Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда
 Скачать 156.17 Kb.
|
|
§4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму беско- нечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последо- вательность a 1 , a 2 , . . . , a n , . . . и образуем формальное выражение a 1 + a 2 + . . . + a n + . . . = ∞ ∑ k=1 a k Назовем это выражение числовым рядом, а числа a k —членами ряда. Сумма S n = n ∑ k=1 a k называется частичной суммой (n-ой частичной суммой) ряда. Определение: числовой ряд ∞ ∑ k=1 a k называется сходящимся, если сходится последовательность {S n } его ча- стичных сумм. При этом число S = lim n →∞ S n = ∞ ∑ k=1 a k называется суммой ряда. Если же последовательность частичных сумм ряда расходится, то такой ряд называется расходящимся. Примеры: 1) ряд 1 + q + q 2 + q 3 + . . . + q n + . . . , где |q| < 1, сходится: S n = 1 − q n 1 − q → 1 1 − q = S при n → ∞; 2) ряд 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . . расходится, поскольку S n = n, lim n →∞ S n = + ∞; 108 3) т.н. гармонический ряд ∞ ∑ k=1 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . расходится: 1 + 1 2 + ( 1 3 + 1 4 ) + ( 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ) + ( 1 9 + . . . + 1 16 ) + . . . . Сумма дробей в каждой такой скобке больше 1/2, откуда вытекает, что {S n } —бесконечно-большая последовательность, т.е. lim n →∞ S n = + ∞ и, значит, ряд расходится. Теорема 5 (критерий Коши сходимости числового ряда). Для того, чтобы ряд ∞ ∑ k=1 a k сходился, необходимо и достаточно, чтобы ∀ε > 0 ∃N, ∀n > N, ∀p ∈ N: n+p ∑ k=n+1 a k < ε. Доказательство: Сходимость числового ряда —это сходимость последовательности {S n } его частичных сумм, а для сходимости последовательности {S n }, как было доказано в теореме 4, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, т.е. ∀ε > 0 ∃N, ∀n > N, ∀p ∈ N: |S n+p − S n | < ε, или n+p ∑ k=n+1 a k < ε, что и доказывает теорему. Следствие 1 (необходимое условие сходимости ряда): если ряд ∞ ∑ k=1 a k сходится, то a n → 0 при n → ∞. 109 Доказательство: Поскольку ряд ∞ ∑ k=1 a k сходится, то выполнено условие n+p ∑ k=n+1 a k < ε. Возьмем p = 1: |a n+1 | < ε ∀n > N. Это и означает, что a n → 0 при n → ∞. Отметим, что данное условие является необходимым, но не достаточ- ным условием сходимости (пример —гармонический ряд, который расхо- дится, хотя a n = 1/n → 0 при n → ∞). Следствие 2: если ряд ∞ ∑ k=1 a k сходится, то r n = ∞ ∑ k=n+1 a k → 0 при n → ∞. Здесь r n —это так называемый остаток ряда. Доказательство: Если ∞ ∑ k=1 a k = S, то S = S n + r n , а поскольку S n → S при n → ∞, то r n → 0 при n → ∞. Теорема 6. Если ряды ∞ ∑ k=1 a k и ∞ ∑ k=1 b k сходятся и их суммы равны соответственно S A и S B , то для любых чисел α и β ряд ∞ ∑ k=1 (αa k + βb k ) сходится и его сумма S выражается формулой S = αS A + βS B 110 Доказательство: Для любого n имеем: n ∑ k=1 (αa k + βb k ) = α n ∑ k=1 a k + β n ∑ k=1 b k Первое слагаемое стремится к αS A , а второе —к βS B при n → ∞. Таким образом, предельный переход при n → ∞ дает S = αS A + βS B , что и требовалось доказать. §5. Ряды с положительными членами. Если все a k ≥ 0, то ряд ∞ ∑ k=1 a k называется рядом с положительными членами. Члены такого ряда ча- сто обозначают p k : ∞ ∑ k=1 p k (p k ≥ 0). Последовательность {S n } частичных сумм в таком случае будет, очевид- но, неубывающей и поэтому для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы последовательность его ча- стичных сумм была ограниченной. Признак сравнения. Теорема 7. Пусть даны два ряда с положительными членами ∞ ∑ k=1 p k и ∞ ∑ k=1 q k (обозначим их как ряд P и ряд Q соответственно), и пусть ∀k: p k ≤ q k Тогда: 1) из сходимости ряда Q следует сходимость ряда P ; 2) из расходимости ряда P следует расходимость ряда Q. Доказательство: Утверждение теоремы следует из неравенства S P n = n ∑ k=1 p k ≤ n ∑ k=1 q k = S Q n 111 Пример: рассмотрим т.н. обобщенный гармонический ряд ∞ ∑ k=1 1 k α (α < 1). Из сравнения с гармоническим рядом следует, что обобщенный гармо- нический ряд при α < 1 расходится. Замечания: 1) теорема 7 остается в силе, если неравенство p k ≤ q k выполнено, начиная не с k = 1, а с некоторого k = k 0 2) теорема 7 остается в силе, если вместо неравенства p k ≤ q k выпол- нено неравенство p k ≤ c · q k , где c > 0 —некоторое число. Задания на дом: 1) Доказать, что если существует lim k →∞ p k q k = a > 0, то ряды P и Q сходятся или расходятся одновременно. 2) Пусть lim k →∞ p k q k = 0. Сформулировать и доказать утверждение о связи между сходимостью или расходимостью рядов P и Q. Признаки Даламбера и Коши. Теорема 8 (признак Даламбера). Если ∀k : p k+1 p k ≤ q < 1 ( p k+1 p k ≥ 1 ) , то ряд ∞ ∑ k=1 p k сходится (расходится). Доказательство: Воспользуемся признаком сравнения (теорема 7). Из цепочки нера- венств p k+1 ≤ q · p k ≤ q · q · p k −1 ≤ . . . ≤ q k p 1 и сходимости ряда ∞ ∑ k=1 q k p 1 112 заключаем, что ряд ∞ ∑ k=1 p k сходится. Если p k+1 p k ≥ 1, то p k+1 ≥ p k ≥ . . . ≥ p 1 > 0 и тем самым не выполнено необходимое условие сходимости ряда. Теорема 8 доказана. Следствие (признак Даламбера в предельной форме): если существу- ет lim k →∞ p k+1 p k = q < 1 (> 1), то ряд ∞ ∑ k=1 p k сходится (расходится). Доказательство провести самостоятельно. Замечание 1: условие p k+1 p k ≤ q < 1 в теореме 8 нельзя заменить условием p k+1 p k < 1, которое выполняется, например, для рассмотренного выше расходяще- гося гармонического ряда. Замечание 2: признак Даламбера в предельной форме не позволяет судить о сходимости и расходимости рядов в случае, когда lim k →∞ p k+1 p k = 1. В качестве примера приведем ряды ∞ ∑ k=1 1 k и ∞ ∑ k=1 1 k 2 , первый из которых расходится, а второй —сходится (это будет доказано позднее). 113 Теорема 9 (признак Коши). Если ∀k : k √ p k ≤ q < 1 ( k √ p k ≥ 1), то ряд ∞ ∑ k=1 p k сходится (расходится). Доказательство: Воспользуемся теоремой 7. Из неравенства p k ≤ q k и сходимости ряда ∞ ∑ k=1 q k вытекает, что ряд ∞ ∑ k=1 p k также сходится. Если k √ p k ≥ 1, то p k ≥ 1 и тем самым не выполнено необходимое условие сходимости ряда. Теорема 9 доказана. Следствие (признак Коши в предельной форме): если существует lim k →∞ k √ p k = q < 1 (> 1), то ряд ∞ ∑ k=1 p k сходится (расходится). Доказательство провести самостоятельно. Замечание 1: условие k √ p k ≤ q < 1 в теореме 9 нельзя заменить условием k √ p k < 1. Пример: гармонический ряд ∞ ∑ k=1 1 k Замечание 2: если lim k →∞ k √ p k = 1, 114 то ряд может сходиться, а может и расходиться. Примеры: ∞ ∑ k=1 1 k и ∞ ∑ k=1 1 k 2 Признак Коши имеет более широкую область применимости. Нетруд- но доказать, что если p k+1 p k ≤ q < 1 (т.