Лекция. Тема 4. Предел последовательности и функция действительн. Понятие последовательности, предел последовательности, функция действительного переменного
 Скачать 3.53 Mb.
|
Определение Пронумерованное множество действительных чисел x 1 , x 2 ,… Определение Выражение x n в виде функции номера n. Пример 1 Последовательность {x n =n}. Определяет последовательность натуральных чисел {1,2,3,…}. Определение Число a называется пределом последовательности {x n }, если для любого положительного числа e существует такой номер n( e ) , начиная с которого n>n( e ) все члены последовательности x n уклоняются от величины a не более чем на e Сокращенно: ( ) ( ) ε a x : ε n n ε n ε n < - > " $ > " 0 Обозначение предела последовательности Для обозначения предела используют две равносильные записи a x n n = ¥ ® lim ¥ ® ® n a, x n Пример 2 Найти При вычислении пределов обычно общий член последовательности приводят к такому виду, когда наличие или величина предела становятся очевидными. После деления числителя и знаменателя дроби на n, что не меняет значения общего члена последовательности, становится очевидным: числитель сходится к 5, знаменатель к -9. n n n 9 7 1 5 lim - + ¥ ® n n n n n n 7 9 1 5 9 7 1 5 lim lim + - + = - + ¥ ® ¥ ® ( ) 9 5 9 7 1 5 lim - = - + ¥ ® n n n Определение Пусть D – произвольное подмножество действительных чисел. Если каждому x Î D поставлено в соответствие некоторое конкретное действительное число y=f(x), то говорят, что на множестве D определена числовая функция f. Множество D называется её областью определения. Определение Геометрическое место точек плоскости (x, y), связанных соотношением y=f(x). Определение Число a называется пределом функции y=f(x) в точке x 0 , если для любого положительного числа e существует положительно число d ( e ) , такое, что для любого x Î D из условия 0<|x- X 0 |< d ( e ) вытекает неравенство |f(x)-a|< e Сокращенно: ( ) ( ) ( ) ε a x f : ε δ x x D, x,x ε δ ε < - < - < Î " > $ > " 0 0 0 0 Обозначение предела функции Для обозначения предела функции применяют следующие две равносильные формы записи ( ) a x f x x = ® lim 0 ( ) 0 x a,x x f ® ® Геометрический смысл предела функции x f(x) x 0 -d a-e x 0 a x 0 +d a+e y=f(x) Рис.1. Геометрический смысл предела функции Вычисление пределов При вычислении пределов обычно функцию приводят к такому виду, когда наличие или величина предела становятся очевидными. Пример 3 Найти При x ®¥ целесообразно сократить числитель и знаменатель на x в наименьшей степени: 2 2 0 3 4 2 lim x x x x x + - ® ( ) ( ) 4 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 lim lim lim 0 0 2 2 0 = + - = + - = + - ® ® ® x x x x x x x x x x x x x Определение Число a называется пределом функции y=f(x) при x стремящемся к бесконечности, если Это записывается в виде ( ) ( ) ( ) ε a x f : ε A x x, ε A ε < - > " > $ > " 0 0 ( ) ( ) ¥ ® ® = ¥ ® a,x x f или a x f x lim Пример 4 Найти При x ®¥ целесообразно сократить числитель и знаменатель дроби на x в наибольшей степени 7 3 4 lim 3 3 + × × - ¥ ® x x x x 3 4 7 3 1 4 lim 7 3 4 lim 3 2 3 3 - = + + - = + × × - ¥ ® ¥ ® x x x x x x x Пример 5 Найти можно заметить неограниченное возрастание функции с ростом аргумента x. Это означает, что предел не существует, т.е. формально равен ¥ 1 3 5 lim 2 4 + × - × - ¥ ® x x x x x ¥ = + - ÷ ø ö ç è æ - = + × - × - ¥ ® ¥ ® 2 3 2 2 4 1 3 1 5 1 lim 1 3 5 lim x x x x x x x x x x Определение Пусть a (x) и b (x) – бесконечно малые функции при x ® x 0 и существует предел Тогда при эти функции называются бесконечно малыми одного порядка, а при C=1 они называются эквивалентными a (x) b (x) при x ® x 0 ( ) ( ) C x β x α x x = ® lim 0 0 ¹ C Замечательные пределы Теорема: предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменяется, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной. ( ) 1 sin lim 0 = ® x x x ( ) e x x x x x x = ÷ ø ö ç è æ + = + ¥ ® ® 1 1 lim 1 lim 1 0 Пример 6 Найти ( ) x x x × ® 3 sin lim 0 ( ) ( ) ( ) x ,t t t x x x x t x x × = = × = × × × = × ® ® ® 3 3 sin lim 3 3 3 sin lim 3 3 sin lim 0 0 0 Определение Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если она определена в некоторой окрестности этой точки и имеет место соотношение ( ) ( ) 0 lim 0 x f x f x x = ® Определение Если в точке x 0 функция y=f(x) не является непрерывной, то эта точка называется точкой разрыва. Классификация точек разрыва y x 0 x 2 x 1 x 0 Рис. 2. Классификация точек разрыва: x 0 - точка устранимого разрыва, x 1 – точка разрыва 1-го рода, x 2 - точка разрыва 2-го рода. Пример 7 Определить непрерывность функций: 1) y = sinx; 2) y = tgx; 3) Решение: 1) y = sinx – непрерывна на всей числовой оси. 2) y = tgx – имеет разрывы 2 – го рода в точках 1) 3) - равна 1 при x>0, равна -1 при x<0 и не определена при x = 0. x x y = πk π x ± - = 2 x x y = Определение Функция y = f(x) называется равномерно непрерывной на множестве D, если для любого e >0 существует d ( e )>0 , такое что для любых x 1 , x 2 Î D из неравенства вытекает ( ) 0 2 1 > < - ε δ x x ( ) ( ) ε x f x f < - 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ε x f x f : ε δ x x D, ,x x ε δ ε < - < - Î " > $ > " 2 1 2 1 2 1 0 0 Теорема Кантора Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a,b]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке. |