Структурный метод. петербургский государственный университет путей сообщения министерства путей сообщения российской федерации

• Название: петербургский государственный университет путей сообщения министерства путей сообщения российской федерации
• Дата: 18.05.2023
• Размер: 48.44 Kb.
• Имя файла: Структурный метод.docx
• Тип: Документы; #1141781

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

МИНИСТЕРСТВА ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»



Кафедра «Автоматика и телемеханика на железных дорогах»

СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ

Методические указания

к выполнению практической работы по дисциплине: «Надежность CЖАТ»

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2007

2

1 Структурная схема расчета надежности

Структурная схема расчета надежности (ССРН) - это графическое представление условий, при которых объект находится в работоспособном или неработоспособном состоянии.

Элементы, из которых состоит ССРН, означают события, которые мо- гут произойти (с точки зрения надежности) с элементами исследуемого объ- екта.

Например, элемент электрической схемы - резистор может быть в ра- ботоспособном состоянии (событие А) или неработоспособном состоянии (событие В). В неработоспособное состояние он может перейти в результате обрыва (событие 1) или короткого замыкания (событие 2) резистора.

Элементы ССРН могут включаться последовательно или параллельно. Последовательно они соединяются, если каждое событие (например, 1 или 2) ведет к отказу объекта. Параллельно элементы ССРН соединяются в слу- чаях, когда к отказу объекта ведет совместное наступление всех событий, учитываемых при расчете надежности.

Численные значения параметров надежности объекта могут быть оп- ределены, если заменить события, учтенные при анализе и вошедшие в ССРН, на вероятности этих событий.

Элементы ССРН могут образовывать простые и сложные узлы.

Простой узел образуется из одного или k - элементов включенных па- раллельно (на Рис.1 это узлы, образованные элементами 4-5 и элементом 6).






Рис.1

Сложные узлы образуются из параллельно-последовательного соеди- нения, в котором в одной из параллельных ветвей последовательно включе- но несколько элементов (узел, образованный элементами 1 - 2 - 3 на Рис.1) Расчет надежности сложного узла выполняется, начиная с последовательно- го соединения элементов. В рассматриваемом примере необходимо найти надежность ветви с последовательным соединением элементов 2 - 3, а затем надежность параллельного соединения элементов 1 и 2 – 3.


1-2-3





Рис.2.

Заканчивается преобразование структурной схемы после получения эквивалентного значения надежности всех последовательно включенных узлов.


1-2-3


4-5


6-7-8-9-10


1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
j-оепреобразование

1узел 2узел 3узел объект

Рис.3.

В результате j преобразований необходимо получить аналитическое выражение расчета надежности системы по заданной ССРН.


 
Если в узле имеется структура типа мостика (структура из элементов 6, 7, 8, 9, 10 на Рис. 1), то для преобразования в последовательно- параллельную схему используют формулу разложения по ключевому эле- менту:

F(a,b,c,...) a F(1,b,c,...) a F(0,b,c,...)

На основании этой формулы можно сформулировать следующее об- щее правило разложения общей структуры по ключевому элементу:

1. 
   В исходной структуре выбирается элемент с наибольшим числом связей – элемент разложения х.
   
2. 
   В месте расположения элемента х делается замыкание. Получается первая структура. Последовательно перед ней включается элемент разложе- ния х.
   
3. 
   В месте расположения элемента х в исходной структуре делается обрыв. Получается вторая структура. Последовательно перед ней включает- ся элемент ^x.
   
4. 
   Исходная структура эквивалентна параллельному включению по- лученных выше структур.
   

Рассмотрим разложение по ключевому элементу структуры из эле- ментов 6, 7, 8, 9, 10 на Рис. 1. В качестве элемента разложения используем элемент мостика – 8. Тогда исходная структура преобразуется к виду:

2 Параметры надежности

Интенсивность отказа - условная плотность вероятности возникнове- ния отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возникнет - в общем слу- чае определяется по формуле

 (t)  

P^' (t)



P(t)

f(t)


P(t)

(1)

где f(t)—плотность распределения наработки до отказа,

Р(t)– вероятность безотказной работы.


  ^c


Например, для систем с общим резервированием, состоящих из n рав- нонадежных элементов с экспоненциальным законом распределения, интен- сивность отказов определяется выражением

_c(t)

P^' (t)

_net_{(1 e}t₎n1




(2)

P_c(t)

1 (1 e ^t)ⁿ

где  - интенсивность отказов одного элемента,

Р_с(t),Р'_с(t)– вероятность безотказной работы резервированной систе- мы и ее производная.

Cредняя наработка до отказа определяется по формуле



T_о _ P(t)dt

0

(3)

Для случая экспоненциального закона распределения времени безот- казной работы, вероятность безотказной работы определяется как:

P(t)  e^{ t}

Вероятность отказа Q(t)равна

Q(t)  1 P(t)  1 e^t

(4)
(5)

3. Расчет вероятности безотказной работы для невосстанавливаемых элементов, соединенных последовательно

Вероятность безотказной работы узла P(t), состоящего из nпоследо- вательно включенных элементов равна:

P_y(t) 


p₁ (t)  p₂ (t) ... p_n(t)  _ p_i(t)

i1

, (6)

где P_y(t)- вероятность безотказной работы узла,

p_i(t)- вероятность безотказной работы i-го элемента.

