(который открыл дифракцию света). Интерференции, однако, не наблюдалось. Почему же?
Вопрос это не очень простой, и причина заключается в том, что Солнце — не точечный, а протяжённый источник света (угловой размер Солнца равен 30 угловым минутам). Солнечный диск состоит из множества точечных источников, каждый из которых даёт на экране свою интерференционную картину. Накладываясь, эти отдельные картины «смазывают» друг друга,
и в результате на экране получается равномерная освещённость области перекрытия пучков.
Но если Солнце является чрезмерно «большим», то нужно искусственно создать точечный первичный источник. С этой целью в опыте Юнга использовано маленькое предварительное отверстие (рис.
4.89
).
Рис. 4.89. Схема опыта Юнга
Плоская волна падает на первое отверстие, и за отверстием возникает световой конус, рас- ширяющийся вследствие дифракции. Он достигает следующих двух отверстий, которые стано- вятся источниками двух когерентных световых конусов. Вот теперь — благодаря точечности первичного источника — в области перекрытия конусов будет наблюдаться интерференционная картина!
381
Опыт Юнга вошёл в число наиболее знаменитых экспериментов в истории физики. Юнг вы- вел формулу (
4.42
) и измерил в своём опыте ширину ∆x интерференционных полос. Оставалось выразить оттуда λ:
λ =
a∆x
L
С помощью этой формулы Юнг впервые вычислил длины волн видимого света.
4.12.3
Дифракционная решётка
Дифракционная решётка — это оптический прибор, позволяющий получать разложение све- та на спектральные составляющие и измерять длины волн. Дифракционные решётки бывают прозрачными и отражательными.
Мы рассмотрим прозрачную дифракционную решётку. Она состоит из большого числа ще- лей ширины a, разделённых промежутками ширины b (рис.
4.90
). Свет проходит только сквозь щели; промежутки свет не пропускают. Величина d = a + b называется периодом решётки.
a b
d
Рис. 4.90. Дифракционная решётка
Дифракционная решётка изготавливается с помощью так называемой делительной маши- ны, которая наносит штрихи на поверхность стекла или прозрачной плёнки. При этом штрихи оказываются непрозрачными промежутками, а нетронутые места служат щелями. Если, напри- мер, дифракционная решётка содержит 100 штрихов на миллиметр, то период такой решётки будет равен: d = 0,01 мм = 10 мкм.
Сперва мы посмотрим, как проходит сквозь решётку монохроматический свет, т. е. свет со строго определённой длиной волны. Отличным примером монохроматического света служит луч лазерной указки (длина волны около 0,65 мкм).
На рис.
4.91
мы видим такой луч, падающий на одну из дифракционных решёток стандарт- ного набора
18
. Щели решётки расположены вертикально, и на экране за решёткой наблюдаются периодически расположенные вертикальные полосы.
Рис. 4.91. Дифракция лазерного луча на решётке
Как вы уже поняли, это интерференционная картина. Дифракционная решётка расщепля- ет падающую волну на множество когерентных пучков, которые распространяются по всем направлениям и интерферируют друг с другом. Поэтому на экране мы видим чередование максимумов и минимумов интерференции — светлых и тёмных полос.
18
Изображение с сайта physics.nad.ru
382
Теория дифракционной решётки весьма сложна и во всей своей полноте оказывается да- леко за рамками школьной программы. Вам следует знать лишь самые элементарные вещи,
связанные с одной-единственной формулой; эта формула описывает положения максимумов освещённости экрана за дифракционной решёткой.
Итак, пусть на дифракционную решётку с перидом d падает плоская монохроматическая волна (рис.
4.92
). Длина волны равна λ.
P
ϕ
d
A
C
B
Рис. 4.92. Дифракция на решётке
Для большей чёткости интерференционной картины можно поставить линзу между решёт- кой и экраном, а экран поместить в фокальной плоскости линзы.
Тогда вторичные волны,
идущие параллельно от различных щелей, соберутся в одной точке P экрана (побочном фокусе линзы). Если же экран расположен достаточно далеко, то особой необходимости в линзе нет —
лучи, приходящие в данную точку экрана от различных щелей, будут и так почти параллельны друг другу.
Рассмотрим вторичные волны, отклоняющиеся на угол ϕ. Разность хода между двумя вол- нами, идущими от соседних щелей, равна маленькому катету прямоугольного треугольника с гипотенузой d; или, что то же самое, эта разность хода равна катету AB треугольника ABC. Но угол ACB равен углу ϕ, поскольку это острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами.
Следовательно, наша разность хода равна d sin ϕ.
