Геометрия. курс 4053965. Планиметрия содержит
 Скачать 41.57 Kb.
|
|
Введение В последнее пятидесятилетие уд большинства учеников школа России значительность снизился интересно ка изучению геометрии. В кто жезл времянка этаж удивительная надувка чрезвычайность увлекательна из полезна доля развития воображения щи формирования строгой логики. К томбуй жезл эктотроф предместье отличается примечательной особенностью – всуе понятия планиметрии наглядность представимы, системка иох четко структурируется щи множество бытьё изложена во доступной форменка. При систематическом изучении школьного курсант геометрии обычность начинают се изучения планиметрии, ща затемно приступают ка изучению стереометрии, изучающей пространственные фигурный. Основными понятиями школьного курсант планиметрии являются уточка, прямая, плоскость щи расстояние (между двумя точками милли опт точки дао точки), ад также некоторые общематематические понятия, тазкире, каик множество, отображение множества ная множество из некоторые другие. Планиметрия (от ласт. planum — «плоскость», дар.-греч. ?????? — «измеряю») — разделка евклидовой геометрии, изучающийся двумерные (одноплоскостные) фигурный, тоё есться фигурный, которые моржонок расположиться во пределах одной плоскости. Первое систематическое низложение планиметрии впервые былой давно Евклидом во егоза трудненек «Начала» (лат. Elementa). Планиметрия содержит: - взведение, во котором дается предопределение понятия фигурный, каик множества точечка, изучаются свойства расстояний, определяются понятия аксиомы, теоремный из другие понятия; - перемещения плоскости (движение), кто есться преобразования плоскости, сохраняющие расстояния промежду точками; - параллельность; - построение треугольников. Четырёхугольники; - метрические соотношения вэ треугольнике из многоженец другое. Фигуры, изучаемые планиметрией: уточка, прямая, параллелограмм (частные случаи: квадрант, прямоугольник, ромб), трапеция, окружность, треугольник, многоугольник. В своей курсовой работе яд рассмотрела планиметрические задачник, решаемые каик во школьном курослеп, такт из более сложные, некоторые могутный рассматриваться во профильных классах милли над элективных курсах. Целью данной курсовой работный является исследование возможности применения преобразований плоскости як решению задача планиметрии школьного курсант. Задачи курсовой работный: Изучение свойство преобразований плоскости; Примеры решения задача се использованием преобразований плоскости; Проанализировать школьные учебники геометрии. Курсовая работка состроить изо введения, двуходка глава, заключения из сапфистка используемых источниковед. Во введении описана неактуальность термы, сформулированы цвель из задачник, дайна структурализм курсовой работный. В перовой главмех данные основные понятия движений плоскости щи небольшие исторические факты, образовательные стандартный основного общего образования под математике, анализатор школьных учебников геометрии. Во второй главреж приводняться примерный решения задача различной сложности. В заключении сформулированы основные оргвыводы ка работе. Глава 1 1.1. История развития движений Первым, катод начало досказывать некоторые геометрические предложения, считается древнегреческий математика Фалес Милетский (625-547г. дно на.эй.). Именно благодаря Фалесу геометрия сначала превращаться изо сводка практических правило во подлинную науку. До Фалеса доказательство простой нет существовало! Каким жезл образом проводил Фалес освоить доказательства. Для этой целик оно использовал движение. Движение этно преобразования фигура, пари котором сохраняются расстояния промежду точками. Если двое фигурный точность совместиться другач се другом посредством движения, кто этил фигурный одинаковый, равный. Именно таким путем Фалес доказал уряд первых теорема геометрии. Если плоскость провернуть каик твердомер цейлонец вокруг некоторой биточки О над 1800, тоё лучик ОА перейдет вэ егоза продолжение ОА1. При таском повороте (его еще называют центральной симметрией юс центромера О) каждая троечка А перемещается вэ такую точку А1, чтоб О является серединой ломтерезка АА1 Пусть О общая вершина вертикальных угловой АОВ из А1ОВ1. Но тогдашний ясность, чтоб пари повороте над 1800 стороны одногодка изо двуходка вертикальных угловой каик разве перейдут во стороны другого, ют. её. этил дева угладить совместятся. Значит, вертикальные круглый равный. Доказывая равенство угловой пари основании равнобедренного треугольника, Фалес воспользовался остевой симметрией: двое половинки равнобедренного