Переходные процессы. Решение_перех_проц. Параметры элементов схемы e 200 B, r 25 Ом, l 40 мГн, с 32 мкФ

• Название: Параметры элементов схемы e 200 B, r 25 Ом, l 40 мГн, с 32 мкФ
• Анкор: Переходные процессы
• Дата: 07.11.2021
• Размер: 217 Kb.
• Имя файла: Решение_перех_проц.doc
• Тип: Закон; #265643

Задание.

Параметры элементов схемы:

E = 200 B, R = 25 Ом, L = 40 мГн, С = 32 мкФ.

Для схемы, представленной на Рисунок 1, необходимо:

1) составить характеристическое уравнение схемы и рассчитать его корни;

2) определить тип переходного процесса;

3) определить закон изменения во времени величины потенциала φ узла схемы;

4) построить график φ(t) на интервале 0 ÷ 5τ, где τ – бόльшая постоянная времени;

5) определить закон изменения во времени величины тока ic;

6) построить график i_c(t) на интервале 0 ÷ 5τ, где τ – бόльшая постоянная времени.



Рисунок 1 – Схема цепи

1Характеристическое уравнение схемы

Приведем схему цепи после замыкания ключа (Рисунок 2, а).



Рисунок 2 – Схема цепи после замыкания ключа (а) и после упрощения за счет расчета эквивалентного сопротивления параллельных ветвей Z1 (б)

При упрощении рассчитаем эквивалентное сопротивление первых двух ветвей (Рисунок 2, б):

.

Обозначим ток в цепи для последующего анализа.

По второму закону Кирхгофа для рассматриваемой схемы после коммутации запишем уравнение:



Продифференцируем правую и левую часть второго уравнения по времени. После выполнения несложных математических преобразований получаем cледующую систему:



Сведем систему к одному дифференциальному уравнению:

. (1)

Обозначим в последнем выражении , , тогда:

. (2)

В полученном дифференциальном уравнении решение будем искать относительно тока i_L(t).

Выполняем замену , тогда:

.

Полученное характеристическое уравнение будет иметь два корня:

.

2Тип переходного процесса

Так как получено два действительных корня, свободная составляющая будет определяться в виде:

, (3)

где A₁ и A₂ – постоянные интегрирования.

Сам же переходный процесс будет апериодическим.

3Закон изменения во времени величины потенциала φ узла схемы

Потенциал φ(t) задается следующим образом:

.

Для определения закона изменения величины φ(t) определим постоянные интегрирования для свободной составляющей тока через индуктивность.

Значение постоянных интегрирования определяем, исходя из начальных условий. Для этого сначала рассмотрим конфигурацию цепи до коммутации (Рисунок 1) и определим значение тока в индуктивности и напряжение на емкости до момента размыкания:

Закон изменения тока до коммутации ключа запишем в виде:

(4)

Т.к. процесс коммутации происходит в момент t=0, на основании первого закона коммутации возможна запись следующих уравнений:

(5)

Запишем значения токов и производных в начальный момент времени на основании уравнения (3):



Тогда система (5) примет следующий вид:



Решим данную систему уравнений с помощью MATHCAD:



С учетом данных значений закон изменения тока в индуктивности (3) примет следующий вид:

. (6)

На основании полученной зависимости рассчитаем временную зависимость потенциала φ:

4График φ(t)

Построим график полученной временной характеристики. Для этого определим временной диапазон через большую постоянную времени.



Исходя из полученных значений построим график искомой переменной в диапазоне времени от 0 до . Для построения используем Mathcad.



Рисунок 3 – Изменение во времени величины потенциала φ узла схемы

5Закон изменения во времени величины тока ic

Далее определим закон изменения во времени величины тока через емкость. Данная величина зависит от потенциала φ следующим образом:

.

6График i_c(t)

Исходя из полученных значений построим график изменения во времени величины тока ic в диапазоне времени от 0 до 4 мс. Для построения используем Mathcad.



Рисунок 4 – Изменение во времени величины тока i_c