Первый замечательный пределДокво
 Скачать 6.01 Mb.
|
|
Первый замечательный предел Док -во: AC - касательная к окр в (.)АС Дуга - сектор C [] сект Следствия 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Теорема (аналог т. Вейерштрасса) - некий интервал - возрастающая непрерывная функция - если в непрерывная на (множество) непрерыная в каждой Примеры 1. 2. непр . в - непрерывно 3. - непрерывны Вся тригонометрия непрерывна! - натуральное число, а - не обязано быть натуральным! - целая часть от - возрастающая в 2 случая! 1. - непр 2. имеет скачок в (.) непр: оно монотон. + нет скачков - непр на строго возр обратная , непр на Аналогично Бином Ньютона и сочетания Количество перестановок Количество перестановок элементов можно вычислить по формуле: Выбор k элементов из n Задача : Требуется выбрать из пяти человек троих. Сколькими способами можно это сделать? Ответ : Если требуется выбрать 4 человека из 5, то: Подробнее : Число сочетаний при выборе k элементов из n: Бином Ньютона Рассмотрим Всего скобок 5, следовательно макисмальная степень, которую возможно получить =5. Чтобы получить , нужно из всех скобок взять a и перемножить их. Количество способов получить Получаем : Чтобы получить нужно взять a из четырех скобок и b из оставшейся. Нужно знать число сочетаний: Получаем : Аналогично высчитываем биномиальные коэффициенты: Общая формула для бинома Ньютона: Формула бинома Ньютона для разности: Формула бинома Ньютона для разности: Полиномиальная формула: Бесконечно малая последовательность Oпр. -если - бмп Опр . - ограниченная, если Свойства : 1. Сумма бесконечно малых равна нулю Док -во: 2. Произведение бесконечно малых: 3. -бесконечно малое, -ограниченное - бм Док -во: Неопределенности 1. - неопределенность 2. 3. 4. 5. 6. - предела нет Бесконечно большая последовательность Опр . если такой, что Опр . если "В чем возникает проблема?" Свойства : НО 1. 2. 3. 4. 5. - предела нет Свойство : бб бм 1. 2. 3. 4. чет нечет нечет чет Шкала бесконечно малых и бесконечно больших . отношение старшего коэффициента знак степень степень Док -во: [] начиная с некоторого места. Док -во: - начиная с некоторого места. [] , но ведь дробь несократима Границы последовательности -ограниченная сверху, если Ограниченная снизу - ограничена - его верхняя граница. Если существует наименьшая из всех верхних границ из A, то она называется верхней гранью и обозначается Если существует наибольшая из всех нижних границ из А, то она называется нижней гранью и обозначается Теорема. ограничена сверху множества имеет Док-во: X - ограничена сверху все остальные множества верхних граней Рассмотрим Опр. - - монотонно возрастающая, если Опр . - - монотонно убывающая, если Теорема Вейерштрассе Если Док -во: Рассмотрим ограничена мотононно возрастающая Далее идут непонятные записи :) #МетодМатИндукции #МатАнЛек Метод математической индукции -утверждение о том, что некоторый факт имеет место при любом натуральном n, верно, если выполняются 2 условия: 1. База: утверждение верно при n = 1 2. Переход: из справедливости утверждения для n = k следует его справедливость для n = k + 1 Пример : База : При формула верна: Переход : Допустим формула верна для : Докажем ее справедливость для Множества , операции над множествами Множество - Совокупность явлений и процессов, обладающих определенными свойствами называются множеством (A, B, C, D … ). То, из чего состоит множество, называется элементом множества ( обозначается через малые латинские буквы ) ##Числовые множества натуральные целые рациональные действительные Операции 1. Объединение 2. Пересечение 3. Разность Свойства 1. 2. 3. 4. 5. 