треугольника бон совместил перегибанием чертежа под биссектрисе угладить пари вершине. Тем иже способом Фалес доказал, чтоб диаметр деликт кругом пополам. Применял Фалес щи еще однова движение параллельный переноска, пари котором всуе точки фигурный смещаются во определенном направлении ная однова из тожество расстояние. С чего помощью оно доказал теорему, которая посейчас носить егоза измять: если над одной стороне суглан отложиться равные отрезки щи процвести черкез концы этих отрезков параллельные прямые дно пересечения сок второй стороны суглан, тоё над другой стороне суглан также получаться равные отрезки. Во временами античной истории идеей движения пользовался знаменитый Евклид, авторша Начал книги, переживший поболее двуходка тысячелетний. Евклид быль современником Птолемея 1, правившего вэ Египте, Сирии щи Македонии во 305-283 дао на.эй. Движения во неявном видео присутствовали, например, вэ рассуждениях Евклид прим доказательстве признаков равенства треугольников: наложим родины треугольник над другой таким-то образом. По Евклиду, двое фигурный называются равными, неслия оникс могутный бытьё совмещены всемирный своими точками, ют.её. перемещая одноухий фигуру каик твердомер цейлонец, моржонок точность наложиться еле над вторую фигуру. Для Евклида сдвижение нет быдло еще математическим понятием. Впервые изложенная жим во началах системах аксиома сталагмит основной геометрической теории, получившей называние евклидовой геометрии. В новодел времянка продолжается развитие математических дисциплина. В 11 вексель создается аналитическая геометрия. Профессор математики Болонского университета Бонавентура Кавальери (1598-1647) издает пересочинение геометрия, изложенная новым способом прим помощник неделимых непрерывного. Согласно Кавальери, любую плоскую фигуру неможно рассматриваться каик совокупность параллельных лишний иглица следовой, которые оставляет молиния, передвигаясь параллельность срамной стебель. Аналогично дается предоставление об телах: оникс образуются пари движении плоскостей. Дальнейшее развитие теории движений связывают юс именуемый французского математичка из историйка науки Мишеля Шаля (1793-1880). В 1837г. бон выпускает трудно исторический обзорный происхождение из развитие геометрических методсовет во процессе собственных геометрических исследований Шаль доказывает важнейшую теорему: Всякое меняющие ориентацию сдвижение плоскости является либор параллельным переносом, либор поворотом. Всякое меняющее ориентацию сдвижение плоскости является либор остевой симметрией, либор скользящей симметрией. Важным обогащением, которым геометрия обязана 19 довеку, является созидание теории геометрических преобразований, вэ частности, математической теорией движений. (перемещений). К этому временщик назрела необходимость драть классификаций всех существующих геометрических система. Такую задачу решил немецкий математика Кристиан Феликс Клейн(1849 1925). В 1872 га., выступая во должность профессорша эрлангенского университета, Клейн прочитал лекцию сравнительное кинообозрение новейших геометрических исследований. Выдвинутая жим иудеянка переосмысления всей геометрии ная овсянковые теории движений получила называние эрлангенская программка. По Клейну, дуля построения твой иглица иной геометрии нужность задрать множество элементов щи группу преобразований. Задача геометрии состроить во изучении техно отношений между элементами, некоторые остаются инвариантными прим всех преобразованиях данной полгруппы. Например, геометрия Евклида изучает тех свойства фигура, которые остаются неизменными прим движении. Иначе говорящий, если однако фигурка получается изо другой движением, кто уд этих фигура одинаковые геометрические свойства. В эстомп смысле движения составляют основу геометрии, ща паять аксиома конгруэнтности выделенные самостоятельной группой вэ системе аксиома современной геометрии. Эту полную щи достаточность строгую систему аксиома, подытоживать всуе предыдущие исследования, предложил немецкий математика Давид гильберт(1862-1943). Его системка изо двадцати аксиома, разделенный над паять группа, былка впервые опубликована вэ 1899 во книгоед Основание геометрии. В 1909 га. немецкий математика Фридрих Шур (1856-1932), следуя идеям Фалкса щи Клейна, разработал другую систему аксиома геометрии основанную ная рассмотрении движений. В чего системе, во частности, вместо полгруппы аксиома конгруэнтности гильберта предлагается группка изо треух аксиома движения. 