Ответы на вопросы по подземной гидромеханике УГНТУ. Подземная гидромеханика

• Название: Подземная гидромеханика
• Анкор: Ответы на вопросы по подземной гидромеханике УГНТУ
• Дата: 15.02.2023
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: podzemnaya_gidromekhanika_ful.docx
• Тип: Документы; #937802
• страница: 2 из 3

Уравнение неразрывности или сплошности фильтрационного потока

Выведем это уравнение для общего случая (для однородного сжимаемого флюида в деформируемой пористой среде):

Уравнение неразрывности выражает баланс массы сжимаемой жидкости в пределах постоянного элементарного объема, выделенного внутри пористой среды:

Внутри выделенного объема нет ни стоков, ни источников.

Источник – предельное положение нагнетательной скважины, радиус которой стремится к нулю.

Сток – предельное положение добывающей скважины, радиус которой стремится к нулю.



Объем параллелепипеда равен:

Рассмотрим движение вдоль оси OX:

Через грань ABCD втекают (за бесконечно малый интервал времени dt) следующая масса флюида . Через грань A’B’C’D’ вдоль оси OX вытекает за время dt следующая масса жидкости:



Изменение массы флюида за время dt за счет потока вдоль оси OX равно:



Рассуждая следующим аналогичным образом, рассматривая движения вдоль осей OY, OZ, можно записать такие же изменения вдоль других координатных осей:





Учитывая выше сказанное, запишем общее изменение массы:



С другой стороны, масса флюида находится в поровом объеме dxdydzm.

Масса флюида, которая находится в поровом пространстве:



m, ρ – величины переменные

Поэтому общее изменение массы можно записать как:





Получено уравнение неразрывности для общего случая – для неустановившейся фильтрации сжимаемой жидкости в деформируемом пласте. , , .

Представим через дивергенцию векторного поля массовой скорости фильтрации (оператор Гамильтона):



Уравнение неразрывности в укороченном виде.

Если фильтруются несжимаемая жидкость в недеформируемой пористой среде, то уравнение можно записать только через скорость:





Для установившегося фильтрационного потока:



Для всех установившихся фильтрационных течений все уравнения будут приравниваться к нулю и носят название уравнение Лапласа.

Дифференциальные уравнения движения флюидов в пористой среде

Линейный закон фильтрации Дарси:



Последовав идее разложения фильтрационного потока на 3 составляющих вдоль координатных осей:







Введем потенциальную функцию течения или потенциал скорости:









Используя введение потенциальной функции, запишем уравнение неразрывности и выразим его через потенциальную функцию:





Уравнение неразрывности через потенциальную функцию.

Для установившейся фильтрации:



Уравнения состояния жидкостей, газов и пористой среды

Для жидкостей:

1. 
   Плотность:
   

По закону Гука:



Так как V=M/ρ, тогда:



Подставим выражение для V и dV в первое выражение:





Интегрируя, получим:



При больших значениях P:



При малых значениях P:



β_н – (7 – 30)*10^-10 Па^-1

β_в – (2,5 – 5)*10^-10 Па^-1

2. 
   Вязкость
   

Эксперименты показывают, что коэффициенты вязкости нефти (при давлениях выше давления насыщения) и газа увеличиваются с повышением давления. При изменении давления в значительных пределах (до 100 МПа) зависимость вязкости пластовых нефтей и природных газов от давления можно принять экспоненциальной:

При больших значениях P:



При малых значениях P:



.

На вязкость большое значение имеет температура жидкости.

Для газов:





Для реальных газов:

где z – коэффициент, характеризующий степень отклонения состояния реального газа от закона идеальных газов (коэффициент сверхсжимаемости) и зависящий от давления и температуры z = z(P, T), Значения коэффициента сверхсжимаемости z определяются по графикам Д. Брауна в зависимости от приведенных величин абсолютного давления и температуры.





Причем к-т сжимаемости.

При больших значениях P:



При малых значениях P:



α_z – коэффициент, зависящий от состава газа и определяемый опытным путем.

Для пористой среды:

1. 
   Пористость:
   

При больших значениях P:

По закону Гука:



Изменение объема:





Для небольших перепадов давления:

Для больших перепадов давления:

2. 
   Проницаемость:
   

При больших перепадах давлений:



При малых перепадах давлений:



где – зависит от состава и свойств породы.

Краевые задачи подземной гидромеханики

Краевые задачи подземной гидромеханики подразделяются на прямые и обратные

Исходные данные для прямой задачи ПГ:

• 
  Исходное ДУ
  
• 
  Геометрические размеры пласта
  
• 
  Коллекторские свойства пласта
  
• 
  Свойства флюидов
  
• 
  Граничные условия (для установившейся фильтрации) и начальные условия (для неустановившейся фильтрации)
  

Требуется определить:

• 
  Закон распределения давления
  
• 
  Градиент давления
  
• 
  Скорость фильтрации
  
• 
  Дебит
  
• 
  Закон движения
  
• 
  Средневзвешенное давление по пласту и др.
  

