Решение типовых задач функци нескольких переменных. Пермь 2007 Вариант 1 Найти и изобразить на чертеже область определения функций а б Вычислить приближенно. Найти частные производные и полный дифференциал функции z ln

• Название: Пермь 2007 Вариант 1 Найти и изобразить на чертеже область определения функций а б Вычислить приближенно. Найти частные производные и полный дифференциал функции z ln
• Анкор: Решение типовых задач функци нескольких переменных
• Дата: 19.07.2022
• Размер: 435.5 Kb.
• Имя файла: FNP.doc
• Тип: Документы; #633127
• страница: 2 из 3

Вариант 9

1. 
   Найти и изобразить на чертеже область определения функций
   

а)z = ln(x²+y²-3); б) .

2. 
   Вычислить приближенно ln((2,02)²+ ).
   
3. 
   Найти частные производные и полный дифференциал функции z = e^-(x3+y3)y.
   
4. 
   Вычислить значение производной сложной функции u = x²e^-y, где x = sint, y = sin²t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
   
5. 
   Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²+y²+z²-6x = 0, в данной точке M₀ (1,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.
   
6. 
   Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
   
7. 
   Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
   

а) S: x²+y²-z²+2yz+y-2z = 2, M₀(1,1,1);

б) S: x²-y² = 16, M₀(5,3,-1).

8. 
   Определить градиент и производную заданной функции z = ln(x²+y²) в т. M₀(1,1) в направлении линии x²+ y² = 2 в сторону возрастания аргумента x.
   
9. 
   Исследовать на экстремум функцию z = 4(x-y)-x²-y².
   
10. 
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²-2y²+4xy-6x-1 в области D: x+y = 3,y = 0, x = 0.
    

Вариант 10

1. 
   Найти и изобразить на чертеже область определения функций
   

а)z = ; б)z = arcsin + arcsin(1-y).

2. 
   Вычислить приближенно .
   
3. 
   Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln( -1).
   
4. 
   Вычислить значение производной сложной функции u = ln(e^-x+e^y), где x = t², y = t³ при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой.
   
5. 
   Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: xy = z²-1, в данной точке M₀ (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой
   
6. 
   Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e ^{- cos(x+ay)} указанному уравнению .
   
7. 
   Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
   

а) S: x²+y^{2 _} z²-2xy+2x = z, M₀(1,1,1);

б) S: 3x²-11y²+3z²+5 = 0, M₀(1,1,1).

8. 
   Определить градиент и производную заданной функции z = x²+y² в т. M₀(6,8) в направлении линии x²+y² = 100 в сторону возрастания аргумента x.
   
9. 
   Исследовать на экстремум функцию z = 6(x-y)-3x²-3y².
   
10. 
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+2xy-10 в области
    

D: y = 0,y = x²-4.

Вариант 11

1. 
   Найти и изобразить на чертеже область определения функций
   

а)z = ln(y²-x²); б) z = .

2. 
   Вычислить приближенно (3,02)³ .
   
3. 
   Найти частные производные и полный дифференциал функции z = tg(y⁴x³).
   
4. 
   Вычислить значение производной сложной функции u = e^y-2x-1, где x = cost, y = sint при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
   
5. 
   Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²-2y²+3z²-yz+y = 2, в данной точке M₀ (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
   
6. 
   Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e^xy указанному уравнению .
   
7. 
   Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
   

а) S:z = x²+y²+2x-2xy-y, M₀(-1,-1,-1);

б) S: x²+y²+2z² = 10, M₀(1,1,2).

8. 
   Определить градиент и производную заданной функции в т. M₀( ) в направлении линии x²+y² = 2x в сторону убывания аргумента x.
   
9. 
   Исследовать на экстремум функцию z = x²+xy+y²-6x-9y.
   
10. 
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-2x-y в области
    

D: y = 0,y = 4, x = 0,x = 3.

Вариант 12

1. 
   Найти и изобразить на чертеже область определения функций
   

а)z = ln(9-x²-y²); б) z = arcsin(x+y).

2. 
   Вычислить приближенно ln( – ).
   
3. 
   Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 2xy + .
   
4. 
   Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sin t, y = cost при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
   
5. 
   Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²+y²+z²+2xz = 5, в данной точке M₀ (0,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.
   
6. 
   Проверить, удовлетворяет ли данная функция arctg указанному уравнению .
   
7. 
   Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
   

а) S: z = y²-x²+2xy-3y, M₀(1,-1,1);

б) S: x²+y²-4z² = 1, M₀(1,2,-1).

8. 
   Определить градиент и производную заданной функции z = arctg(xy) в т. M₀(1,-1) в направлении линии y = -x в сторону возрастания аргумента x.
   
