Курсовая работа (ключевые задачи по теме вписанные и описанные ч. Поленезависимые легко отделяют существенную информацию от второстепенной
 Скачать 35.94 Kb.
|
|
Введение Одной из проблем изучения курса геометрии основной школы, является, так называемая полезависимость, которая присущая подавляющему большинству учащихся. «Полезависимые» учащиеся характеризуются неспособностью отделить необходимую информацию от «фоновой», зависимостью от контекста. Они схватывают информацию в целом. Держат перед внутренним взором полную картинку. При этом они склонны пренебрегать менее заметными свойствами рассматриваемого объекта, рассматриваемой ситуации, выделяя особенности, лежащие на поверхности. «Поленезависимые» легко отделяют существенную информацию от второстепенной. «Полезависимость-поленезависимость» возрастает с изменением уровня образованности и формируется как стиль только к 17 годам. Учитывая, что, по данным психологов, полюс поленезависимости соотносится с успешностью в обучении, возникает задача развития поленезависимости на уроках математики, т.е. развития умения без затруднений отделять существенную информацию от второстепенной. Кроме того, выделение фигуры из фона является базовым действием при работе в пространстве, в том числе и геометрическом, а значит, важным для овладения геометрией, когда при решении задач приходится выделять одни элементы и не обращать внимания на другие. Это умение также требует поленезависимости. При решении задач полезависимость ученика может являться причиной ошибок. Основной причиной является неумение отделять объект и фон (полезависимость). Поэтому повышение эффективности усвоения математики предполагает развитие поленезависимости. При этом полезависимые компоненты познавательного стиля учащегося необходимо поддерживать, ни в коем случае не угнетать. Одной из тем, на которой можно развить поленезависимость является тема «Вписанные и описанные четырехугольники», которая имеет достаточное количество ключевых задач, который будут помогать учащимся видеть суть и выделять только самое главное. Целью курсовой работы является рассмотрение ключевых задач по теме «Вписанные и описанные четырехугольники» как развития поленезависимости учащихся. Задачами курсовой работы являются: Рассмотрение общих подходов к изучению математических понятий Выделение основных положений понятия «ключевая задача» Анализ содержания темы «Вписанные и описанные четырехугольники» Рассмотрение методических рекомендаций по изучению темы «Вписанные и описанные четырехугольники» с применением ключевых задач. Глава 1. Теоретические основы изучения понятий вписанный и описанный четырёхугольник на основе ключевых задач (базовых геометрических конфигураций) Общие подходы к изучению математических понятий Понятие – форма мышления, в которой выделены существенные свойства и отделены от несущественных. Иметь понятие о некотором объекте, явлении означает понимать сущность этого объекта, явления. Непосредственным выражением понимания являются полнота, разносторонность, существенность взаимосвязей рассматриваемого понятия с ранее усвоенными, с имеющейся системой знаний. Организуемый учителем процесс усвоения понятия (делания понятия своим) может быть представлен в виде следующей последовательности этапов: подготовка к введению нового понятия, мотивация введения понятия, организация восприятия и понимания, применение в стандартных и нестандартных ситуациях. Первый этап заключается в актуализации ранее пройденного материала, в рассмотрении отдельных элементов вновь вводимого материала. Необходимость второго этапа диктуется тем, что учитель в процессе обучения имеет дело не с индивидуумом и его способностями, но с личностью, у которой есть свои интересы, склонности, цели. Необходимо, чтобы ученик сам захотел сделать предлагаемый учителем материал своим, принял бы цели, которые поставлены учителем. Это можно сделать с помощью организации проблемной ситуации, в результате рассмотрения которой появляется необходимость познакомиться с новым понятием, или с помощью рассказа о важности изучаемого понятия. Например, учащимся 8-го класса предлагается решить текстовую задачу, решение которой приводит к квадратному уравнению, которое учащиеся пока решать не умеют. Потребность решить задачу диктует необходимость