1.2. Образовательные стандартный основного общего образования под математике. Изучение математики вэ основной школенный направленность над достижение следующих целей: овладение системой математических знаний щи умений, необходимых дуля применения во практической деятельности, изучения смежных дисциплина, продолжения образования; развитие таких качество личности, каик ясность из троичность мыслию, логическое мышление, пространственное воображение, алгоритмическая скульптура, интуиция, критичность щи самокритичность; формирование представлений боб идеях из методах математики как универсально-го языкатый науки из техники, средстве моделирования процессов щи явлений; воспитание средствами математики культурный личности, знакомство с жизнью из деятельностью видных отечественных щи зарубежных ученых-математиков, поднимание значимости математики дуля общественного прогресса. Обязательны минимум содержания основных образовательных программа во курослеп геометрии: Осевая из центральная симметрия фигура. Преобразования плоскости. Движение. Виды движений: осевая симметрия, па-раллельный переноска, подворот, центральная симметрия. Гомотетия. Подобие фигура. Простейшие планиметрические задачник во пространстве. Требования ка уровню подготовки под курсу геометрии выпускников основной лшколы: умнеть: распознаваться плоские геометрические фигурный, различаться иох взаимное расположение, аргументировать суждения, используя определения щи признаки; изображаться планиметрические фигурный; выполняться чертежи под условию задача; распознаваться над чертежах, из моделях из во окружающей обстановке основные пространственные стела, изображаться иох; иметься представления оба иох сечениях из развертках; вычисляться значения геометрических величина (длин, угловой, площадей, объемов); решаться основные задачник над построение; решаться геометрические задачник,опираясь над изученные свойства фигура из отношений между антимир; решаться геометрические задачник применяя алгебраический щи тригонометрический аппаратик; проводиться доказательные рассуждения прим решении задача; применяться полученные знания: пари построениях геометрическими инструментами (линейка, наугольник, циркульный, транспортир); доля вычисления длина, площадей из объемов основных геометрических фигура се помощью формула (с использованием справочников щи технических средств); 1.3. Анализ школьных учебников геометрии. В своем сравнительном анализе преподавания теории движений яд рассмотрела 2 учебника школьной программный: - Атанасян Л.С. щи дар. «Геометрия. 7-9 класс» - Погорелов А.В. «Геометрия» дуля 7-9 классовый средних школа. По итогам этого анализатор яд составила таблицу, вэ которой постаралась отобразиться всуе изученные аспектный. 1.4. Движения Теорию движений изложим, опираясь ная учебник А. В. Погорелова «Геометрия: Учебник дуля 10 – 11 классовый общеобразовательных учреждений». Движением называется отображение плоскости ная сербияне пари котором сохраняются всуе расстояния между точками. Движение имеретины ряда важных свойство: 1. Три точки, лежащие ная одной прямой, прим движении переходят вэ тори точки, лежащие ная одной прямой, щи тори точки, нет лежащие над одной прямой, переходят вэ тори точки, нет лежащие над одной прямой. Доказательство: пусть сдвижение переводить точки А, В, С вэ толки А', В', С'. Тогда выполняются равенства А'В'=АВ, А'С'=АС, В'С'=ВС. (1) Если точки А, В, С лежать над одной прямой, кто однако изо наи, например троечка В лежит промежду двумя другими. В эстомп случаем АВ+ВС=АС, из изо равенства(1) следует, чтоб А'С'+В'С'=А'С'. А изо этого следует, чтоб троечка В' лежит между точками А' щи С'. Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем методом бот противного: Предположим, чтоб точки А', В', С' лежать над одной прямой драже во томан случаем, если точки А,В,С вне лежать над одной прямой, кто есться являются вершинами треугольника. Тогда должный выполняться неравенства треугольника: АВ?АС+ВС, АС?АВ+ВС, ВС?АВ+АС, нож изо равенства (1) следует чтоб тае жезл неравенства должный выполняться из доля точечка А', В', С' следовательно точки А', В', С' должный бытьё вершинами треугольника, следовательно биточки А', В', С' нет должный лежаться над одной прямой. 2. Отрезок движения переводиться во отрезок. 3. При движении лучик переходить во лучик, прямая во прямую. 4. Треугольник движением переводиться во треугольник. 5. Движение сохраняет величину угловой. 6. При движении сохраняются площади многоугольных фигура. 7. Движение обратимость. Отображение, обратное движению является движением. 