Интерференционные максимумы наблюдаются в тех случаях, когда разность хода равна целому числу длин волн:
d sin ϕ = kλ
(k = 0, 1, 2, . . .).
(4.43)
При выполнении этого условия все волны, приходящие в точку P от различных щелей, будут складываться в фазе и усиливать друг друга
19
Формула (
4.43
) позволяет найти углы, задающие направления на максимумы:
sin ϕ
k
=
kλ
d
(k = 0, 1, 2, . . .).
(4.44)
При k = 0 получаем ϕ = 0. Это центральный максимум, или максимум нулевого порядка.
Разность хода всех вторичных волн, идущих без отклонения, равна нулю, и в центральном максимуме они складываются с нулевым сдвигом фаз. Центральный максимум — это центр дифракционной картины, самый яркий из максимумов. Дифракционная картина на экране симметрична относительно центрального максимума.
19
Линза при этом не вносит дополнительной разности хода — несмотря на то, что разные лучи проходят через линзу разными путями. Почему так получается? Мы не
будем вдаваться в этот вопрос, поскольку его обсуждение выходит за рамки ЕГЭ по физике.
383
При k = 1 получаем угол:
ϕ
1
= arcsin
λ
d
Этот угол задаёт направления на максимумы первого порядка. Их два, и расположены они симметрично относительно центрального максимума. Яркость в максимумах первого порядка несколько меньше, чем в центральном максимуме.
Аналогично, при k = 2 имеем угол:
ϕ
2
= arcsin
2λ
d
Он задаёт направления на максимумы второго порядка. Их тоже два, и они также расположены симметрично относительно центрального максимума. Яркость в максимумах второго порядка несколько меньше, чем в максимумах первого порядка.
Направления на максимумы первых двух порядков показаны на рис.
4.93
Центральный максимум
Максимум 1-го порядка
Максимум 1-го порядка
Максимум 2-го порядка
Максимум 2-го порядка
ϕ
1
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
2
Рис. 4.93. Максимумы первых двух порядков
Вообще, два симметричных максимума k-го порядка определяются углом:
ϕ
k
= arcsin kλ
d
(4.45)
При небольших k соответствующие углы обычно невелики. Например, при λ = 0,65 мкм и d = 10 мкм максимумы первого порядка расположены под углом ϕ
1
= arcsin(0,65/10) = 3,7
◦
Яркость максимумов k-го порядка постепенно убывает с ростом k. Сколько всего максиму- мов можно увидеть? На этот вопрос легко ответить с помощью формулы (
4.44
). Ведь синус не может быть больше единицы, поэтому:
k 6
d
λ
Используя те же числовые данные, что и выше, получим: k
6 15,4. Следовательно, наибольший возможный порядок максимума для данной решётки равен 15.
Посмотрите ещё раз на рис.
4.91
. На экране видны 11 максимумов. Это центральный мак- симум, а также по два максимума первого, второго, третьего, четвёртого и пятого порядков.
С помощью дифракционной решётки можно измерить неизвестную длину волны. Направля- ем пучок света на решётку (период которой мы знаем), измеряем угол ϕ
1
на максимум первого порядка, пользуемся формулой (
4.43
) и получаем:
λ = d sin ϕ
1 384
4.12.4
Дифракционная решётка как спектральный прибор
Выше мы рассматривали дифракцию монохроматического света, каковым является лазерный луч. Часто приходится иметь дело с немонохроматическим излучением. Оно является смесью различных монохроматических волн, которые составляют спектр данного излучения. Напри- мер, белый свет — это смесь волн всего видимого диапазона, от красного до фиолетового.
Оптический прибор называется спектральным, если он позволяет раскладывать свет на монохроматические компоненты и тем самым исследовать спектральный состав излучения.
Простейший спектральный прибор вам хорошо известен — это стеклянная призма. К числу спектральных приборов относится также и дифракционная решётка.
Предположим, что на дифракционную решётку падает белый свет. Давайте вернёмся к фор- муле (
4.44
) и подумаем, какие выводы из неё можно сделать.
Положение центрального максимума (ϕ = 0) не зависит от длины волны. В центре дифрак- ционной картины сойдутся с нулевой разностью хода все монохроматические составляющие белого света. Поэтому в центральном максимуме мы увидим яркую белую полосу.
А вот положения максимумов порядка k
> 1 определяются длиной волны. Чем меньше λ,
тем меньше угол ϕ
k для данного k. Поэтому в максимуме k-го порядка монохроматические волны разделяются в пространстве: самой близкой к к центральному максимуму окажется фиолетовая полоса, самой далёкой — красная.
