РГЗ Первый курс. Первое высшее техническое учебное заведение россии министерство науки и высшего образования российской федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования санктпетербургский горный университет

• Название: Первое высшее техническое учебное заведение россии министерство науки и высшего образования российской федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования санктпетербургский горный университет
• Анкор: РГЗ Первый курс
• Дата: 09.11.2022
• Размер: 64.07 Kb.
• Имя файла: RGZ_1.docx
• Тип: Документы; #779906

ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ



МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики

Расчетно-графическое задание

Вариант 9

По дисциплинеВысшая математика

^{(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)}

Тема работы: Аналитическая геометрия

и векторная алгебра

Выполнила: студентка гр. ИГ-22-2 Жилко С.В.

^{(шифр группы) (подпись) (Ф.И.О.)}

Оценка:

Дата:

Проверил

руководитель работы: доцент Шабаева М.Б.

^{(должность) (подпись) (Ф.И.О.)\}

Санкт-Петербург 2022

В пространстве заданы четыре точки: А₁(-14,-15,-8), А₂(-2,11,11), А₃(6,0,9), А₄(-16,3,-20). Требуется выполнить следующие задания:

1. 
   Найти угол (косинус угла) между векторами и .
   

Решение:

= = {-2-(-14); 11-(-15); 11-(-8)} = {12; 26; 19} = {a_x; a_y; a_z}

= = {-16-(-14); 3-(-15); -20-(-8)} = {-2; 18; -12} = {b_x; b_y; b_z}

= = = = ≈ 0,29

∠ = arccos(0,29)

Ответ:∠ = arccos(0,29)

2. 
   Найти S – площадь треугольника А₁А₂А₃ (с помощью векторного произведения). Проверить, что вектор перпендикулярен векторам и .
   

Решение:

Найдем координаты векторов и :

= {12; 26; 19}

= {6-(-14); 0-(-15); 9-(-8)} = {20; 15; 17}



= = 157i+176j-340k

≈ 206,89 (ед.кв)

= {157; 176; -340}

= 157 12+176 26+ (-340) 19 = 0 ⇒

= 157 20+176 15+ (-340) 17 = 0 ⇒

Ответ: S = 206,89 ед.кв.

3. 
   Найти V – объем пирамиды А₁А₂А₃А₄ (с помощью смешанного произведения).
   

Решение:

Найдем координаты векторов и :

= {12; 26; 19}

= {20; 15; 17}

= {-2; 18; -12}

= = ≈ 1155,67 (ед.куб.)

Ответ:V =1155,67 ед.куб.

4. 
   Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А₁, А₂, А₃ (в качестве нормали к плоскости взять вектор , найденный в пункте 2). Проверить, что все три точки принадлежат этой плоскости.
   

Решение:

Пусть плоскость, проходящая через точки А₁, А₂, А₃ – плоскость

= {157; 176; -340} - нормаль к плоскости

А₁(-14,-15,-8), А₂(-2,11,11), А₃(6,0,9)

Общее уравнение плоскости : 157(x-(-14)) + 176(y-(-15)) - 340(z-(-8))) = 0

157x + 176y - 340z +2118 = 0

Подставим точку А₁ в общее уравнение плоскости :

157(-14) + 176(-15) - 340(-8) +2118 = 0⇒ А₁ ∈

Подставим точку А₂ в общее уравнение плоскости :

157(-2) + 176(11) - 340(11) +2118 = 0⇒ А₂ ∈

Подставим точку А₃ в общее уравнение плоскости :

157(6) + 176(0) - 340(9) +2118 = 0⇒ А₃ ∈

Ответ:157x + 176y - 340z +2118 = 0

5. 
   Найти угол (синус угла) между ребром А₁А₄ и плоскостью А₁А₂А₃.
   

Решение:

= {-2; 18; -12}

= {157; 176; -340}

sin ( = = ≈ 0,77

∠( = arcsin(0,77)

Ответ:∠( = arcsin(0,77)

6. 
   Составить канонические уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на основание А₁А₂А₃.
   

Решение:

А₄(-16,3,-20)

= {157; 176; -340}



–канонические уравнения высоты

Ответ:

7. 
   Найти h – расстояние от точки А₄ до А₁А₂А₃ с помощью формулы расстояния от точки до плоскости. Убедиться, что V = (см. пп. 2 и 3).
   

Решение:

≈ 16,76

V =

A₁A₂A₃: 157x + 176y - 340z +2118 = 0

Ответ:h = 16,76

8. 
   Найти d – расстояние от точки А₄ до прямой А₁А₂ с помощью формулы расстояния от точки до прямой.
   

Решение:

= {12; 26; 19}

= {-2; 18; -12}

=



Ответ:d = 20,79