Для случая экспоненциального закона распределения времени безот- казной работы:

n
P_y(t)  _
e_it


t_<sub>i

 e</sub>i1

_{ e}_yt
(7)

n


где

_y _ _ii1

i1

- интенсивность отказов узла (1/ч),

i
 (t) - интенсивность отказов i-го элемента (1/ч).

Поэтому в результате первого преобразования (см. Рис.1) получим

P_2-3(t)=P₂(t) P₃(t)=e^{-(2  3 )t}

Вероятность отказа узла Q_y(t) равна

(8)

Q_y(t)= 1 -P_y(t) (9)

3. Расчет вероятности безотказной работы для невосстанавливаемых элементов, соединенных параллельно

Вероятность безотказной работы узла, состоящего из mпараллельно включенных элементов равна

P_y(t) =1 -Q_y(t), (10)

где Q_y(t)- вероятность отказа узла.

Используя теорему об умножении вероятностей, получим

Q_y(t)=q₁(t) q₂(t) … q_m(t) =[1-p₁(t)] [1-p₂(t)] … [1-p_m(t)], (11) где q_i(t) =1 - p_i(t)- вероятность отказа i-го элемента.

Для двух элементов, соединенных параллельно, получим:

P_y(t) =1-([1- p₁(t)] [1-p₂(t)])= p₁(t) +p₂(t)-p₁(t)p₂(t), (12)

Например, вероятность безотказной работы узла (см. Рис.2) найдем после второго преобразования

P_1-2-3( t )=p₁(t) +p₂₃(t) -p₁(t)p₂₃(t) (13)

3. Параметры надежности для восстанавливаемых систем

1. 
   СредняянаработканаотказТ_срхарактеризует среднее время ме- жду соседними отказами восстанавливаемого объекта.
   

Т_ср =

1


 (t)

, (14)

где

 (t)

- параметр потока отказов - отношение среднего числа отка-

зов восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к зна- чению этой наработки.

В случае экспоненциального закона распределения времени безотказ- ной работы (простейший поток отказов) справедливо равенство

 (t)  (t)    const, (15)

где (t) - интенсивность отказов (1/ч). Тогда можно записать

1
T_ср _

(16)

2. 
   СреднеевремявосстановленияобъектаТ_впри экспоненциальном законе распределения находится из соотношения
   

T_в

¹ , (17)



где  - интенсивность восстановления (1/ч).

3. 
   КоэффициентготовностиК_г- вероятность того, что объект ока- жется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени t
   

К_Г

^Тср

Т_ср  Т_в

 ^. (18)

  

4. Последовательное соединение двух восстанавливаемых элемен-

тов

Коэффициент готовности для системы:

₁,Tв₁₂,Tв₂

К_Г  К₁  К₂

(19)

2

1
Интенсивность отказов для системы:

1

2
    

(20)

Среднее время работы системы на отказ:

1
T_ср _

(21)

Среднее время восстановления системы (формула получена в предположе- нии, что ):

Т    Т  


_Tв1 1 в2 2

(22)

1

2
^В  

Предполагая экспоненциальный закон распределения, вероятность безотказной работы системы P_c(t) и вероятность отказа системы Q_c(t), мож- но найти по формулам (4) и (5) соответственно.

5. Параллельное соединение двух восстанавливаемых элементов

₁,Tв₁

Коэффициент готовности для системы:

К_Г  К₁  К₂  К₁  К₂

(23)

Среднее время работы системы на отказ:

₂,Tв₂

_{T } ₁<sub>2

</sub> 1

(24)

^ср  (   )   (T T)

^{1 2 1 2 1 2 в}1 ^в2

Интенсивность отказов для системы:

  ¹

   (T T)

(25)

^Tср

^{1 2 в}1 ^в2

Среднее время восстановления системы:


T ²

_{ 2} ^Tв1^Tв2

(26)

1

2
^В 

^Tв1

• 
  T_в2
  

(Формулы 24-26 получены в предположении, что )

Предполагая экспоненциальный закон распределения, вероятность безотказной работы системы P_c(t) и вероятность отказа системы Q_c(t), мож- но найти по формулам (4) и (5) соответственно.

3. 
   Методика выполнения задания
   

1. 
   Ознакомиться с разделами 1 и 2.
   
2. 
   Выбрать номер варианта задания. Задание представляет собой ССРН, содержащую несколько узлов.
   

3. Практическая работа

Дана параллельно-последовательная схема, состоящая из трех узлов.

Состав каждого узла задан в таблице 1 в виде логической формулы.

1. 
   Считая все элементы невосстанавливаемыми, а интенсивности ости отказов всех элементов одинаковыми: _i=  = N10^-5 час^-1; где N – номер варианта, найти вероятность безотказной работы всей системы за год.
   
2. 
   Считая все элементы восстанавливаемыми, а интенсивности отка- зов и время восстановления всех элементов одинаковыми:
   

_i= =N10^-5 час^-1; Тв_i=Тв=Nчасов, где N– номер варианта, найти ин- тенсивность отказов _Cи время восстановления Тв_Cдля всей системы.

Таблица 1

№	1 узел	2 узел	3 узел
12	(n1  n2 )  n3	n4  n5  n6	n7  (n8  n9 )