Следовательно, в каждом порядке k
> 1 белый свет раскладывается решёткой в спектр.
Максимумы первого порядка всех монохроматических
компонент образуют спектр первого по- рядка; затем идут спектры второго, третьего и так далее порядков. Спектр каждого порядка имеет вид цветной полосы, в которой присутствуют все цвета радуги — от фиолетового до красного.
Дифракция белого света показана
20
на рис.
4.94
. Мы видим белую полосу в центральном максимуме, а по бокам — два спектра первого порядка. По мере возрастания угла отклонения цвет полос меняется от фиолетового к красному.
Рис. 4.94. Дифракция белого света на решётке
Но дифракционная решётка не только позволяет наблюдать спектры, т. е. проводить каче- ственный анализ спектрального состава излучения. Важнейшим достоинством дифракционной решётки является возможность количественного анализа — как уже говорилось выше, мы с её помощью можем измерять длины волн. При этом измерительная процедура весьма проста:
фактически она сводится к измерению угла направления на максимум.
20
Изображение с сайта h2physics.org
385
Естественными примерами дифракционных решёток, встречающихся в природе, являются перья птиц, крылья бабочек, перламутровая поверхность морской раковины. Если, прищурив- шись, посмотреть на солнечный свет, то можно увидеть радужную окраску вокруг ресниц. На- ши ресницы действуют в данном случае как прозрачная дифракционная решётка на рис.
4.92
,
а в качестве линзы выступает оптическая система роговицы и хрусталика.
Спектральное разложение белого света, даваемое дифракционной решёткой, проще всего на- блюдать, глядя на обычный компакт-диск (рис.
4.95
)
21
. Оказывается, дорожки на поверхности диска образуют отражательную дифракционную решётку!
Рис. 4.95. Компакт-диск как отражательная решётка
21
Изображение с сайта en.wikipedia.org
386
4.13
Дисперсия света
Пусть солнечный луч переходит из воздуха в прозрачную среду (например, воду или стекло).
Если угол падения α не равен нулю, то, как вы помните, угол преломления β определяется из закона преломления:
sin β =
sin α
n
Величина n, называемая показателем преломления, характеризует среду и от угла падения не зависит.
Оказывается, однако, что среда по-разному реагирует на прохождение электромагнитных волн различных частот. Имеет место дисперсия — зависимость показателя преломления среды от частоты света.
4.13.1
Опыт Ньютона
Классический опыт по наблюдению дисперсии был поставлен Ньютоном. Узкий луч солнечного света направлялся на треугольную стеклянную призму (рис.
4.96
).
Красный
Оранжевый
Жёлтый
Зелёный
Голубой
Синий
Фиолетовый
Рис. 4.96. Разложение белого света в спектр
На экране за призмой появлялся спектр — радужная полоса.
Один край спектра оказался красным, другой — фиолетовым, а цвета внутри спектра непрерывно переходили друг в друга.
Выделяя луч какого-либо цвета (например, красного или синего) и запуская его в другую призму, мы уже не увидим изменения цвета преломлённого луча. Стало быть, компоненты радуги являются простейшими цветами, не разложимыми далее. Их можно собрать обратно с помощью второй призмы, и тогда снова получится белый свет. Следовательно, белый свет явля- ется смесью световых пучков различных цветов, непрерывно заполняющих диапазон видимого света от красного до фиолетового.
Мы видим, таким образом, что стеклянная призма является простейшим спектральным прибором — она позволяет исследовать спектральный состав белого света. С действием более сложного спектрального прибора — дифракционной решётки — мы познакомились в предыду- щем разделе.
Как показывает опыт Ньютона, слабее всего преломляется красный свет, а сильнее всего —
фиолетовый. В видимом диапазоне красный свет имеет наименьшую частоту, а фиолетовый —
наибольшую. Коль скоро показатель преломления становится всё больше по мере движения от красного конца спектра к фиолетовому, мы делаем вывод, что показатель преломления стекла увеличивается с возрастанием частоты света.
387
Но показатель преломления есть отношение скорости света в воздухе к скорости света в среде: n = c/v. Значит, чем больше частота света, тем с меньшей скоростью свет распро- страняется в стекле. Наибольшую скорость внутри стеклянной призмы имеет красный свет,
наименьшую — фиолетовый.
Различие в скоростях света для разных частот проявляется только при наличии среды. В
вакууме скорость распространения электромагнитных волн не зависит от частоты и равна c.