е. "работает"признак Даламбера), то, начиная с некоторого номера k √ p k ≤ q 1 < 1 (т.е. "работает"и признак Коши). Обратное не верно. Пример: ∞ ∑ k=1 ( −1) k + 2 2 k 115 Лекция 15 Числовые последовательности и ряды (продолжение). Интегральный признак Коши-Маклорена. Теорема 10. Пусть ряд ∞ ∑ k=1 p k является рядом с положительными членами и пусть существует функция f (x), определенная при x ≥ 1 и удовлетворяющая условиям: 1) f (x) ≥ 0 при x ≥ 1; 2) f (x) не возрастает при x ≥ 1; 3) ∀k: f(k) = p k Тогда ряд ∞ ∑ k=1 p k сходится тогда и только тогда, когда существует lim n →∞ a n , где a n = ∫ n 1 f (x)dx. Доказательство: Очевидно, что p k ≤ ∫ k k −1 f (x)dx ≤ p k −1 Просуммируем это неравенство по k от 2 до n: p 2 + p 3 + . . . + p n ≤ ∫ 2 1 f (x)dx + ∫ 3 2 f (x)dx + . . . + + ∫ n n −1 f (x)dx ≤ p 1 + p 2 + . . . + p n −1 , или S n − p 1 ≤ a n ≤ S n −1 , где a n = ∫ n 1 f (x)dx и S n = n ∑ k=1 p k 116 Так как f (x) ≥ 0, то {a n } —неубывающая последовательность. Для ее сходимости, т.е. для существования предела lim n →∞ a n , необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена. Для сходимости ряда ∞ ∑ k=1 p k необходимо и достаточно, чтобы последовательность {S n } его частичных сумм была ограничена. Из полученного выше неравенства S n − p 1 ≤ a n ≤ S n −1 следует, что {S n } ограничена тогда и только тогда, когда ограничена {a n }. Следовательно, {S n } сходится (а значит, сходится и наш ряд) тогда и только тогда, когда существует lim n →∞ a n Теорема 10 полностью доказана. Пример: рассмотрим при α > 1 ряд ∞ ∑ k=1 1 k α Введем функцию f (x) = 1 x α Она будет положительной и убывающей при x ≥ 1, причем f(k) = 1/k α Поскольку a n = ∫ n 1 dx x α = x −α+1 1 − α n 1 = n −α+1 1 − α − 1 1 − α → 1 α − 1 при n → ∞, то, согласно теореме 10, ряд ∞ ∑ k=1 1 k α сходится (α > 1). Еще один полезный признак сходимости для рядов с положительны- ми членами —признак Гаусса —работает на сравнении рядов с обобщен- ным гармоническим рядом. Сформулируем его. 117 Пусть члены ряда ∞ ∑ k=1 p k удовлетворяют при k → ∞ асимптотическому соотношению p k p k+1 = α + β k + o ( 1 k ) Тогда: 1) если α > 1 (α < 1), то ряд сходится (расходится); 2) если α = 1 и β > 1 (β < 1), то ряд сходится (расходится); 3) если α = 1 и β = 1, то ряд может как сходиться, так и расходиться. §6. Знакопеременные ряды. Рассмотрим ряд A: ∞ ∑ k=1 a k Будем считать, что в нем имеется бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов. В таком случае ряд A назовем знакопеременным. Определение: ряд ∞ ∑ k=1 a k (ряд A) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ∞ ∑ k=1 |a k | (ряд |A|). Отметим, что при этом ряд A также сходится (это легко доказывается с помощью критерия Коши). Пример: ряд ∞ ∑ k=1 ( −1) k −1 k 2 является абсолютно сходящимся, т.