) даёт энергию покоящегося тела. Что изменится, если тело движется?
Снова рассмотрим неподвижную систему отсчёта K и систему K
0
, движущуюся относитель- но K со скоростью v. Пусть тело массы m покоится в системе K
0
; тогда энергия тела в системе
408
K
0
есть энергия покоя, вычисляемая по формуле (
5.19
). Оказывается, при переходе в систему
K энергия преобразуется так же, как и время — а именно, энергия тела в системе K, в которой тело движется со скоростью v, равна:
E =
mc
2
r
1 −
v
2
c
2
(5.20)
Формула (
5.20
) была также установлена Эйнштейном. Величина E — это полная энергия движущегося тела. Поскольку в данной формуле mc
2
делится на «релятивистский корень»,
меньший единицы, полная энергия движущегося тела превышает энергию покоя. Полная энер- гия будет равна энергии покоя только при v = 0.
Выражение для полной энергии (
5.20
) позволяет сделать важные выводы о возможных ско- ростях движения объектов в природе.
1. Каждое массивное тело обладает определённой энергией, поэтому необходимо выполнение неравенства
1 −
v
2
c
2
> 0.
Оно означает, что v < c: скорость массивного тела всегда меньше скорости света.
2. В природе существуют безмассовые частицы (например, фотоны), несущие энергию. При подстановке m = 0 в формулу (
5.20
) её числитель обращается в нуль. Но энергия-то фотона ненулевая!
Единственный способ избежать здесь противоречия — это принять, что безмассовая ча- стица обязана двигаться со скоростью света. Тогда и знаменатель нашей формулы обра- тится в нуль, так что формула (
5.20
) попросту откажет. Нахождение формул для энергии безмассовых частиц не входит в компетенцию теории относительности. Так, выражение для энергии фотона устанавливается в квантовой физике.
Интуитивно чувствуется, что полная энергия (
5.20
) состоит из энергии покоя и собственно
«энергии движения», т. е. кинетической энергии тела. При малых скоростях движения это показывается явным образом. Используем приближённые формулы, справедливые при α 1:
√
1 − α ≈ 1 −
α
2
,
(5.21)
1 1 − α
≈ 1 + α.
(5.22)
С помощью этих формул последовательно получаем из (
5.20
):
E =
mc
2
r
1 −
v
2
c
2
≈
mc
2 1 −
1 2
v
2
c
2
≈ mc
2
1 +
1 2
v
2
c
2
= mc
2
+
mv
2 2
(5.23)
Таким образом, при малых скоростях движения полная энергия сводится просто к сумме энергия покоя и кинетической энергии. Это служит мотивировкой для определения понятия кинетической энергии в теории относительности:
E
кин
=
mc
2
r
1 −
v
2
c
2
− mc
2
(5.24)
При v c формула (
5.24
) переходит в нерелятивистское выражение E
кин
= mv
2
/2.
409
Теперь мы можем ответить на заданный выше вопрос о том, почему до сих пор не учиты- валась энергия покоя в нерелятивистских энергетических соотношениях.
Как видно из (
5.23
), при малых скоростях движения энергия покоя входит в полную энергию в качестве слагаемого. В задачах, например, механики и термодинамики изменения энергии тел составляют максимум несколько миллионов джоулей; эти изменения столь незначительны по сравнению с энергиями покоя рассматриваемых тел, что приводят к микроскопическим изме- нениям их масс. Поэтому с высокой точностью можно считать, что суммарная масса тел не меняется в ходе механических или тепловых процессов. В результате суммы энергий покоя тел в начале и в конце процесса попросту сокращаются в обеих частях закона сохранения энергии!
Но такое бывает не всегда. В других физических ситуациях изменения энергии тел могут приводить к более заметным изменениям суммарной массы. Мы увидим, например, что в ядер- ных реакциях отличия масс исходных и конечных продуктов обычно составляют доли процента.