Открытая и исследованная Ньютоном, дисперсия света больше двухсот лет ждала своего объяснения — нужны были соответствующие сведения о строении вещества. Классическая тео- рия дисперсии была предложена Лоренцем лишь в конце XIX века. Более точная квантовая теория дисперсии появилась в первой половине прошлого столетия.
4.13.2
Хроматическая аберрация
Предположим, что на собирающую линзу параллельно главной оптической оси падает пучок белого света. Преломляясь в линзе, он, казалось бы, должен собраться в её фокусе. Однако вследствие дисперсии возникает хроматическая аберрация — некоторая расфокусировка пучка,
вызванная различной преломляемостью разных компонент белого света.
Явление хроматической аберрации показано на рис.
4.97
Рис. 4.97. Хроматическая аберрация
Показатель преломления материала линзы принимает
наименьшее значение для красного света, и потому красный свет преломляется слабее всего. Красные лучи собираются на главной оптической оси в наиболее удалённой от линзы точке. Жёлтые лучи собираются ближе к линзе,
зелёные — ещё ближе, и, наконец, в ближайшей к линзе точке сойдутся фиолетовые лучи.
Хроматическая аберрация ухудшает качество изображений — снижает чёткость, даёт лиш- ние цветные полосы. Но с хроматической аберрацией можно бороться. Для этого в оптической технике применяют так называемые ахроматические линзы, получаемые накладыванием на собирающую линзу дополнительной рассеивающей линзы. Догадайтесь — зачем нужна рассе- ивающая линза?
388
Глава 5
Теория относительности
Классическая механика Ньютона отлично работает, когда скорости движения тел малы по срав- нению со скоростью света.
Однако по мере приближения скорости движения тела к скорости света всё отчётливее про- являются новые, так называемые релятивистские эффекты: сокращение длины, замедление времени и т. д. Эти эффекты не описываются классической механикой. Здесь работает более общая физическая теория — специальная теория относительности (СТО).
Теория относительности остаётся справедливой и при небольших скоростях движения, од- нако в этом случае релятивистские эффекты становятся исчезающе малыми и не оказывают существенного влияния. Вот и получается, что «в обычной жизни» теория относительности переходит в классическую механику. Можно сказать, что классическая механика является пре- дельным случаем СТО для малых скоростей движения.
Теория относительности изложена в следующих разделах пособия:
→
Принцип относительности Галилея
→
Принципы СТО
→
Релятивистская кинематика
→
Релятивистская динамика
389
5.1
Принцип относительности Галилея
Изучение теории относительности Эйнштейна мы начинаем с более глубокого рассмотрения принципа относительности Галилея. Это позволит нам лучше понять, каковы были предпосыл- ки создания теории относительности.
Рассмотрим мысленный эксперимент с кораблём, предложенный Галилеем.
5.1.1
Наблюдатель на корабле
Представьте себе, что вы находитесь в каюте корабля. Никакого движения в пространстве вы не ощущаете — вам кажется, что корабль стоит на месте. Но вас всё же интересует, покоит- ся ли корабль или движется равномерно и прямолинейно. Можете ли вы установить это, не выглядывая в иллюминатор?
Допустим, что с данной целью вы производите всевозможные эксперименты, наблюдая раз- личные механические явления в вашей каюте. Вы исследуете свободное падение тел, соскальзы- вание тела с наклонной плоскости, вращательное движение, колебания маятников, распростра- нение звуковых волн. . . Вам детально известен ход этих явлений в неподвижной лаборатории на земле, и теперь вы пытаетесь найти какие-либо отклонения в их протекании, вызванные равномерным прямолинейным движением судна.
Никаких отклонений обнаружить не удастся! Поставив в каюте корабля любой механиче- ский эксперимент и сопоставив его с
аналогичным экспериментом на земле, вы увидите, что полученные результаты не отличаются друг от друга. Например, вы бросаете мячик со скоро- стью 5 м/с под углом 60
◦
к горизонту относительно палубы. Оказывается, мячик на корабле опишет ровно ту же самую траекторию, что и на берегу при тех же начальных условиях (ско- рость и угол броска).
Равномерное прямолинейное движение корабля никак не сказывается на протекании ме- ханических явлений на этом корабле. Поэтому никакой опыт из механики, проведённый в ла- боратории корабля, не в состоянии определить, покоится ли корабль или движется равномерно и прямолинейно.
Систему отсчёта, связанную с землёй, во многих ситуациях можно считать инерциальной
1
Система отсчёта корабля, движущаяся относительно земной системы отсчёта равномерно и прямолинейно, также будет инерциальной. Мы приходим к выводу, что с точки зрения ме- ханических явлений инерциальные системы отсчёта совершенно равноправны: никакой меха- нический эксперимент не в состоянии выделить и сделать привилегированной какую-то одну инерциальную систему отсчёта по сравнению с остальными.