к. сходится ряд ∞ ∑ k=1 ( −1) k −1 k 2 = ∞ ∑ k=1 1 k 2 118 Определение: ряд A называется условно сходящимся, если он схо- дится, а ряд |A| расходится. Пример: ряд ∞ ∑ k=1 ( −1) k −1 k = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . . является условно сходящимся. Докажем это. Имеем: S 2n = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + . . . + ( 1 2n − 1 − 1 2n ) > 0, S 2n = 1 − ( 1 2 − 1 3 ) − ( 1 4 − 1 5 ) − . . . − ( 1 2n − 2 − 1 2n − 1 ) − 1 2n < 1. Итак, последовательность {S 2n } —ограниченная, поскольку для любого n выполнено неравенство 0 < S 2n < 1. Кроме того, {S 2n } —возрастающая последовательность. Следовательно, существует lim n →∞ S 2n = S, а поскольку S 2n+1 = S 2n + 1 2n + 1 → S при n → ∞, то и lim n →∞ S n = S, т.е. ряд сходится. Ряд из модулей членов ∞ ∑ k=1 ( −1) k −1 k = ∞ ∑ k=1 1 k расходится (это гармонический ряд). Следовательно, ряд ∞ ∑ k=1 ( −1) k −1 k = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . . сходится условно, что и требовалось доказать. Пусть ряд ∞ ∑ k=1 a k (ряд A) 119 является знакопеременным. Обозначим через p 1 , p 2 , . . . , p n , . . . положи- тельные члены, выписанные в том порядке, в котором они стоят в ряде A, а через −q 1 , −q 2 , . . . , −q n , . . . —отрицательные члены ряда A. Образу- ем два ряда с положительными членами: ∞ ∑ k=1 p k (ряд P ) и ∞ ∑ k=1 q k (ряд Q). Теорема 11. 1) Если ряд A сходится абсолютно, то ряды P и Q схо- дятся, причем S A = S P − S Q . 2) Если ряд A сходится условно, то ряды P и Q расходятся. Доказательство: 1) Пусть ряд A сходится абсолютно, т.е. сходится ряд ∞ ∑ k=1 |a k |. Тогда для любого n справедливо неравенство: S |A| n = n ∑ k=1 |a k | ≤ ∞ ∑ k=1 |a k | = S |A| Рассмотрим S A n = n ∑ k=1 a k Обозначим через S P n 1 сумму членов ряда P , входящую в S A n , а через S Q n 2 — сумму членов ряда Q, входящую в S A n со знаком "минус": S P n 1 = n 1 ∑ k=1 p k , S Q n 2 = n 2 ∑ k=1 q k , n 1 + n 2 = n. Очевидно,что S A n = S P n 1 − S Q n 2 , S |A| n = S P n 1 + S Q n 2 Из последнего неравенства и из неравенства S |A| n ≤ S |A| получаем S P n 1 ≤ S |A| , S Q n 2 ≤ S |A| , откуда вытекает сходимость рядов P и Q: S P n 1 → S P и S Q n 2 → S Q при n 1 , n 2 → ∞. Переходя к пределу при n → ∞ в равенстве S A n = S P n 1 − S Q n 2 , получим S A = S P − S Q . Первая часть теоремы доказана. 120 2) Пусть ряд A сходится условно. Тогда ряд ∞ ∑ k=1 |a k | расходится. Докажем, что ряды P и Q также расходятся. В самом деле, если бы они сходились, т.е. существовали бы пределы lim n 1 →∞ S P n 1 и lim n 2 →∞ S Q n 2 , то в силу равенства S |A| n = S P n 1 + S Q n 2 существовал бы и предел lim n →∞ S |A| n , т.е. сходился бы ряд ∞ ∑ k=1 |a k |, что противоречит условию. Следовательно, по крайней мере один из ря- дов P и Q расходится. Если бы один из них сходился, а другой расхо- дился, то в силу равенства S A n = S P n 1 − S Q n 2 расходился бы ряд A, а он по условию сходится. Итак, ряды P и Q расходятся. Теорема 11 полностью доказана. Замечание: если ряд A сходится условно, то его положительная часть (ряд P ) и отрицательная часть (ряд Q со знаком "минус") являются бесконечно большими. Другими словами, получается