Скажем, при распаде ядра урана
235 92
U суммарная масса продуктов распада примерно на 0,1%
меньше массы исходного ядра. Эта одна тысячная доля массы ядра высвобождается в виде энергии, которая при взрыве атомной бомбы способна уничтожить город.
При неупругом столкновении часть кинетической энергии тел переходит в их внутренюю энергию. Релятивистский закон сохранения полной энергии учитывает этот факт: суммарная масса тел после столкновения увеличивается!
Рассмотрим в качестве примера два тела массы m, летящих навстречу друг другу с одинако- вой скоростью 3c/5. В результате неупругого столкновения образуется тело массы M , скорость которого равна нулю по закону сохранения импульса (об этом законе речь впереди). Согласно закону сохранения энергии получаем:
mc
2
r
1 −
(3c/5)
2
c
2
+
mc
2
r
1 −
(3c/5)
2
c
2
= M c
2
,
2 ·
mc
2
s
1 −
3 5
2
= M c
2
,
2m
4/5
= M,
M =
5 2
m.
Мы видим, что, M > 2m — масса образовавшегося тела превышает сумму масс тел до столкновения. Избыток массы, равный m/2, возник за счёт перехода кинетической энергии сталкивающихся тел во внутреннюю энергию.
5.4.2
Релятивистский импульс
Классическое выражение для импульса
p = m
v не годится в теории относительности — оно, в частности, не согласуется с релятивистским законом сложения скоростей. Давайте убедимся в этом на следующем простом примере.
Пусть система K
0
движется относительно системы K со скоростью v = c/2 (рис.
5.9
). Два тела массы m в системе K
0
летят навстречу друг другу с одинаковой скоростью u
0
= c/2.
Происходит неупругое столкновение.
410
O
O
0
Z
Y
Z
0
Y
0
X, X
0
K
K
0
v m
m u
0
u
0
Рис. 5.9. К закону сохранения импульса
В системе K
0
тела после столкновения останавливаются. Давайте, как и выше, найдём массу
M образовавшегося тела:
M c
2
= 2
mc
2
r
1 −
(c/2)
2
c
2
=
2mc
2
s
1 −
1 4
2
=
4mc
2
√
3
,
откуда
M =
4m
√
3
Теперь посмотрим на процесс столкновения с точки зрения системы K. До столкновения левое тело имеет скорость:
u
1
=
v + u
0 1 +
vu
0
c
2
=
c/2 + c/2 1 +
(c/2)(c/2)
c
2
=
4c
5
Правое тело имеет скорость:
u
2
=
v − u
0 1 −
vu
0
c
2
=
c/2 − c/2 1 −
(c/2)(c/2)
c
2
= 0.
Нерелятивистский импульс нашей системы до столкновения равен:
mu
1
− mu
2
=
4mc
5
После столкновения получившееся тело массы M двигается со скоростью v = c/2. Его нере- лятивистский импульс равен:
M v =
4m
√
3
c
2
=
2m
√
3
Как видим, mu
1
− mu
2 6= M v, то есть нерелятивистский импульс не сохраняется.
Оказывается, правильное выражение для импульса в теории относительности получается делением классического выражения на «релятивистский корень»: импульс тела массы m, дви- гающегося со скоростью
v, равен:
p =
m
v r
1 −
v
2
c
2
(5.25)
Давайте вернёмся к только что рассмотренному примеру и убедимся, что теперь с законом сохранения импульса всё будет в порядке.
411
Импульс системы до столкновения:
p до
=
mu
1
r
1 −
u
2 1
c
2
−
mu
2
r
1 −
u
2 2
c
2
=
m(4c/5)
r
1 −
(4c/5)
2
c
2
− 0 =
4mc/5 3/5
=
4mc
3
Импульс после столкновения:
p после
=
M v r
1 −
v
2
c
2
=
M c/2
r
1 −
(c/2)
2
c
2
=
(4m/
√
3)(c/2)
√
3/2
=
4mc
3
Вот теперь всё правильно: p до
= p после
!
