая математика. Ответы по Высшке. Ответы на вопросы по Высшей математике
 Скачать 1.88 Mb.
|
|
Ответы на вопросы по Высшей математике: 1. Матрица – это упорядоченная таблица числе, состоящая из строк и столбцов. Количество строк и столбцов задают размеры матрицы. Операции с матрицами: a. Сложения и вычитания b. Умножения c. Транспонирования d. Возведения в степень 2. Транспонирование матрицы – это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами. Обратная матрица – это матрица, произведение которой на исходную матрицу равно единичной матрице. 3. Определитель – это число, записанное в виде квадратной таблицы, имеющей строк и столбцов, которая раскрывается по определенному правилу. Способы вычисления определителей: a. Вычисление определителя матрицы 1×1 b. Вычисление определителя матрицы 2×2 c. Вычисление определителя матрицы 3×3 i. Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка ii. Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3- тего порядка d. Вычисление определителя матрицы произвольного размера i. Разложение определителя по строке или столбцу ii. Приведение определителя к треугольному виду iii. Теорема Лапласа 4. Система линейных алгебраических уравнений – это такой набор чисел, что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы обращается в тождество. Виды систем линейных уравнений: a. Совместной или несовместной b. Однородной или не однородной c. Определенной или неопределенной 5. Метод Крамера – это метод решения систем линейных уравнений. Он применяется только к системам линейных уравнений, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель отличен от нуля. Любая крамеровская система уравнений имеет единственное решение, которое определяется формулами: x 1 = Δ 1 Δ 6. Метод Гаусса – это методика эквивалентного преобразования исходной системы линейных уравнений в систему, решаемую существенно проще, чем исходный вариант. 7. Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении системы линейных алгебраических уравнений в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений. 8. Комплексное число – это выражение вида a+ib, где a, b – действительные числа, i – мнимая единица. Действия над комплексными числами: a. Сумма и разность b. Произведение c. Деление 9. Модуль комплексного числа – это выражение 𝑟 = |𝑧| = √𝑥 2 + 𝑦 2 или квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей комплексного числа. Геометрическое изображение комплексного числа: 10. Запись комплексного числа в виде a+ib, где a и b - действительные числа, называется алгебраической формой комплексного числа. Если 𝑟 = |𝑧| = √𝑎 2 + 𝑏 2 - модуль комплексного числа z=a+ib ,а ф - его аргумент, то тригонометрической формой комплексного числа z называется выражение: 𝑧 = 𝑟(cos ф + 𝑖 sin ф) Показательной формой комплексного числа z=a+ib называется выражение: 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖ф 11. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме: a. b. c. d. 12. Производная функция – это предел отношения приращения функции ∆𝑓 = 𝑓(𝑥 0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥 0 ) к приращению аргумента ∆𝑥 при ∆𝑥 → 0, если этот предел существует. Геометрический смысл производной: производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Физический смысл производной: если точка движется вдоль оси x и ее координаты изменяются по закону x(t), то мгновенная скорость точки: u(t) = x’(t), а ускорение: a(t) = u’(t) = x’’(t). 13. Таблица производных элементарных функций: 14. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного. Если функции дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы: 15. Если функции y = f (u) и имеют производные, то производная сложной функции равна производной от функции y по промежуточному аргументу u, умноженной на производную от промежуточного аргумента u по независимой переменной х. То есть, Под производной высших порядков понимают дифференцирования функции более одного раза. Если производную повторно дифференцировать, то получим производную второго порядка, или вторую производную функции , и она обозначается: Производная третьего порядка будет иметь вид: 16. Функция f (x) называется возрастающей на промежутке (a, b), если большему значению аргумента х соответствует большее значение функции. Функция f (x) называется убывающей на промежутке (a, b), если большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции. Экстремумы функции – это точки, имеющие максимальные или минимальные значения функции на определенных участках. 