9. 
   Исследовать на экстремум функцию z = (x-2)²+2y²-10.
   
10. 
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 0,5x²-xy в области
    

D: y = 8, y = 2x².

Вариант 13

1. 
   Найти и изобразить на чертеже область определения функций
   

а)z = ; б) z = ln(4+4x-y²).

2. 
   Вычислить приближенно ( sin1,56)(cos1,58).
   
3. 
   Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 2- ln .
   
4. 
   Вычислить значение производной сложной функции u = arccos(2x / y), где x = sint, y = cost при t =π, с точностью до двух знаков после запятой.
   
5. 
   Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: xcosy + ycosz + zcosx = , в данной точке M₀ (0, , π) с точностью до двух знаков после запятой.
   
6. 
   Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x²+y²+2x+1) указанному уравнению .
   
7. 
   Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀, y₀, z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
   

а) S: z = x²-y²-2xy-x-2y, M₀(-1,1,1);

б) S: x²-5y+z² = 0, M₀(1,2,-3).

8. 
   Определить градиент и производную заданной функции z = arctg в т. M₀(1,1) в направлении линии x²+ y² = 2x в сторону возрастания аргумента x.
   
9. 
   Исследовать на экстремум функцию z = (x-5)²+y²+1
   
10. 
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x²+3y²-2x-2y+2 в области D: y + x-1 = 0, y = 0, x = 0.
    

Вариант 14

1. 
   Найти и изобразить на чертеже область определения функций
   

а)z = ; б) z = arcsin3xy.

2. 
   Вычислить приближенно 3,1+4,2- .
   
3. 
   Найти частные производные и полный дифференциал функции z = cos (x- ).
   
4. 
   Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = 1-2t,
   

y = arctg t при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.

5. 
   Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: 3x² y²+2xyz²-2x³z+4y³z = 4, в данной точке M₀ (2,1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
   
6. 
   Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .
   
7. 
   Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
   

а) S: x²-2y²+z²+xz-4y = 13, M₀(3,1,2);

б) S: x²-7y+z² = 4, M₀(3,2,3).

8. 
   Определить градиент и производную заданной функции z = xe^y в т. M₀(1,1) в направлении линии xy = 1 в сторону возрастания аргумента x.
   
9. 
   Исследовать на экстремум функцию z = x³+y³-3xy.
   
10. 
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x² + 3y²-1 в области
    

D: y = , y = 0.

Вариант 15

1. 
   Найти и изобразить на чертеже область определения функций
   

а) z = arccos(x+2y); б) .

2. 
   Вычислить приближенно 3,03⁴+1,98⁵+15.
   
3. 
   Найти частные производные и полный дифференциал функции .
   
4. 
   Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = e^t, y = 2-e^2t при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
   
5. 
   Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²-2y²+z²-4x+2z+2 = 0, в данной точке M₀ (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
   
6. 
   Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e ^–(x+3y) sin(x+3y) указанному уравнению .
   
7. 
   Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
   

а) S: 4y²-z²+3z+4xy-xz = 9, M₀(1,-2,1);

б) S: x²-4y²+z²-4 = 0, M₀(-2,1,2).

8. 
   Определить градиент и производную заданной функции z = 5x²-3x-y-1 в т. M₀(1,-1) в направлении, идущем от т. N(2,2)к т.M₀.
   
9. 
   Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-2x²-4y².
   
10. 
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²-2xy-y² + 4x + 1 в области D: y = 0, x+y+1 = 0, x = -3.
    

Вариант 16

1. 
   Найти и изобразить на чертеже область определения функций
   

а) z = arcsin ; б) z = ln(y²-x²),

2. 
   Вычислить приближенно 2,01∙ 1,03/ ((2,01)⁴+(2,97)²),
   
3. 
   Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcos(x-2y²),
   
4. 
   Вычислить значение производной сложной функции u = ln(e^-x +e^-2y) где x = t², при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой,
   
5. 
   Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x+y+z+2 = xyz, в данной точке M₀ (2,-1,-1) с точностью до двух знаков после запятой,
   
6. 
   Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .
   
7. 
   Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
   

а) S: z = x²+y²-3xy-x+y+2, M₀(2,1,0);

б) S: x²+y²-z-6 = 0, M₀(2,1,-1).

8. 
   Определить градиент и производную заданной функции в т. M₀( ) в направлении линии x²+ y²+2x = 0 в сторону возрастания аргумента x.
   
9. 
   Исследовать на экстремум функцию z = x –x²-y+6x+3.
   
10. 
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x²+3y²-x-y+1 в области
    

D: x = 5, y = 0, x-y-1 = 0.