5.4.3
Связь энергии и импульса
Из формул (
5.20
) и (
5.25
) можно получить замечательное соотношение между энергией и им- пульсом в теории относительности. Возводим обе части этих формул в квадрат:
E
2
=
m
2
c
4 1 −
v
2
c
2
,
p
2
=
m
2
v
2 1 −
v
2
c
2
Преобразуем разность:
E
2
− p
2
c
2
=
m
2
c
4 1 −
v
2
c
2
−
m
2
v
2
c
2 1 −
v
2
c
2
=
m
2
c
2
(c
2
− v
2
)
c
2
− v
2
c
2
= m
2
c
4
Это и есть искомое соотношение:
E
2
− p
2
c
2
= m
2
c
4
(5.26)
Данная формула позволяет выявить простую связь между энергией и импульсом фотона.
Фотон имеет нулевую массу и движется со скоростью света. Как уже было замечено выше, сами по себе энергия и импульс фотона в СТО найдены быть не могут: при подстановке в формулы
(
5.20
) и (
5.25
) значений m = 0 и v = c мы получим нули в числителе и знаменателе. Но зато с помощью (
5.26
) легко находим: E
2
− p
2
c
2
= 0, или
E = pc.
(5.27)
В квантовой физике устанавливается выражение для энергии фотона, после чего с помощью формулы (
5.27
) находится его импульс.
5.4.4
Релятивистское уравнение движения
Рассмотрим тело массы m, движущееся вдоль оси X под действием силы F . Уравнение движе- ния тела в классической механике — это второй закон Ньютона: ma = F . Если за бесконечно малое время dt приращение скорости тела равно dv, то a = dv/dt, и уравнение движения запи- шется в виде:
m dv dt
= F.
(5.28)
412
Теперь заметим, что mdv = d(mv) = dp — изменение нерелятивистского импульса тела.
В результате получим «импульсную» форму записи второго закона Ньютона — производная импульса тела по времени равна силе, приложенной к телу:
dp dt
= F.
(5.29)
Все эти вещи вам знакомы, но повторить никогда не помешает ;-)
Классическое уравнение движения — второй закон Ньютона — является инвариантным от- носительно преобразований Галилея, которые в классической механике описывают переход из одной инерциальной системы отсчёта в другую (это означает, напомним, что при указанном переходе второй закон Ньютона сохраняет свой вид). Однако в СТО переход между инерци- альными системами отсчёта описывается преобразованиями Лоренца, а относительно них вто- рой закон Ньютона уже не является инвариантным. Следовательно, классическое уравнение движения должно быть заменено релятивистским, которое сохраняет свой вид под действием преобразований Лоренца.
То, что второй закон Ньютона (
5.28
) не может быть верным в СТО, хорошо видно на сле- дующем простом примере. Допустим, что к телу приложена постоянная сила. Тогда согласно классической механике
тело будет двигаться с постоянным ускорением; скорость тела будет линейно возрастать и с течением времени превысит скорость света. Но мы знаем, что на самом деле это невозможно.
Правильное уравнение движения в теории относительности оказывается совсем не сложным.
Релятивистское уравнение движения имеет вид (
5.29
), где p — релятивистский импульс:
d mv p1 − v
2
/c
2
!
dt
= F.
(5.30)
Производная релятивистского импульса по времени равна силе, приложенной к телу.
В теории относительности уравнение (
5.30
) приходит на смену второму закону Ньютона.
Давайте выясним, как же в действительности будет двигаться тело массы m под действием постоянной силы F . При условии F = const из формулы (
5.30
) получаем:
mv r
1 −
v
2
c
2
= F t.
Остаётся выразить отсюда скорость:
v =
cF t
√
F
2
t
2
+ m
2
c
2
(5.31)
Посмотрим, что даёт эта формула при малых и при больших временах движения. Пользу- емся приближёнными соотношениями при α 1:
√
1 + α ≈ 1 +
α
2
,
(5.32)
1 1 + α
≈ 1 − α.