17. Точка перегиба – это точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх. Кривая y = f (x) называется выпуклой в точке, если в окрестности этой точки кривая находится под касательной к кривой, проведенной в этой точке. Кривая y = f (x) называется вогнутой в точке, если в окрестности этой точки кривая находится над касательной к кривой, проведенной в этой точке. 18. 19. Первообразная функции - такая функция, производная которой соответствует исходной функции. Таблица первообразных: Множество всех первообразных функции называют неопределенным интегралом от функции и обозначают: Свойства неопределенного интеграла: a. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределённого интеграла равный подынтегральному выражению: b. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равный этой функции: c. Постоянный множитель можно вынести за знак интервала: d. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функции равный такой же самой алгебраической сумме неопределённых интегралов от каждой функции: e. Если функция F(х) является первоначальной для f(х), где k и b произвольные числа ( ), то 20. 21. Метод непосредственного интегрирования: Непосредственное интегрирование – метод интегрирования, при котором подынтегральная функция путем тождественных преобразований и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам. 22. Методы замены переменной: Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x, переходим к другой переменной, которую обозначим как t. Линейные подстановки – это замена переменной вида t = ax + b, где a и b – постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением 23. Интегрирование по частям – метод для решения интегралов от произведения двух элементарных функций. Одна из них легко дифференцируема, а другая интегрируема. Формула: 24. -25 -26 27. -28 -29 30. Дифференциальное уравнение - это уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее производные или дифференциалы разных порядков, то есть уравнение 31. 32. 33. 34. 35. Последовательность – это функция, заданную на множестве всех или первых n натуральных чисел. Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности. Сумма ряда имеет вида: 𝑆 = 𝑎 1 + 𝑎 2 + 𝑎 3 + ⋯ + 𝑎 𝑛 называются частичными суммами ряда. 𝑆 = lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 –в этом случае указанный предел — это сумма ряда. 36. 37. Признак Даламбера Пусть ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 – ряд с положительными числами, и существует конечный предел lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 +1 𝑎 𝑛 = 𝑗. Тогда, если j <1, то данный ряд сходится, а если j> 1, то – расходится. Если j = 1, то ряд может сходиться или расходиться. 38. Признак Коши Пусть ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 – ряд с положительными числами, и существует конечный предел lim 𝑛→∞ √𝑎 𝑛 𝑛 = 𝑗. Тогда если j <1, то данный ряд сходится. Если же j> 1, то расходится. Интегральный признак сходимости Пусть ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 – ряд с положительными числами, для которого существует положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке [ 1; +∞] функции f(x) такая, что 𝑓(𝑛) = 𝑎 𝑛 , 𝑛 = 1,2, … Тогда ряд ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 и несобственный интеграл ∫ 𝑓(𝑎)𝑑𝑥 +∞ 1 сходятся или расходятся одновременно. 39. Знакопеременные ряды – это ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены. Признак Лейбница: В том случае, когда ряд имеет вид: ∑ (−1) 𝑛+1 ∞ 𝑛=1 𝑎 𝑛 , где 𝑎 𝑛 > 0, то его называют знакочередующийся. Знаки элементов такого ряда строго чередуются: ∑ (−1) 𝑛+1 ∞ 𝑛=1 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 − 𝑎 2 + 𝑎 3 − 𝑎 4 + 𝑎 5 − ⋯ 40. 41. Декартовая система координат – это система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям прямоугольные декартовы координаты. Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет две оси, а прямоугольная декартова система координат в пространстве - три оси. Каждая точка на плоскости или в пространстве определяется упорядоченным набором координат - чисел в соответствии единице длины системы координат. 42. Расстояние между двумя точками на плоскости: 𝑑 = √(𝑥 2 − 𝑥 1 ) 2 + (𝑦 2 − 𝑦 1 ) 2 Координаты середины отрезка: 𝑥 = 𝑥 1 +𝑥 2 2 ; 𝑦 = 𝑦 1 +𝑦 2 2 Деление отрезка: 𝑥 = 𝑥 1 +𝜆𝑥 2 1+𝜆 ; 𝑦 = 𝑦 1 +𝜆𝑦 2 1+𝜆 𝜆 = 𝐴𝑀 𝑀𝐵 43. Уравнение прямой: 44. Уравнение плоскости: 45. Кривые второго порядка – это линия на плоскости, описываемая уравнением второй степени относительно переменных x и y 46. 47. 48. 49. 50. |