Это и есть принцип относительности, открытый Галилеем.
Принцип относительности Галилея. Всякое механическое явление при одних и тех же на- чальных условиях протекает одинаково в любой инерциальной системе отсчёта.
5.1.2
Инвариантность законов механики
Принцип относительности Галилея означает, что законы механики одинаковы во всех инерци- альных системах отсчёта. А именно, математическая форма второго и третьего законов Нью- тона не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Давайте убедимся в этом непосредственно на следующем простом примере.
Рассмотрим две системы отсчёта: K и K
0
. Координатные оси этих систем сонаправлены.
Систему K будем считать неподвижной. Система K
0
движется относительно неё с постоянной
1
Конечно, она не инерциальна. Земля совершает суточное вращение и движется вокруг Солнца, поэтому земная лаборатория будет иметь ускорение. Но во многих задачах этим ускорением можно пренебречь.
390
скоростью
v вдоль общего направления осей X и X
0
(рис.
5.1
).
O
O
0
Z
Y
Z
0
Y
0
X, X
0
vt
v
K
K
0
Рис. 5.1. Система K
0
движется относительно системы K
В тот момент, когда начала координат O и O
0
совпадали, часы обеих систем были выставлены на ноль и запущены. Стало быть, часы в системах K и K
0
идут синхронно, показывая одно и то же время t. В момент времени t расстояние OO
0
равно vt.
Нас интересует, как описывается движение тела (для определённости называемого далее частицей) в системах отсчёта K и K
0
Прежде всего, выясним, как связаны друг другом координаты частицы и моменты времени в обеих системах отсчёта.
Пусть в момент времени t по часам K частица имеет в системе K координаты x, y, z. Во- обще, четвёрка чисел (x, y, z, t) называется событием. Событие состоит в том, что в данной точке пространства в данный момент времени что-то происходит — вот, например, в точке с координатами x, y, z в момент времени t оказывается наша частица.
В системе K
0
это же событие описывается четвёркой чисел (x
0
, y
0
, z
0
, t
0
). А именно, местона- хождение частицы в системе K
0
описывается координатами x
0
, y
0
, z
0
, а часы K
0
показывают при этом время t
0
Глядя на рис.
5.1
, совершенно ясно, что x
0
будет меньше x на величину vt, координата y
0
совпадает с y, а z
0
совпадает с z. Кроме того, как уже было сказано, время на часах K
0
и K
одно и то же: t
0
= t.
Итак, имеем:
x
0
= x − vt,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
= t.
(5.1)
Формулы (
5.1
) называются преобразованиями Галилея. Они связывают координаты и время одного и того же события, измеренные в разных инерциальных системах отсчёта: в движущейся системе K
0
и неподвижной системе K.
Таким образом, преобразования Галилея в механике служат математическим описанием перехода от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Рассмотрим некоторые следствия,
вытекающие из преобразований Галилея.
Пусть наша частица имеет в системе K скорость
u, а в системе K
0
— скорость
u
0
. Как связаны между собой эти скорости? Дифференцируем первые три равенства (
5.1
) по времени
(которое одинаково в обеих системах отсчёта):
˙x
0
= ˙x − v,
˙
y
0
= ˙
y,
˙z
0
= ˙z.
Производные координат по времени — это проекции скоростей:
u
0
x
= u x
− v,
u
0
y
= u y
,
u
0
z
= u z
(5.2)
Три равенства (
5.2
) можно записать в виде одной векторной формулы:
u
0
=
u −
v,
391
или
u =
u
0
+
v.
Получился хорошо известный нам закон сложения скоростей: скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта есть скорость тела относительно движущейся системы отсчёта плюс скорость движущейся системы относительно неподвижной. Мы видим, таким образом,
что закон сложения скоростей в механике является следствием преобразований Галилея.
Дифференцируем по времени ещё раз — на сей раз соотношения (
5.2
). Производная посто- янной величины v обращается в нуль, и мы получаем равенство ускорений:
a
0
x
= a x
,
a
0
y
= a y
,
a
0
z
= a z
,
или
a
0
= a.
Итак, ускорение частицы одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Это ещё одно следствие преобразований Галилея.
Теперь запишем второй закон Ньютона для нашей частицы в системе K:
ma =
F .
(5.3)
При переходе в систему K
0
ускорение частицы a, как мы выяснили, остаётся прежним. А
что можно сказать об остальных двух величинах, входящих в (
5.3
Скачать 4.03 Mb.