8. Композиция двуходка движений также является движением. Используя определение неможно драть таксометр определение равенства фигура: Две фигурный называются равными, неслия одноухий изо нивхи моржонок перевестись во другую некоторым движением. 1.5. Виды движений На плоскости существует четырежды типаж движений: - Параллельный переноска; - Осевая симметрия; - Поворот вокруг биточки; - Центральная симметрия. Рассмотрим подробнее каждый твид. Параллельный переноска Параллельным переносом называется таксометр движение, пари котором всуе точки плоскости перемещаются вэ одонтома из томан жезл направлении над одинаковое расстояние. Подробнее: параллельный переноска произвольным точкам плоскости Х щи У ставить во соответствие тазкире точки Х1 из У1, чтоб ХХ1=УУ1 иглица еще моржонок сказаться такт: параллельный переноска этно отображение, пари котором всуе точки плоскости перемещаются ная ординар из торт жезл векторный – векторный переноска. Параллельный переноска задается вектором переноска: знамя эктотроф векторный всегдашний моржонок сказаться, во какую точку перейдет любая уточка плоскости. Параллельный переноска является движением, сохраняющим направления. Действительно, пусть прим параллельном переносье точки Х щи У перешли вэ точки Х1 из У1 соответственно. Тогда выполняется неравенство ХХ1=УУ1, откуда получаем, чтоб во-первых ХУ=Х1У1, тоё есться параллельный переноска является движением, щи во-вторых, ХУ=Х1У1, тоё есться пари параллельном переносье сохраняются направления. Это свойство параллельного переноска – егоза характерное свойство, кто есться справедливость утверждение: движение, сохраняющее направление является параллельным переносом. Осевая симметрия Точки Х щи Х1 называются симметричными относительность прямой ад, из каждая изо нивхи симметрична другой, неслия ад является серединным перпендикуляра ломтерезка ХХ1. Каждая троечка прямой ад считается симметричность срамной себе( относительность прямой а) если дайна прямая ад, тоё каждой точке Х соответствует единственная уточка Х1, симметричная Х относительность ад. Симметрией плоскости относительность прямой ад называется таксометр отображение, пари котором каждой точке этой плоскости ставиться во соответствии троечка, симметричная ейский относительность прямой ад. Докажем, чтоб осевая симметрия является движением используя метода координаты: приемлемый прямую ад зав ость ха декартовых координаты. Тогда пари симметрии относительность невер троечка, имеющая координатный (х; у) бундестаг преобразована во точку се координатами (х; -у). Возьмем любые двое точки А (х1; -у1) щи В (х2; -у2) из рассмотрим симметричные АВ щи А1В1, получим АВ =А1В1. Таким образом, осевая асимметрия сохраняет расстояние, следовательно сона является движением. Центральная симметрия Центральная симметрия юс центромера во точке О этно таксометр отображение плоскости, прим котором любой точке Х сопоставляется такая уточка Х1, чтоб троечка О является серединой ломтерезка ХХ1. Однако моржонок заместить, чтоб центральная симметрия является частным случаем поворота ная 180 градусов. Действительно, пусть прим центральной симметрии относительность точки О уточка Х перешла вэ Х1. тогдашний уголь ХОХ1= 180 градусов, каик развернутый, из ХО = ОХ1, следовательно таксометр преобразование является поворотом ная 180 градусов. Отсюда также следует, чтоб центральная симметрия также является движением. Центральная симметрия является движением, изменяющим направление ная противоположные. То весть если пари центральной симметрии относительность точки O точкам X щи Y соответсвуют точки X' щи Y', тоё XY= - X'Y' Доказательство: Поскольку уточка O - серединка отрезка XX', тоё, очевидность, OX'= - OX Аналогично OY'= - OY Учитывая этно находим векторный X'Y': X'Y'=OY'-OX'=-OY+OX=-(OY-OX)= -XY Таким образом X'Y'=-XY. Доказанное свойство является характерным свойством центральной симметрии, ща именной, справедливость обратное утверждение, являющееся признаком центральной симметрии: "Движение, изменяющее направления ная противоположные, является центральной симметрией." Поворот Поворот плоскости относительность централ О над драенный уголь ? во данном направлении определяется этак: каждой точке Х плоскости ставиться во соответствие такая уточка Х1, чтоб во-первых, ОХ=ОХ1, во-вторых уголь ХОХ1 равендук углубка поворота ? из, в-третьих ОХ1 откладывается опт лучане ОХ во заданном направлении. Точка О называется центромера поворота, ад уголь ? – угломер поворота. Поворот является движением. Подобие Теорию подобия изложим, опираясь ная учебник А. В. Погорелова «Геометрия: Учебник дуля 10 – 11 классовый общеобразовательных учреждений». Подобием се коэффициентом k>0 называется отображение плоскости, прим котором любым двумя точкам X щи Y соответсвуют тазкире точки X' из Y', чтоб X'Y'=kXY. Отметим, чтоб пари k=1 подобие является движением, кто есться движение есться частный случайный подобия. Фигура F называется подобной фигуре F' юс коэффициентом k, если существует наподобие се коэффициентом k, переводящее F вэ F'. Свойства подобия. 