как бы "неопреде- ленность типа ∞ − ∞". Любой условно сходящийся ряд обладает тем свойством, что для любого наперед заданного числа S можно переста- вить члены ряда так, что новый ряд (полученный после перестановки членов) будет иметь сумму, равную S. Об этом —подробнее ниже. Признак Дирихле-Абеля. Этот признак относится к рядам вида ∞ ∑ k=1 a k b k Положим S n = n ∑ k=1 a k 121 Теорема 12 (признак Дирихле-Абеля). Пусть выполнены следу- ющие условия: 1) последовательность {b n } —невозрастающая и бесконечно малая, т.е. b n → 0 при n → ∞; 2) последовательность {S n } ограничена, т.е. существует число M > 0 такое, что для любого n выполнено неравенство |S n | ≤ M. Тогда ряд ∞ ∑ k=1 a k b k сходится. Доказательство: Для доказательства сходимости данного ряда воспользуемся крите- рием Коши. Рассмотрим "отрезок"ряда от k = n + 1 до k = n + p (именно этот "отрезок"фигурирует в критерии Коши): n+p ∑ k=n+1 a k b k = n+p ∑ k=n+1 b k ( S k − S k −1 ) = n+p ∑ k=n+1 b k S k − n+p ∑ k=n+1 b k S k −1 = = n+p+1 ∑ k=n+2 b k −1 S k −1 − n+p ∑ k=n+1 b k S k −1 = b n+p S n+p + n+p ∑ k=n+1 b k −1 S k −1 − b n S n − − n+p ∑ k=n+1 b k S k −1 = b n+p S n+p − b n S n + n+p ∑ k=n+1 S k −1 ( b k −1 − b k ) Отметим, что в силу условия 1) b k ≥ 0, b k −1 − b k ≥ 0. Зададим теперь произвольное ε > 0. Поскольку b n → 0 при n → ∞, то ∃N, ∀n > N : 0 ≤ b n < ε 2M , где M —число из условия 2) теоремы. Тем самым ∀n > N и ∀p ∈ N, используя равенство n+p ∑ k=n+1 a k b k = b n+p S n+p − b n S n + n+p ∑ k=n+1 S k −1 ( b k −1 − b k ) , получаем n+p ∑ k=n+1 a k b k ≤ b n+p M +b n M +M ( b n −b n+1 +b n+1 −b n+2 +. . .+b n+p −1 −b n+p ) = 122 = 2b n · M < 2M · ε 2M = ε. По критерию Коши ряд ∞ ∑ k=1 a k b k сходится. Теорема 12 доказана. Пример: исследуем на сходимость ряд ∞ ∑ k=1 sin kx k α , где x —любое фиксированное число и α > 0 (если α ≤ 0, то общий член ряда не стремится к нулю и ряд заведомо расходится). Положим a k = sin kx, b k = 1/k α и применим признак Дирихле-Абеля. Последовательность {b k } удовлетворяет условию 1) теоремы 12. Прове- рим выполнение условия 2): S n = n ∑ k=1 a k = n ∑ k=1 sin kx = sin x + sin 2x + . . . + sin nx = = 1 2 sin x 2 ( cos x 2 − cos 3x 2 + cos 3x 2 − cos 5x 2 + cos 5x 2 − cos 7x 2 + . . . + + cos(n − 1 2 )x − cos(n + 1 2 )x ) = cos x 2 − cos(n + 1 2 )x 2 sin x 2 ⇒ ⇒ |S n | ≤ 1 sin x 2 = M (если x ̸= 2πm, m ∈ Z). По признаку Дирихле-Абеля ряд сходится при x ̸= 2πm, m ∈ Z. Но если x = 2πm, m ∈ Z, то все члены ряда равны нулю и ряд также сходится. Таким образом, можно заключить, что ряд ∞ ∑ k=1 sin kx k α (α > 0) сходится при любом x. Если α > 1, то ряд сходится абсолютно, т.к. sin kx k α ≤ 1 k α , 123 а ряд ∞ ∑ k=1 1 k α сходится при α > 1. Если же 0 < α ≤ 1, то ряд сходится условно, поскольку ряд ∞ ∑ k=1 sin kx k α расходится при 0 < α ≤ 1. В самом деле, | sin kx| k α ≥ sin 2 kx k α = 1 − cos 2kx 2k α Но при 0 < α ≤ 1 ряд ∞ ∑ k=1 1 − cos 2kx 2k α расходится, т.