Решение типовых задач функци нескольких переменных. Пермь 2007 Вариант 1 Найти и изобразить на чертеже область определения функций а б Вычислить приближенно. Найти частные производные и полный дифференциал функции z ln
![]()
|
Федеральное агентство по образованиюГосударственное образовательное учреждениевысшего профессионального образованияПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТФункции нескольких переменныхИндивидуальные задания
Пермь 2007 Вариант 1 ![]() Найти и изобразить на чертеже область определения функций а) ![]() ![]() Вычислить приближенно ![]() Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(y2-e-x). Вычислить значение производной сложной функции u = ex-2y, где ![]() Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x3+y3+z3-3xyz = 4, в данной точке M0 (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой. Проверить, удовлетворяет ли данная функция ![]() ![]() Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже. а) S: x2+y2+z2+6z-4x+8 = 0, M0(2,1,-1); б) S: 4x2-9y2-9z2-36 = 0, M0(3,0,0). Определить градиент и производную заданной функции z = ln(x+y) в т. M0(1,3) в направлении линии y2 = 9x в сторону возрастания аргумента x. Исследовать на экстремум функцию ![]() Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+y-xy в области D: y = x,y = 4, x = 0. Вариант 2 ![]() Найти и изобразить на чертеже область определения функций а) z = arcsin(x-y), б) z = ln(2-x-y) + ![]() Вычислить приближенно ![]() Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arctg (x2+y2) Вычислить значение производной сложной функции u = ln(ex+e-y), где x = t2, y = t3 при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2-xy = 2, в данной точке M0 (-1,0,1) с точностью до двух знаков после запятой. Проверить, удовлетворяет ли данная функция ![]() ![]() Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже. а) S: x2+z2-4y2 = -2xy, M0(-2,1,2); б) S: x2+y2-z = 6, M0(1,-1,-1). Определить градиент и производную заданной функции z = 5x2-3x-y-1 в т. M0(2,1) в направлении, идущем от т. М0 к т. N(5,5). Исследовать на экстремум функцию z = x3+8y3-6xy+5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-x-2y в области D: y = x,y = 0 , x = 3. Вариант 3 ![]() Найти и изобразить на чертеже область определения функций а) ![]() ![]() Вычислить приближенно ![]() Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin ![]() Вычислить значение производной сложной функции u = yx, где x = ln(t-1), ![]() Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: ![]() Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x2+(y+1)2) указанному уравнению ![]() Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже. а) S: x2+y2+z2+3z-xy = 7, M0(1,2,1); б) S: 4x2-9y2 = 36, M0(-3,0,0). Определить градиент и производную заданной функции z = x2+y2 в т. M0(6,-8) в направлении линии y = ![]() Исследовать на экстремум функцию z = 1+15x-2x2-xy-2y2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+8y+2xy-4x в области D: y = 0,y = 2, x = 0,x = 1. Вариант 4 Найти и изобразить на чертеже область определения функций а)z = ln(4-x2-y2); б) z = y + arcsin(x+2). Вычислить приближенно cos59°sin32°. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arccos(x-y2). Вычислить значение производной сложной функции u = ey-2x+2, где ![]() ![]() Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: ez+x+2y+z = 4, в данной точке M0 (1,1,0) с точностью до двух знаков после запятой Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = xy указанному уравнению ![]() Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже. а) S: x2+y2+z2+6z+4x = 8, M0(-1,1,2); б) S: x2-y+z2-6 = 0, M0(1,-1,2). Определить градиент и производную заданной функции z = arcsin( ![]() Исследовать на экстремум функцию z = 1+6x-x2-xy-y2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 5x2+y2-3xy в области D: y = 0,y = 1, x = 0,x = 1. Вариант 5 ![]() Найти и изобразить на чертеже область определения функций а)z = ![]() ![]() Вычислить приближенно arсtg ![]() Найти частные производные и полный дифференциал функции z = cos(x3-2xy) Вычислить значение производной сложной функции u = x2ey, где x = cost, y = sint, при t = π, с точностью до двух знаков после запятой. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2-z-4 = 0, в данной точке M0 (1,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = xy/(x+y) указанному уравнению ![]() Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже. а) S:2x2-y2+z2-4x+y = 13, M0(2,1,-1); б) S: 25y2-4x2-4z2-5 = 0, M0(1,1,2). Определить градиент и производную заданной функции z = xey в т. M0(1,4) в направлении линии xy = 4 в сторону убывания аргумента x. Исследовать на экстремум функциюz = x3+y2-6xy-39x+18y+20. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+2xy-y2-4x в области D: x-y+1 = 0,y = 0, x = 3. Вариант 6 ![]() Найти и изобразить на чертеже область определения функций а) z = ![]() ![]() ![]() Вычислить приближенно (2,05)2/((2,05)2+(3,01)2). Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ![]() Вычислить значение производной сложной функции u = ln(ex+ey) где x = t2, y = t3 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: z3+3xyz+3y = z, в данной точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = exy указанному уравнению ![]() Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже. а) S: x2+y2+z2-6y+4z+4 = 0, M0(2,1,-1); б) S: x2+z2-5y2 = 0, M0(-1,1,3). Определить градиент и производную заданной функции z = x2+y2+xy в т. M0(3,1) в направлении линии 4x-3y-9 = 0 в сторону возрастания аргумента x. Исследовать на экстремум функцию z = 2x3+2y3-6xy+5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+y2-2x-2y+8 в области D: y+x-1 = 0,y = 0, x = 0. Вариант 7 ![]() Найти и изобразить на чертеже область определения функций а)z = arccos(x + y); б) z = ![]() Вычислить приближенно 0,97 1,05. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(2x3y). Вычислить значение производной сложной функции u = xy, где x = et ,y = lnt при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: cos2 x + cos2y + cos2z = 1,5 в данной точке M0 ( ![]() Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = sin2(x-ay) указанному уравнению ![]() Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже. а) S: x2+z2-5yz+3y = 46, M0(1,2,-3); б) S: 3x2+y2 = 9, M0( ![]() Определить градиент и производную заданной функции z = xey в т. M0(2,2) в направлении линии xy = 4 в сторону возрастания аргумента x. Исследовать на экстремум функцию z = 3x3+3y3-9xy+10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x3-xy2+y2 в области D: y = 0,y = 6, x = 0,x = 1. Вариант 8 ![]() Найти и изобразить на чертеже область определения функций а)z = ![]() Вычислить приближенно ![]() Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(3x2y-y2). Вычислить значение производной сложной функции u = ey-2x, где x = sint, y = t3 при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y),заданной неявно: e z-1 = cosxcosy + 1, в данной точке M0 (0,π/2,1) с точностью до двух знаков после запятой. Проверить, удовлетворяет ли данная функция ![]() ![]() Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже. а) S: x2+y2-xz-yz = 0, M0(0,2,2); б) S: x2+y2-4z2 = 4, M0(-2,2,1). Определить градиент и производную заданной функции z = arcsin( ![]() Исследовать на экстремум функцию z = x2+xy+y2+x-y+1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+6y-xy-x2-y2 в области D: y = 0,y = 1, x = 0,x = 1. |