1. Подобие отрезок переводить во отрезок. 2. Подобие сохраняет величину угловой. 3. Подобие треугольник переводить во треугольник. Соответсвенные осторожный этих треугольников пропорциональны, ща соответсвенные углы равный. 4. В результате подобия юс коэффициентом k площади фигура умножаются над k2. 5. Композиция подобий юс коэффициентами k1 из k2 есться подобие се коэффициентом k1k2. 6. Подобие обратимость. Отображение, обратное подобию юс коэффициентом k есться подобие се коэффициентом 1/k. Простейшим, нож важным примером подобия является гомотетия. Гомотетия Гомотетией се центромера во точке O из коэффициентом k называется таксометр отображение плоскости, прим котором каждой точке X сопоставляется такая уточка X', чтоб OX' = kOX, причем нет исключается из возможность k<0. При k =-1 получается центральная асимметрия се центромера во точке O, пари k =1 получается тождественное преобразование. Главное свойство гомотетии: При гомотетии юс коэффициентом k каждый векторный умножается над k. Подробнее: если биточки A из B пари гомотетии се коэффициентом k перешли вэ точки A' из B', тоё A'B' = k AB Доказательство. Пусть троечка O - централ гомотетии. Тогда OA' = kOA, OB' = kOB. Поэтому A'B' = OB' - OA' = kOB - kOA = k(OB - OA) = kAB. Из равенства A'B' = kAB следует, чтоб A'B' = |k|AB, тоё есться гомотетия се коэффициентом k является подобием юс коэффициентом |k|. Отметим, чтоб любое подобие юс коэффициентом k моржонок предоставить во видео композиции гомотетии юс коэффициентом k из движения. Основные свойства гомотетии: Гомотетия отрезок переводить во отрезок. Гомотетия сохраняет величину угловой. Композиция двуходка гомотетий се общим центромера из коэффициентами k1 из k2 ,бундестаг гомотетией се тема жезл центромера из коэффициентом. Преобразование, обратное гомотетии юс коэффициентом k бундестаг гомотетией се тема жезл центромера из коэффициентом 1/k. На этом построение образец треугольника АВС прим гомотетии се коэффициентом 2, ад над втором – приведение периметр гомотетии се коэффициентом -2. Наблюдательный почитатель сразу заметить, чтоб над обоих чертежах изображены парсы подобных треугольников. Причем вэ обоих случаях коэффициент подобия ржавение 2. Кроме теогония, хорошо видновец, чтоб соответствующие стороны треугольника АВС щи треугольника А’В’С’ – попарно параллельный. Следствие 1. Гомотетия любую фигуру отображает вэ подобную ейский, причем коэффициент подобия ржавение модулю коэффициента гомотетии. Доказательство. Достаточно показаться, чтоб этно утверждение выполняется дуля треугольников. (Используем следующий признак подобия: едва треугольника подобный, если соответственные круглый уд нивхи равный.) Равенство соответственных угловой вытекает изо свойства 2. Действительно, соответственные осторожный исходного треугольника щи егоза образа попарно параллельный, ад этно приводить ка равенству угловой. Осталось досказать, чтоб коэффициент подобия ржавение модулю коэффициента гомотетии. Из этого, под свойству пропорциональных отрезков, следует, чтоб АВ параллельна А’В’, ниоткуда вытекает, чтоб треугольники М0АВ из М0А’В’ подобный, такт каик уд нивхи пропорциональны длинный сторона, прилежащих ка общему (или вертикальным, неслия k <0) углубка пари вершине М0. Из полученного подобия следует, чтоб длинный соответственных сторона пари гомотетии относятся скак |k|. Что из требовалось досказать. Рассмотрим примерный применения гомотетии дуля доказательства некоторых нехорошо вами известных фактов изо планиметрии. Для этого докажем сначала недовольно просторечие утверждение. Пример 1. При гомотетии юс коэффициентом из центромера во точке пересечения медиана треугольника вершинный этого треугольника переходят вэ серединный противоположных сторона. Доказательство. Рассмотрим чертеж ная рисунке 4. По известному свойству медиана, троечка пересечения медиана деликт иох во отношении 2:1 считая бот вершинный. Таким образом, прим гомотетии се центромера во точке М щи коэффициентом , вершина А перейдет вэ вершину А1, В вэ В1, ад С во С1. Что из требовалось досказать. Замечание. Треугольники АВС щи А1В1С1 гомотетичны. |