изучения квадратного уравнения. Этим самым организуется первичное восприятие нового понятия. Начальной ступенью понимания является предвосхищение понимания: еще не осознано то, что воспринимается, но ощущение возможности осознания есть. Вторая ступень - смутное понимание, когда отдельные элементы структуры понятия уже схвачены. На этом этапе еще невозможно дать себе отчет, что понято, что не понято. Дальнейшее понимание характеризуется углублением процесса, преодолением скованности в формулировках, возможностью передачи знания другому лицу, возможностью использования понятия в стандартных, а потом и в нестандартных ситуациях. Индивидуальное сознание проходит путь от выявления отдельных существенных характеристик к выяснению структуры понятия. Эти ступени понимания, усвоения проходит любое знание: и теоремы, и правила, а не только понятия. Организация усвоения понятий может быть реализована в рамках различных методов обучения: объяснительно-иллюстративного, когда учитель сам вводит новое понятие, и в рамках частично-поискового, когда учащиеся привлекаются к поиску нового определения. Эти методы получили названия соответственно абстрактно-дедуктивного и конкретно-индуктивного. Схема применения конкретно-индуктивного метода: - анализируется эмпирический материал (при этом, кроме индукции, привлекаются и другие логические методы: анализ, сравнение, абстрагирование, обобщение); - выясняются общие признаки понятия, которые его характеризуют; - формулируется определение; - определение закрепляется путем привлечения примеров и контрпримеров; - дальнейшее усвоение понятия и его определения происходит в процессе их применения. Схема применения абстрактно-дедуктивного метода: - формулируется определение понятия; - приводятся примеры и контрпримеры; - дальнейшее усвоение понятия и его определения происходит в процессе их применения. Абстрактно-дедуктивный метод применяется обычно в тех случаях, когда введение понятия хорошо подготовлено предшествующим обучением. Например, после введения понятия параллелограмма вводится понятие прямоугольника. При том и другом методах содержанием обучения является выделение существенных свойств понятия и отделение их от несущественных. Конкретно-индуктивный метод требует больше учебного времени при своем использовании на уроке, но обеспечивает большую активность учащихся и обратную связь, на основании которой учитель делает выводы об эффективности работы по изучению понятий. Введению определения на уроке предшествует работа учителя по выделению существенных и несущественных свойств понятия, определение которого подлежит изучению, анализу логической структуры этого определения, подбору примеров и контрпримеров для закрепления и возможностей их вариации, анализу ситуаций, в которых наиболее часто встречается вводимое понятие. Анализ заканчивается выбором метода введения определения. 1.2 Сущность понятия «ключевая задача» Ключевая задача темы - это задача, идея решения которой применяется при решении других задач темы. Метод составления системы задач, построенной по принципу - каждая задача системы использует результат решения одной какой-либо (ключевой) задачи, называется методом ключевой задачи. Существует две точки зрения на понятие ключевой задачи. Первая из них состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-факта. Зачастую такая ключевая задача оказывается дополнительной теоремой школьного курса. Вторая точка зрения состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-метода. При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме. «Ключевая» задача является средством решения других задач, поэтому ее знание учащимися обязательно. Разворачивающаяся система задач, с одной стороны, способствует усвоению факта или метода решения, изложенных в «ключевой» задаче, с другой, позволяет увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная данным методом система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала. Анализ различной методической, математической и педагогической литературы показал, что единого определения «ключевой (опорной или базисной) задачи» нет. Также как нет и точного сравнения опорной, ключевой и базисной задачи, но рассматривая различные высказывания, мы делаем вывод, что эти слова являются синонимами. Рассмотрим один из возможных алгоритмов подготовки урока решения ключевых задач, предложенный Н.