(5.33)
Формулы (
5.32
) и (
5.33
) отличаются от формул (
5.21
) и (
5.22
) только лишь знаком в левых частях. Постарайтесь запомнить все эти четыре приближённых равенства — они часто исполь- зуются в физике.
413
Итак, начинаем с малых времён движения. Преобразуем выражение (
5.31
) следующим об- разом:
v =
cF t mc r
1 +
F
2
t
2
m
2
c
2
При малых t имеем:
F
2
t
2
m
2
c
2
1.
Последовательно пользуясь нашими приближёнными формулами, получим:
v ≈
cF t mc
1 +
1 2
F
2
t
2
m
2
c
2
≈
F t m
1 −
F
2
t
2 2m
2
c
2
Выражение в скобках почти не отличается от единицы, поэтому при малых t имеем:
v ≈
F t m
= at .
Здесь a = F/m — ускорение тела. Мы получили результат, хорошо известный нам из классиче- ской механики: скорость тела линейно растёт со временем. Это и не удивительно — при малых временах движения скорость тела также невелика, поэтому мы можем пренебречь релятивист- скими эффектами и пользоваться обычной механикой Ньютона.
Теперь переходим к большим временам. Преобразуем формулу (
5.31
) по-другому:
v ≈
cF t
F t r
1 +
m
2
c
2
F
2
t
2
=
c r
1 +
m
2
c
2
F
2
t
2
При больших значениях t имеем:
m
2
c
2
F
2
t
2
1,
и тогда:
v ≈
c
1 +
1 2
m
2
c
2
F
2
t
2
≈ c
1 −
m
2
c
2 2F
2
t
2
Хорошо видно, что при t → ∞ скорость тела v неуклонно приближается к скорости света c, но всегда остаётся меньше c — как того и требует теория относительности.
Зависимость скорости тела от времени, даваемая формулой (
5.31
), графически представлена на рис.
5.10
t v
c
Рис. 5.10. Разгон тела под действием постоянной силы
Начальный участок графика — почти линейный; здесь пока работает классическая механи- ка. Впоследствии сказываются релятивистские поправки, график искривляется, и при больших временах наша кривая асимптотически приближается к прямой v = c.
414
Глава 6
Квантовая физика
Классическая электродинамика, прекрасно описывающая широкий круг электромагнитных яв- лений, «дала сбой» в процессах взаимодействия света с веществом. Оказалось, что эксперимен- тально установленные законы фотоэффекта нельзя объяснить в рамках электродинамики.
Планетарная модель атома, которую получил Резерфорд в ходе своих знаменитых опытов по рассеянию α-частиц, также находится в глубоком противоречии с электродинамикой Макс- велла. Электрон, двигаясь вокруг ядра, должен был бы (согласно законам электродинамики)
непрерывно излучать электромагнитные волны, расходовать на это свою энергию и в конце кон- цов упасть на ядро. Атомы были бы неустойчивыми и «схлопывались», чего в действительности не наблюдается.
Выяснилось, что законы классической физики — механики Ньютона и электродинамики
Максвелла — не работают внутри атома. Микромир живёт по
совершенно иным правилам,
которые непривычны и удивительны для нас. Для описания явлений микромира потребовалось создать совершенно новое направление — квантовую физику.
Квантовой физике посвящены следующие разделы пособия:
→
Фотоэффект
→
Фотоны
→
Корпускулярно-волновой дуализм
→
Линейчатые спектры
→
Строение атома
→
Атом Бора
→
Лазер
→
Строение ядра
→
Радиоактивность
→
Энергия связи ядра
→
Ядерные реакции
415
6.1
Фотоэффект
Фотоэффект — это выбивание электронов из вещества падающим светом. Явление фотоэф- фекта было открыто Генрихом Герцем в 1887 году в ходе его знаменитых экспериментов по излучению электромагнитных волн.
