Первообразная функция

• Название: Первообразная функция
• Дата: 18.05.2021
• Размер: 1.62 Mb.
• Имя файла: Skobeleva.docx
• Тип: Реферат; #206578
• страница: 2 из 4

§ 1 Способы и примеры решения первообразной функции

Функция называется первообразной для функции на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка [1 c. 291].

Пример 1. Функция есть первообразная для функции на интервале , так как для всех .

Легко заметить, что имеет ту же самую производную и поэтому также является первообразной для на . Ясно, что вместо числа можно поставить любую постоянную. Таким образом, мы видим, что задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.

Пример 2. Для функции на интервале первообразной является функция , так как для всех из этого интервала. Функция при любой постоянной есть первообразная для функции на том же интервале .

Пример 3. Функция не является первообразной для функции на промежутке , так как равенство не выполнено в точке . Однако в каждом из промежутков и функция является первообразной для .

Таблица первообразных (Рис. 1)



Рис. 1

Три правила нахождения первообразных: правило 1. Если есть первообразная для , а – первообразная для , то есть первообразная для [1 c. 295].

Правило 2. Если есть первообразная для , а – постоянная, то – первообразна для [1 c. 295].

Правило 3. Если есть первообразная для , а и – постоянные, причем , то есть первообразная для [1 c. 295].

Пример 1. Найдем общий вид первообразных для функции . Так как для одна из первообразных есть , а для одной из первообразных является – , по правилу 1 находим: одной из первообразных для функции будет .

Ответ. .

Пример 2. Найдем одну из первообразных для функции . Так как для одна из первообразных есть , применяя правило 2, получаем ответ: .

Пример 3. Найдем одну из первообразных для функции . Для одной их первообразных является – , поэтому по правилу 3 искомая первообразная равна .

Фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной на отрезке [a;b]функции f(x) и прямыми y=0, x=a и x=bx=b, называется криволинейной трапецией[1 c. 298].

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле: S= [1 c. 298].(1)

Задачи на нахождение площади криволинейной трапеции мы будем условно делить на 4 типа. Рассмотрим каждый тип подробнее.

I тип: криволинейная трапеция задана явно. Тогда сразу применяем формулу (1).

Например, найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=4−(x−2)2, и прямыми y=0, x=1 и x=3x=3.

Нарисуем эту криволинейную трапецию (Рис.2).



Рис.2

Применяя формулу (1), найдём площадь этой криволинейной трапеции.

S=∫13(4−(x−2)2)dx=∫134dx−∫13(x−2)2dx=4x|13−(x−2)33|13=

=4(3−1)−13((3−2)3−(1−2)3)=4⋅2−13((1)3−(−1)3)=8−13(1+1)=

=8−23=713 (2).

II тип: криволинейная трапеция задана неявно. У этого случая обычно не задаются или задаются частично прямые x=a, x=bx=a, x=b. В этом случае нужно найти точки пересечения функций y=f(x) и y=0y=0. Эти точки и будут точками a и b.

Например, найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=1−x2и y=0y=0.

Найдём точки пересечения. Для этого приравняем правые части функций. 1−x2=0

x2=1

x=±1

Таким образом, a=−1, а b=1. Нарисуем эту криволинейную трапецию(Рис.3)



Рис.3

Найдём площадь этой криволинейной трапеции.

S=∫−11(1−x2)dx=∫−111dx−∫−11x2dx=x|−11−x33|−11=

=(1−(−1))−13(13−(−1)3)=2−13(1+1)=2−23=113

III тип: площадь фигуры, ограниченной пересечением двух непрерывных неотрицательных функций. Эта фигура не будет криволинейной трапецией, а значит с помощью формулы (1) её площадь не вычислишь. Как же быть?Оказывается, площадь этой фигуры можно найти как разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных верхней функцией и y=0 (3), и нижней функцией и y=0 (4), где в роли x=a, x=b выступают координаты по x точек пересечения данных функций, т.е.

S=(3)−(4). (5)

Самое главное при вычислении таких площадей − не "промахнуться" с выбором верхней и нижней функции.

Например, найти площадь фигуры, ограниченной функциями у=x2 и y=x+6.

Найдём точки пересечения этих графиков:

x2=x+6

x2−x−6=0

По теореме Виета,

x1=−2, x2=3.

То есть, a=−2, b=3. Изобразим фигуру(Рис.4)



Рис.4

Таким образом, верхняя функция - y=x+6, а нижняя -y=x2. Далее, найдём (3) и (4) по формуле (1).

(3) =∫−23(x+6)dx=∫−23xdx+∫−236dx=x22∣∣3−2+6x|3−2=

=32,5(2).

(4) =∫−23x2dx=x33∣∣3−2=353(4)=∫−23x2dx=x33|−23=353 (2).

Подставим найденное в (5) и получим:

S=32,5−353=1256S=32,5−353=1256 (2).

IV тип: площадь фигуры, ограниченной функцией (-ями), не удовлетворяющей(-ими) условию неотрицательности. Для того, чтобы найти площадь такой фигуры нужно симметрично относительно оси Ox (иными словами, поставить "минусы" перед функциями) отобразить область и с помощью способов, изложенных в типах I - III, найти площадь отображённой области. Эта площадь и будет искомой площадью. Предварительно, возможно, вам придётся найти точки пересечения графиков функций.

Например, найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x2−1 и y=0.

Найдём точки пересечения графиков функций:

x2−1=0.

x=±1,

т.е. a=−1, а b=1. Начертим область(Рис.5)



Рис.5

Симметрично отобразим область:

y=0 ⇒ y=−0=0

y=x2−1 ⇒ y=−(x2−1)=1−x2y=x2−1 ⇒ y=−(x2−1)=1−x2.

Получится криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции y=1−x2 и y=0. Это задача на нахождение криволинейной трапеции второго типа. Она была рассмотрена выше. Ответ был такой: S=113(2). Значит, площадь искомой криволинейной трапеции равна:

S=113(2).