И. Зильбербергом: 1. Изучение программы и определение умений, которые должны быть сформированы у всех учеников после изучения темы. 2. Систематизация методов решения задач по изучаемой теме. 3. Отбор ключевых задач по изучаемой теме. 4. Проработка ключевых задач по изучаемой теме. 5. Выбор методов решения ключевых задач, которые будут использоваться при работе с учащимися. 6. Изучение затруднений и возможных ошибок учащихся при реализации отобранных алгоритмов, их диагностика, способы предупреждения их преодоления. 7. Обоснование последовательности разбора ключевых задач с учащимися. 8. Планирование проведения урока. 1.3 Анализ содержания темы «Вписанные и описанные четырёхугольники» Проведем анализ теоретического, задачного материала по данной теме. Для исследования были рассмотрены учебники геометрии, рекомендованные Министерством Образования и Науки Российской Федерации к применению в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях. Это учебники: Атанасян Л. С. и др. «Геометрия 7-9»; Шарыгин И. Ф. «Геометрия 7 - 9»; Александров А. Д. и др. «Геометрия 7, 8, 9» [1]; Погорелов А. В. «Геометрия 7 - 9» (учебники, выпущенные Министерством Образования и Науки РФ к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2016/2017 учебный год). А также рассмотрен учебник под редакцией Смирновой И. М. «Геометрия 7 - 9». Наиболее подробно тема «Вписанные четырехугольники» изложена в учебнике Ивана Федоровича Шарыгина в параграфе 8.5 «Вписанные и описанные четырехугольники». В остальных учебниках таких параграфов нет. Понятие вписанных и описанных четырехугольников вводится в 8 классе. Параграф начинается с определений: Четырехугольник называется вписанным, если его вершины расположены на одной окружности. Четырехугольник называется описанным, если все его стороны касаются одной окружности. Далее в пункте «Вписанный четырехугольник» для рассмотрения предлагается теорема с доказательством. Теорема 8.5 (свойства и признаки вписанного четырехугольника): Для того чтобы четырехугольник ABCD был вписанным, необходимо и достаточно выполнения любого из следующих условий: а) ABCD – выпуклый четырехугольник и ABD ACD ; б) сумма двух противоположных углов четырехугольника равна 180˚. Сразу же после параграфа представлен материал, относящийся к практической части по данной теме: задачи, задания, вопросы. Представим некоторые задания, дополняющие теорию. 1082 (в). Четырехугольник ABCD вписан в окружность, P – точка пересечения диагоналей четырехугольника. Докажите, что AP PC BP PD. 1083 (в). Докажите утверждение, обратное утверждению задачи 1082. В учебнике геометрии под редакцией Л. С. Атанасяна нет отдельных разделов «Вписанные и описанные четырехугольники». О них говорится в параграфе 4 «Вписанная и описанная окружность» главы XIII. В пункте 75 «Описанная окружность» сначала делается замечание, что в отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность. И далее приводится разъяснение: Например, нельзя описать окружность около ромба, не являющегося квадратом. Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим свойством: В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚. Также верно и обратное утверждение: Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то около него можно описать окружность. Практический материал в данном учебнике содержится сразу же после изучаемого параграфа, что является очень удобным. Задачи в основном на вычисление. Как и в учебнике геометрии А. В. Атанасяна в учебнике под редакцией А. Д. Александрова нет отдельного параграфа. Параграф «Вписанные и описанные окружности» делится на несколько пунктов. В пункте «Окружность, описанная около многоугольника» говорится о том, что около многоугольника можно описать окружность, если найдется точка, равноудаленная от всех его вершин. Эта точка лежит на серединном перпендикуляре каждой стороны многоугольника. Следовательно, около многоугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры всех его сторон имеют общую точку. Около каждого треугольника можно описать окружность. Но не около каждого даже выпуклого четырехугольника можно описать окружность. Например, для параллелограмма это можно сделать лишь тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. Остальные признаки и свойства предлагают вывести или доказать самостоятельно в задачах. Практический материал относится ко всему параграфу, а не разделен по пунктам. Все задачи разбиваются на ряд разделов, которые содержат задачи, дополняющие теорию, на вычисление, на доказательство, задачи на исследование и олимпиадные задачи. В учебнике под редакцией И. М. Смирновой о вписанных и описанных четырехугольниках говорится в главе VI «Многоугольники и окружность». Однако, в параграфе 36 «Многоугольники, вписанные в окружность» свойство вписанного четырехугольника вводят в качестве примера (условие задачи с решением): Докажите, что если около четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна 180˚. Решение: Пусть ABCD – четырехугольник, около которого описана окружность. Докажем, что B D 180 . Действительно, эти углы измеряются половинами соответствующих дуг ADC и ABC, которые вместе составляют всю окружность. Следовательно, сами углы в сумме измеряются половиной дуги окружности, т.е. их сумма равна 180˚. Некоторые свойства и признаки вписанных четырехугольников требуется вывести самостоятельно решая задачи, относящиеся к данному параграфу. Например, задача 11: Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиусом 6 см. 13. Можно ли описать окружность около: а) прямоугольника; б) параллелограмма; в) ромба; г) квадрата; д) равнобедренной трапеции; е) прямоугольной трапеции? 18. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 20 см, средняя линия 5 см. найдите боковые стороны трапеции. 22. Докажите, что если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то около него можно описать окружность. 23. Докажите, что если из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, опустить перпендикуляры на его стороны или их продолжения, то основания этих перпендикуляров будут принадлежать одной прямой (прямая Симсона). В учебнике геометрия А. В. Погорелова такая тема как «Вписанные и описанные четырехугольники» не рассматривается, кроме вписанного квадрата, который рассматривается в параграфе 13 в качестве правильного многоугольника. Доказательства теорем в данных учебниках приводятся в готовом виде. Данные учебники имеют значительные различия. В учебнике под редакцией И. Ф. Шарыгина на изучение в 8 классе темы «Вписанные и описанные четырехугольники» отводится 4 часа. В учебнике Л. С. Атанасяна на изучение в 8 классе этой темы отводится всего лишь 2 часа. В учебниках А. Д. Александрова и И. М. Смирновой на изучение этой темы отводится также не более 3 часов. Практические задания темы «Вписанные и описанные четырехугольники», предлагаемые в учебниках И. М. Смирновой, Л. С. Атанасяна и И. Ф. Шарыгина, в отличие от учебников под редакцией А. В. Погорелова и А. Д. Александрова, располагаются в конце каждого пункта после изученного материала. В учебнике под редакцией Л. С. Атанасяна в конце главы имеется список заданий, предлагаемых с целью обобщения темы. Он включает задания повышенной сложности, а также интересные задания для детей, интересующихся математикой. В учебнике под редакцией А. Д. Александрова сначала изучается весь теоретический материал по теме «Вписанные и описанные четырехугольники», и только в конце главы представлен список практических заданий по изученной теме. Что касается оформления, то учебник под редакцией Л. С. Атанасяна отличается достаточной красочностью и количеством наглядностей. Однако, сравнивая с учебником И. Ф. Шарыгина, чертежи в учебнике Л. С. Атанасяна меньшего масштаба, что порой доставляет неудобства. Проанализировав способы подачи материала в учебниках, можно сделать вывод, что учебники под редакцией И. М. Смирновой и А. Д. Александрова изучают рассматриваемые темы более глубоко, однако многие из них написаны непонятным для школьников языком, что вызывает затруднения при их изучении. Более легкая трактовка определений и доказательств теорем представлена в учебнике под редакцией И. Ф. Шарыгина. Материал усваивается легче, в сравнении с другими учебниками, в которых объем часов, отведенных на изучение данных тем, меньше, чем в учебнике И. Ф. Шарыгина. Глава 2. Методика изучения понятий вписанный и описанный четырёхугольник на основе выделения ключевых задач Ключевые задачи по теме вписанные и описанные четырёхугольники |