Напомним, что Герц использовал специальный разрядник (вибратор Герца) — разрезанный пополам стержень с парой металлических шариков на концах разреза. На стержень подава- лось высокое напряжение, и в промежутке между шариками проскакивала искра. Так вот,
Герц обнаружил, что при облучении шариков ультрафиолетовым светом проскакивание искры облегчалось!
Герц, однако, был поглощён исследованием электромагнитных волн и не принял данный факт во внимание. Год спустя фотоэффект был независимо открыт русским физиком Алексан- дром Григорьевичем Столетовым. Тщательные экспериментальные исследования, проведённые
Столетовым в течение двух лет, позволили сформулировать основные законы фотоэффекта.
6.1.1
Опыты Столетова
В своих знаменитых экспериментах Столетов использовал фотоэлемент
1
собственной конструк- ции. Его схема изображена на рис.
6.1
K
A
УФ
e
V
mA
Рис. 6.1. Фотоэлемент Столетова
В стеклянную колбу, из которой выкачан воздух (чтобы не мешать лететь электронам),
введены два электрода: цинковый катод K и анод A. На катод и анод подаётся напряжение,
величину U которого можно менять с помощью потенциометра и измерять вольтметром V .
Сейчас на катод подан «минус», а на анод — «плюс», но можно сделать и наоборот (и эта перемена знака — существенная часть опытов Столетова). Напряжению на электродах при- писывается тот знак, который подан на анод
2
. В данном случае, например, напряжение U
положительно.
Катод освещается ультрафиолетовыми лучами УФ через специальное кварцевое окошко,
сделанное в колбе (стекло поглощает ультрафиолет, а кварц пропускает). Ультрафиолетовое излучение выбивает с катода электроны e, которые разгоняются напряжением U и летят на анод. Включённый в цепь миллиамперметр mA регистрирует электрический ток. Этот ток называется фототоком, а выбитые электроны, его создающие, называются фотоэлектронами.
1
Фотоэлементом называется любое устройство, позволяющее наблюдать фотоэффект.
2
Поэтому поданное на электроды напряжение U часто называют анодным напряжением.
416
В опытах Столетова можно независимо варьировать три величины: анодное напряжение,
интенсивность света и его частоту. Начнём с напряжения.
6.1.2
Зависимость
фототока от напряженияМеняя величину и знак анодного напряжения, можно проследить, как меняется фототок. Гра- фик этой зависимости, называемый характеристикой фотоэлемента, представлен на рис.
6.2
U
I
I
н
U
з
Рис. 6.2. Характеристика фотоэлемента
Давайте обсудим ход полученной кривой. Прежде всего заметим, что электроны вылетают из катода с различными скоростями и в разных направлениях; максимальную скорость, которую имеют фотоэлектроны в условиях опыта, обозначим v.
Если напряжение U отрицательно и велико по модулю, то фототок отсутствует. Это легко понять: электрическое поле, действующее на электроны со стороны катода и анода, является тормозящим (на катоде «плюс», на аноде «минус») и обладает столь большой величиной, что электроны не в состоянии долететь до анода. Начального запаса кинетической энергии не хва- тает — электроны теряют свою скорость на подступах к аноду и разворачиваются обратно на катод. Максимальная кинетическая энергия вылетевших электронов оказывается меньше, чем модуль работы поля при перемещении электрона с катода на анод:
mv
2 2
< eU.
Здесь m = 9,1 · 10
−31
кг —
масса электрона, e = −1,6 · 10
−19
Кл — его заряд.
Будем постепенно увеличивать напряжение, т. е. двигаться слева направо вдоль оси U из далёких отрицательных значений.
Поначалу тока по-прежнему нет, но точка разворота электронов становится всё ближе к ано- ду. Наконец, при достижении напряжения U
з
, которое называется задерживающим напряже- нием, электроны разворачиваются назад в момент достижения анода (иначе говоря, электроны прибывают на анод с нулевой скоростью). Имеем:
mv
2 2
= eU
з
(6.1)
Таким образом, величина задерживающего напряжения позволяет определить максималь- ную кинетическую энергию фотоэлектронов.