к. его частичная сумма S n = 1 2 n ∑ k=1 1 k α − 1 2 n ∑ k=1 cos 2kx k α → ∞ при n → ∞. Здесь мы воспользовались тем, что при 0 < α ≤ 1 n ∑ k=1 1 k α → ∞ при n → ∞, а последовательность n ∑ k=1 cos 2kx k α сходится к некоторому числу при n → ∞ (доказательство этого факта аналогично доказательству сходимости ряда ∞ ∑ k=1 sin kx k α (α > 0), которое мы провели выше.) Следствие из теоремы 12: рассмотрим ряд p 1 − p 2 + p 3 − p 4 + . . . = ∞ ∑ k=1 ( −1) k −1 p k , где p k > 0. Он называется знакочередующимся. Пусть {p k } ↓ 0 (это озна- чает, что p k+1 ≤ p k и p k → 0 при k → ∞). Тогда данный ряд называется рядом Лейбница . 124 Утверждение: ряд Лейбница сходится. Доказательство: Положим a k = ( −1) k −1 , b k = p k . Тогда {b n } ↓ 0 и последовательность {S n } = { n ∑ k=1 a k } = 1, 0, 1, 0, . . . , 1, 0, . . . является ограниченной. По теореме 12 ряд сходится, что и требовалось доказать. Пример: рассмотрим ряд ∞ ∑ k=1 ( −1) k −1 k Он является рядом Лейбница, и, следовательно, сходится (ранее мы до- казали это, не опираясь на теорему 12). Позднее мы покажем, что его сумма равна ln 2. Задание на дом: пусть ряд ∞ ∑ k=1 ( −1) k −1 p k = S является рядом Лейбница. Доказать следующие неравенства: 1) S ≤ p 1 ; 2) |S − n ∑ k=1 ( −1) k −1 p k | ≤ p n+1 ; 3) ∀n ∈ N : S 2 ≤ S 4 ≤ . . . ≤ S 2n ≤ S ≤ S 2n −1 ≤ . . . ≤ S 3 ≤ S 1 О сочетательном и перестановочном свойствах рядов. Конечные суммы обладают сочетательным и перестановочным свой- ствами. Обладают ли этими свойствами сходящиеся ряды? 125 Рассмотрим сначала сочетательное свойство. Пусть дан некоторый ряд A: ∞ ∑ k=1 a k = a 1 + a 2 + . . . + a n 1 + a n 1 +1 + . . . + a n 2 + . . . + a n k + . . . Введем обозначения (a 1 + a 2 + . . . + a n 1 ) = b 1 , (a n 1 +1 + . . . + a n 2 ) = b 2 , . . . , (. . . + . . . + a n k ) = b k и рассмотрим ряд B: ∞ ∑ k=1 b k Теорема 13. Если ряд A сходится, то ряд B также сходится и их суммы равны. Доказательство: Частичная сумма ряда B является также частичной суммой ряда A: S B k = b 1 + b 2 + . . . + b k = n k ∑ i=1 a i = S A n k Поэтому последовательность {S B k } является подпоследовательностью по- следовательности {S A n } и, следовательно, {S B k } сходится к тому же числу, что и {S A n }, т.е. сумма ряда B равна сумме ряда A. Теорема доказана. 126 Лекция 16 Числовые последовательности и ряды (продолжение). Перестановочное свойство. Рассмотрим ряд A ∞ ∑ k=1 a k После перестановки его членов получается новый ряд A ′ : ∞ ∑ k=1 a ′ k Ясно, что a ′ k = a n k и также a k = a ′ m k , где n k и m k —какие-то номера. Теорема 14. Если ряд A сходится абсолютно, то ряд A ′ также схо- дится абсолютно и их суммы равны: S A = S A ′ Доказательство: а) сначала разберем случай, когда члены A неотрицательны: a k ≥ 0. Тогда S A n = n ∑ k=1 a k ≤ ∞ ∑ k=1 a k = S A Рассмотрим частичную сумму ряда A ′ : S A ′ k = a ′ 1 + a ′ 2 + . . . + a ′ k = a n 1 + a n 2 + . . . + a n k ≤ S A Итак, последовательность частичных сумм ряда A ′ ограничена, поэтому этот ряд сходится. При этом S A ′ = lim k →∞ S A ′ k ≤ S A Поскольку ряд A можно рассматривать как ряд, полученный переста- новкой членов ряда A ′ , то S A ≤ S A ′ . Отсюда S A = S A ′ б) теперь обратимся к общему случаю, когда члены ряда A являются числами произвольного знака. По условию ряд ∞ ∑ k=1 |a k | 127 сходится. По доказанному в пункте а) ряд ∞ ∑ k=1 |a ′ k |, полученный из ряда ∞ ∑ k=1 |a k | перестановкой членов, также сходится. Это означает, что ряд A ′ , полу- ченный из ряда A перестановкой членов, сходится абсолютно. По теореме 11 лекции 15 имеем: S A = S P −S Q , S A ′ = S P ′ −S Q ′ (смысл обозначений такой же, как и в теореме 11). Так как ряд P ′ получается перестановкой членов ряда P , а ряд Q ′ —перестановкой членов ряда Q, то, по доказанному в пункте а), S P ′ = S P и S Q ′ = S Q . Поэтому S A ′ = S A Теорема 14 полностью доказана. Если ряд A сходится условно, то перестановочное свойство не имеет места. Более того, справедливо следующее утверждение. Теорема 15 (Римана). Если ряд A сходится условно, то для любого числа S можно так переставить члены ряда A, что сумма полученного ряда A ′ будет равна S. Доказательство: Ряду A соответствуют два ряда (см. теорему 11 лекции 15) —ряд P ∞ ∑ k=1 p k и ряд Q ∞ ∑ k=1 q k , причем, как было показано, эти ряды являются расходящимися. Пусть (для определенности) S > 0. Покажем, как можно переставить члены ряда A так, чтобы сумма полученного ряда A ′ равнялась S. Сначала будем брать члены ряда P (в порядке их следования) до тех пор, пока не получится сумма, большая S: p 1 + p 2 + . . . + p n 1 −1 + p n 1 > S, p 1 + p 2 + . . . + p n 1 −1 ≤ S. Затем будем добавлять члены ряда Q (со знаком "минус") до тех пор, пока не получится сумма, меньшая S: p 1 + . . . + p n 1 −q 1 −. . .−q n 2 −1 −q n 2 < S, p 1 + . . . + p n 1 −q 1 −. . .−q n 2 −1 ≥ S. 128 Потом снова будем добавлять члены ряда P , и так далее. В результа- те получится ряд A ′ , частичные суммы S ′ n которого "колеблются"около числа S, причем "амплитуда"этих "колебаний"стремится к нулю при n → ∞, поскольку p n → 0 и q n → 0 при n → ∞. Следовательно, ряд A ′ сходится к числу S. Теорема Римана доказана. §7. Второе определение предела функции. Пусть функция f (x) определена на X и a —предельная точка мно- жества X, т.е. в любой ε-окрестности точки a содержатся точки из X, отличные от a. Отметим, что понятия предельной точки числового множества и предельной точки числовой последовательности —различные понятия. Поясняющий пример: рассмотрим множество X = {1; 2} и последова- тельность {x n } = 1, 2, 1, 2, . . . , 1, 2, . . .. У множества X, состоящего из двух чисел, нет предельных точек, тогда как у последовательности {x n }, очевидно, их две: a 1 = 1 и a 2 = 2. Определение 1 (по Коши): число b называется пределом функции f (x) при x → a, если ∀ε > 0 ∃δ > 0, такое, что ∀x ∈ {0 < |x − a| < δ}: |f(x) − b| < ε. Определение 2 (по Гейне): число b называется пределом функции f (x) при x → a, если для любой последовательности значений аргумента {x n }, сходящейся к a и такой, что x n ̸= a, соответствующая последова- тельность значений функции {f(x n ) } сходится к b. Задание: сформулировать отрицание определения предела функции по Гейне, т.е. сформулировать определение того, что lim x →a f (x) ̸= b. Теорема 16. Определения 1 и 2 эквивалентны. Доказательство: 1) пусть lim x →a f (x) = b по Коши. Требуется доказать, что lim x →a f (x) = b по Гейне, то есть ∀{x n } → a(x n ̸= a) : {f(x n ) } → b ⇔ ∀ε > 0 ∃N, ∀n > N : |f(x n ) − b| < ε. 129 |