Перегудов Ф. И., Тарасенко Ф. П
 Скачать 4.17 Mb.
|
§ 5.5. О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВХотя мы излагаем лишь элементы теории сигналов, преследуя только ознакомительные цели, представляется интересным рассмотреть два основных ее аспекта, относящихся к свойствам непрерывных сигналов. ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ Первый – это частотно-временная неопределенность сигналов. Известно, что некоторая функция х(t) и ее спектр Х() однозначно выражаются друг через друга (см. формулы (8) и (9) § 5.4). Следовательно, сигнал можно рассматривать в любом из этих эквивалентных представлений – временном или частотном. При этом масштабные параметры этих представлений связаны обратно пропорциональной зависимостью. Пусть х(t) имеет спектр Х(). Изменим масштаб по оси времени в а раз (например, воспроизведем запись х(t) с другой скоростью) и найдем спектр функции х(аt): Хa() =  х(аt)еi2?t dt =  . (1) Как видим, масштаб по частотной оси изменился в 1/а раз. Более того, из свойств преобразования Фурье следует, что сигналы с ограниченной длительностью имеют спектры неограниченной ширины, а сигналы с ограниченной полосой частот длятся бесконечно долго. Этот математический результат находится в противоречии с практикой: в реальности все сигналы конечны по длительности, а все чувствительные к сигналам устройства не могут воспринимать и воспроизводить абсолютно все частоты. Например, диапазон частот, к которым чувствителен слух человека, простирается от нескольких герц до 20 – 30 кГц, а все различимые звуки человеческой речи длятся доли секунды. Тот факт, что аналитическая функция времени не может быть одновременно ограниченной и по длительности, и по ширине спектра, является, как видим, не свойством реальных сигналов, а свойством данной модели сигналов. В § 5.3 мы уже отмечали, что если не отказываться от достоинств аппарата аналитических функций, то выход состоит в том, чтобы как-то иначе ввести в рассмотрение конечную точность реализаций функций времени. Правда, пока эта конечная точность не будет свойством самих реализаций, ее искусственное введение в модель можно проводить на разных этапах, что придает результатам некоторую относительность. Например, говорить об одновременной ограниченности сигналов и по времени, и по спектру оказывается возможным при использовании энергетического критерия точности: сигнал считается имеющим конечную длительность ?Т, если в этом интервале времени сосредоточена основная часть всей энергии функции х(t); в то же время и ширина спектра ?F сигнала определяется как область частот, содержащая эту же часть всей энергии спектра Х():  x2(t) dt =  X2() d = ?x2(t) dt = ?X2() d, (2)Здесь величина ? меньше единицы, но достаточно близка к ней, а величина 1 – ? характеризует косвенным образом точность, о которой шла речь. Теперь можно говорить о том, какую “площадь” на плоскости “частота – время” занимает тот или иной сигнал. Если строго следовать теории Фурье-преобразований, то получим, что эта площадь для всех сигналов бесконечна, но для большинства из них энергетический критерий позволит ограничить ее естественным образом (рис. 5.3). Меняя форму сигнала s(t), можно менять и занимаемую им площадь. Оказывается [4], что уменьшать эту площадь можно лишь до некоторого предела. Этот предел достигается на кривой, являющейся гармоническим колебанием, которое модулировано по амплитуде гауссовым импульсом; интересно, что спектр этой кривой имеет такую же форму:  5.3 ————— Иллюстрация частотно-временной неопределенности сигнала UNCERTAINTY неопределенность CONTINUOUS непрерывный LIMIT предел FREQUENCY частота Все реальные сигналы длятся конечное время, и все реальные системы не могут реагировать на абсолютно все частоты. Следовательно, как длительность, тек и ширина спектра сигнала ограничены. Аналитическая модель сигнала позволяет говорить об этих характеристиках приближенно. В этом мы видим конкретный пример проявления расхождений между моделью и оригиналом. Практически всякий сигнал можно представить состоящим из более простых компонент. В математике этой идее соответствует представление функций их разложениями в ряды и интегралы. В теории сигналов специальное внимание уделяется условиям, при которых непрерывные функции можно однозначно представить в виде дискретного набора элементарных функций.  (3) . (4)Существование предела, ниже которого нельзя сжать площадь сигнала, занимаемую им на плоскости “частота – время”, и называется (по аналогии с принципом неопределенности в квантовой механике) принципом частотно-временной неопределенности сигналов: ?F·?T ?const > 0. (5) ДИСКРЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ Вторым важным аспектом теории сигналов является проблема дискретного представления непрерывных сигналов. Вопрос формулируется так: существуют ли условия (и если да, то каковы они), при которых любой непрерывной функции х(t) можно поставить во взаимно однозначное соответствие дискретное множество чисел {Сk(х)}, k =... – 2, – 1, 0, 1, 2, ...? Положительный ответ на этот вопрос имел бы как теоретическое, так и практическое значение. Во-первых, рассмотрение случайных величин вместо реализаций непрерывных случайных процессов существенно упрощает решение многих задач, вся теория становится проще и может быть продвинута дальше. Во-вторых, соответствие х(t) {Сk(х)} можно использовать и в технических устройствах, работающих с непрерывными сигналами (например, иногда технически проще хранить или передавать {Сk(х)} вместо х(t)). Ограничимся более конкретной формулировкой поставленной задачи и рассмотрим условия выполнения равенства x(t) =  Ck(x)?k(t). (6) Функции {?k(t) } называются координатными функциями, они не должны зависеть от х(t), более того, они заранее известны. Ряд в правой части равенства называется разложением х(t) по координатнымфункциям. Числовые коэффициенты {Сk(х)} содержат всю информацию об х(t), необходимую для восстановления этой функции по формуле (6); следовательно, {Сk(х)} являются функционалами* от функции х(t). —————————— * Функционалом называется отображение множества функций в множество чисел. Наиболее известны разложения по системе ортогональных и нормированных функций. Это означает, что функции {?k(t)} удовлетворяют условиям  (7)Умножим обе части равенства (6) на ?i(t) и проинтегрируем (опуская тонкости, будем считать, что все операции обоснованы):  . (8)Такое представление называют рядомФурье, а Сk(х) – коэффициентамиФурье. Условия сходимости ряда Фурье к функции х(t) подробно исследованы и, кратко говоря, сводятся к тому, чтобы были оправданы все необходимые математические операции, а коэффициенты Фурье убывали достаточно быстро (точнее,  ). Это не очень жесткое ограничение, но все же оно связывает свойства системы координатных функций и самих функций х(t). Например, если {?k(t) } – гармонические функции кратных частот, то х(t) должна быть периодической функцией с периодом Т, равным периоду самой низкочастотной гармоники: , (9) . (10)Значительный интерес привлекли разложения реализаций случайного процесса с ограниченной полосой частот. Для таких сигналов В.А. Котельников доказал (1946) следующую теорему (теорему отсчетов): любая функция со спектром, находящимся в интервале [0, F], полностью определяется последовательностью ее значений в точках, отстоящих друг от друга на 1/ (2F) единиц времени. Пусть х(t) имеет спектр Х(); эти функции связаны соотношениями (8) и (9) § 5.4, причем Х() отлично от нуля только в интервале || F. В этом интервале применимо разложение (9):  ,а коэффициенты Фурье этого разложения таковы:  .Следовательно,  , (11)и это соотношение уже доказывает теорему отсчетов в силу однозначной связи Х() с х(t). Чтобы показать в явном виде, как восстанавливать х(t) для значений t между точками отсчетов, воспользуемся формулой (9) § 5.4:  (12)Итак, мы получили разложение реализации, координатными функциями которого являются функции вида (sin u) /u, сдвинутые друг относительно друга на интервалы времени 1/(2F), а коэффициентами – значения (“отсчеты”) самой реализации, взятые в моменты k/ (2F). Иногда говорят, что эта теорема является теоретическим обоснованием возможности на практике восстанавливать х(t) по отсчетам  . Однако дело в том, что координатные функции имеют неограниченную длительность и, следовательно, физически нереализуемы. Кроме того, ряд (12) имеет неограниченное число членов. Все это снова возвращает нас к проблеме точности фиксации сигналов, – проблеме, пока не получившей полного освещения*.
|