Исходные данные для обратной задачи ПГ:

• 
  Аналитические выражения распределения давления в пласте
  
• 
  Дебит или расход
  
• 
  Законы движения
  
• 
  Заданные экспериментальные зависимости этих параметров по результатам исследований
  

Требуется определить:

• 
  Фильтрационные параметры пласта:
  
• 
  1) Гидропроводность пласта
  
• 
  2) Подвижность жидкости в пласте
  
• 
  3) Проводимость пласта
  
• 
  4) Пьезопроводность пласта
  
• 
  5) Коэффициент продуктивности
  
• 
  Геометрические размеры пласта
  
• 
  Режим работы пласта и другие параметры
  

Допущения и упрощения, принятые при моделировании прямых задач:

1. 
   Упрощение по форме залежи
   
2. 
   По геологическому строению
   
3. 
   Упрощение контура питания (КП) скважин. При этом радиус КП составит R_k=2σ *1/2=σ
   
4. 
   Сток и источник в качестве отображения нагнетательной и добывающей скважин соответственно. Источник – предельное положение нагнетательной скважины, радиус которой стремится к нулю. Сток – предельное положение добывающей скважины, радиус которой стремится к нулю.
   
5. 
   Галерея скважин. Галерея скважин – сплошная прямолинейная горная выработка, скрывшая продуктивный пласт на всю его толщину.
   

Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси

На основании уравнения неразрывности и упругого состояния пористой среды запишем:





Для установившейся фильтрации:









Получаем ДУ установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси в недеформируемой пористой среде:



Если ввести понятие потенциальной функции:



То получаем уравнение Лапласа через потенциальную функцию:



Функции, удовлетворяющие уравнениям Лапласа, являющиеся непрерывными функциями, имеющие непрерывные частные производные I и II порядка, называются гармоническими.

Простейшие фильтрационные потоки

Существуют три типа одномерных фильтрационных потоков:

1. 
   Прямолинейно-параллельный поток
   
2. 
   Плоскорадиальный поток
   
3. 
   Радиально-сферический поток
   

П рямолинейно-параллельный поток имеет место в тех случаях, когда траектории всех частиц флюида являются прямыми линиями, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного сечения потока равны друг другу. При решении задач данный поток будет моделироваться галереями скважин. При изучении движения картина скоростей, давлений – это все прямые линии, причем скорости фильтрации во всех точках любого поперечного сечения равны.

Плоскорадиальный поток имеет место в случае (если скважина добывающая), когда все частицы жидкости или газа движутся в одной плоскости по горизонтальным прямолинейным тракеториям, радиально сходящимся к одной точке или к центру скважины прямые линии. Для нагнетательной скважины радиально расходящиеся от центра скважины прямые линии. Гидродинамически совершенная скважина.

Р адиально-сферический поток (встречается достаточно редко) имеет место в случае, когда скважина вскрывает только кровлю пласта или глубина вскрытия значительно меньше толщины залежи (пласта). При этом траектории движения всех частиц жидкости или газа в пласте будут прямолинейными и радиально сходящимися в центре полусферического забоя.

Все эти типы потоков относятся к одномерным, поскольку давление и скорость фильтрации являются функциями только одной координаты (линейной или радиуса).

Дифференциальные уравнения потока

1. 
   Прямолинейно-параллельный ФП. ДУ установившейся фильтрации однородной жидкости по закону Дарси:
   

ДУ через потенциальную функцию:

2. 
   Плоскорадиальный ФП (поток с осевой симметрией):
   

Выведем уравнения:







– уравнение Лапласа в полярных координатах для установившегося плоскорадиального фильтрационного потока несжимаемой жидкости по закону Дарси.

3. 
   Радиально-сферический ФП (движение с центральной симметрией)
   

Выведем уравнение:







– уравнение Лапласа в сферических координатах для установившегося радиально-сферического фильтрационного потока несжимаемой жидкости по закону Дарси.

Порядок решения прямой краевой задачи

1. 
   Выписывается соответствующее этому случаю ДУ движения нефти и газа в пласте
   
2. 
   Интегрирование этого уравнения; получаем общее решение
   
3. 
   Задаемся ГУ и НУ
   
4. 
   Подставляем ГУ и НУ в общее решение, находим частное интегрирование
   
5. 
   Подставляем их в общее решение, получаем частное решение – закон распределения давления
   
6. 
   Берем первую производную – градиент давления
   
7. 
   Из линейного закона Дарси находим скорость фильтрации υ
   
8. 
   Используя площади фильтрации, определяем дебит или расход Q
   
9. 
   Находим закон движения t, далее средневзвешенное пластовое давление и т.д.
   

Установившаяся прямолинейная фильтрация несжимаемой жидкости в однородном пласте по линейному закону Дарси (приток галереи)

P_г

Дано:	Найти:
Геометрические размеры: L, h, B ГУ: Pk, PГ Свойства пласта и пластовых флюидов: k, ρ, µ	P=P(x) gradP Q t=t(x)

Решение:

1. 
   Запишем ДУ
   

Граничные условия:

1. 
   P= P_k, x=0 => P_k=C₂
   
2. 
   P= P_Г, x=L_k => P_Г=C₁* L_k+C₂= C₁* L_k+ P_k
   

Закон распределения давления в полосообразном пласте.

Линейный закон распределения давления по однородному пласту

2. 
   Найдем градиент давления:
   

3. 
   Определим скорость фильтрации:
   

4. 
   Определим приток галереи
   

5. 
   Время движения жидкости от контура питания до галереи:
   

6. 
   Средневзвешанное давление по пласту:
   

Средневзвешанное давление по пласту

Вывод: для установившегося прямолинейно параллельного потока несжимаемой жидкости в однородном пласте P=P(x) носит линейный характер (пьезометрическая линия); Q не зависит от координаты x (Q=const); υ не зависит от координаты x (υ=const); gradP не зависит от координаты x (gradP=const); гидродинамическое поле представлено двумя семействами взаимно перпендикулярных прямых линий: изобар и линий тока


P₄

P₃

P₂

P₁

P₅