При небольшом превышении задерживающего напряжения появляется слабый фототок. Его формируют электроны, вылетевшие с максимальной кинетической энергией почти точно вдоль оси колбы (т. е. почти перпендикулярно катоду): теперь электронам хватает этой энергии, чтобы добраться до анода с ненулевой скоростью и замкнуть цепь. Остальные электроны, которые имеют меньшие скорости или полетели в сторону от анода, на анод не попадают.
417
При повышении напряжения фототок увеличивается. Анода достигает большее количество электронов, вылетающих из катода под всё б´
ольшими углами к оси колбы. Обратите внимание,
что фототок присутствует при нулевом напряжении!
Когда напряжение выходит в область положительных значений, фототок продолжает воз- растать. Оно и понятно: электрическое поле теперь разгоняет электроны, поэтому всё большее их число получают шанс оказаться на аноде. Однако достигают анода пока ещё не все фото- электроны. Например, электрон, вылетевший с максимальной скоростью перпендикулярно оси колбы (т. е. вдоль катода), хоть и развернётся полем в нужном направлении, но не настолько сильно, чтобы попасть на анод.
Наконец, при достаточно больших положительных значениях напряжения ток достигает своей предельной величины I
н
, называемой током насыщения, и дальше возрастать перестаёт.
Почему? Дело в том, что напряжение,
ускоряющее электроны, становится настолько велико,
что анод захватывает вообще все электроны, выбитые из катода — в каком бы направлении и с какими бы скоростями они не начинали движение. Стало быть, дальнейших возможностей увеличиваться у фототока попросту нет — ресурс, так сказать, исчерпан.
6.1.3
Законы фотоэффекта
Величина I
н тока насыщения — это, по существу, количество электронов, выбиваемых из катода за одну секунду. Будем менять интенсивность света, не трогая частоту. Опыт показывает, что ток насыщения меняется пропорционально интенсивности света.
Первый закон фотоэффекта. Число электронов, выбиваемых из катода за секунду, пропор- ционально интенсивности падающего на катод излучения (при его неизменной частоте).
Ничего неожиданного в этом нет: чем больше энергии несёт излучение, тем ощутимее на- блюдаемый результат. Загадки начинаются дальше.
А именно, будем изучать зависимость максимальной кинетической энергии фотоэлектронов от частоты и интенсивности падающего света. Сделать это несложно: ведь в силу формулы (
6.1
)
нахождение максимальной кинетической энергии выбитых электронов фактически сводится к измерению задерживающего напряжения.
Сначала меняем частоту излучения ν при фиксированной интенсивности. Получается такой график (рис.
6.3
):
ν
0
ν
mv
2 2
Рис. 6.3. Зависимость энергии фотоэлектронов от частоты света
Как видим, существует некоторая частота ν
0
, называемая красной границей фотоэффекта,
разделяющая две принципиально разные области графика. Если ν < ν
0
, то фотоэффекта нет.
Если же ν > ν
0
, то максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно растёт с частотой.
Теперь, наоборот, фиксируем частоту и меняем интенсивность света. Если при этом ν < ν
0
,
то фотоэффект не возникает, какова бы ни была интенсивность! Не менее удивительный факт
418
обнаруживается и при ν > ν
0
: максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов от интен- сивности света не зависит.
Все эти факты нашли отражение во втором и третьем законах фотоэффекта.
Второй закон фотоэффекта. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно возрастает с частотой света и не зависит от его интенсивности.
Третий закон фотоэффекта. Для каждого вещества существует красная граница фотоэф- фекта — наименьшая частота света ν
0
, при которой фотоэффект ещё возможен. При ν < ν
0
фотоэффект не наблюдается ни при какой интенсивности света.
6.1.4
Трудности классического объяснения фотоэффекта
Скачать 4.03 Mb.