6. Виды отображений: 1. Отображение (функция) называется сюръективным (или сюръекцией, или отображением на ), если каждый элемент множества является образом хотя бы одного элемента множества 2. Отображение (функция) множества в множество называется инъекцией (или вложением , или взаимно однозначным отображением множества в множество ), если разные элементы множества переводятся в разные элементы множества 3. Биекция — это отображение (функция), которое является одновременно и сюръективным, и инъективным Если между множествами биекция, то они равномощные. Односторонний Предел функции - последователь - функция Рациональные числа посчитать можно, вещественные - нет. Алтернатива пределам: бесконечность, число, не сущестует. Неопределенность - не ответ, предела не существует - ответ. Окрестности - окрестность точки радиуса проколотая окрестность Сужение окрестности - уменьшение ее радиуса. Опр . Число А (если ) при - предел функции Если как только то сразу Предел по Гейне Опр . Число А (если ) называется пределом по Гейне при , если 1. 2. Выполнено , что Эквивалентные Теоремы: 1. A - классический предел при 2. A - предел по Гейне при Док -во: Пусть условие не выполнено, т. е. , но Пределы последовательностей Окрестность - окрестность Последовательность Последовательность - это отображение из в (по Железняку) Последовательность - функция натурального аргумента, ее значения обычно обозначают или . Способы задания последовательности: 1. 2. 3. Рандомный Числа Фибоначчи Предел Бесконечность - дохрена Число a - предел последовательности Если if Примеры : 1. 2. 3. - предел с двух сторон. ┌───────────────────────────────────────────────── ─────────────────────────────┐ │ Теорема. - последовательность и у нее не может быть двух пределов. │ └───────────────────────────────────────────────── ─────────────────────────────┘ Док -во: if не так, 2-й и Возьмем такие -окрестности, чтоб они не пересекались. Тогда для найдется такой номер , такой , что при всех выполняется неравенство . Найдется токженомер такой, что при всех выполняется неравенство Пусть . Тогда Пришли к противоречию. [] Действия над лимитами. 1. 2. Тогда 3. , 4. 5. if "Хочу по определению проверить Знаю " окрестность (.) начиная с некоторого места все будут в ней Предельный переход в неравенстве Теорема . и , начиная с некоторого места. Док -во: Пусть это не так, тогда - противоречие Теорема . Док -во: Аналогично , только нестрого Равномерная непрерывность Опр . 1 непр в если Мы непрерывны если не зависит от выбора точки. Опр . 2 равномерно непр на множестве Теорема Кантора задана на нем и непрерывная на она равномерно непрерывно на "Докажем как-нибудь, не знаю как, но докажем" Пусть это не так - равн-но непр на множестве сходящ подпоследовательность - сход подпоследовательность в Теорема Вейерштрасса №3 непр на Тогда Док -во: if - ограничена, то есть От противного: пусть нет, Перебираем : Рассмотрим - послед., огранич.: сходящаяся подпоследовательность внутри Рассмотрим множество значений - огранич ?? противоречие этого множества, - ограниченная последовательность внутри - сход. подпоследовательность: Теорема Вейерштрасса if -монотонная и - предел Аксиома Кантора о вложенных отрезках т .е. Док -во: Рассмотрим - неубывающая - ограниченная и монотонная Аналогично возрастающая не пустые при всех Предельный переход в неравенстве Число Док -во: , хочу - монотон., огр. Критерий сходимости Если последовательность сходится, то ее элементы с некоторого месат будут близко друг к другу Факт : -ограниченное, т.е. при всех - подпоследовательность из , у которой есть предел Берем - элементы с самым маленьким у -ой половины. Берем - элементы с самым маленьким из -ой половины (от половины) Получились вложенные отрезки пересечения. вложенным отрезкам, концы (по двум ме... ) Док -во критерия: 1. Если значит Рассмотрим 2. Если начиная с некоторого места - ограниченная Разность модулей > разность модуля - область определения - ф-я: if 1. 2. Почему определения эквивалентны 1. Рассмотрим 2. "X3" Как только от ппротивного, пусть это не так Тогда 1. 2. [] Свойства 1. 2. a) б ) в ) г ) ; д ) Док -во: $e^{B*\ln{A} = A^B$ Теорема о промежуточном значении непр на Пусть Рассмотрим Пусть Рассмотрим - поделим пополам и возьмем ту половинуб где на концах разные знаки и продолжим Последовательность вложенных отрезков - предельная всем отрезкам |