Пособие по физике, охватывающее всю школьную программу и, соответственно, все темы кодификатора егэ по физике
 Скачать 4.03 Mb.
|
|
мала по сравнению с чем? Во-первых, предполагается, что M N R 1 и M N R 2 . Тогда поверхности линзы хоть и будут выпуклыми, но могут восприниматься как «почти плоские». Этот факт нам очень скоро пригодится. Во-вторых, M N a, где a — характерное расстояние от линзы до интересующего нас предмета. Собственно, лишь в таком случае мы и сможем корректно говорить о «расстоянии от предмета до линзы», не уточняя, до какой именно точки линзы берётся это самое расстояние. Мы дали определение тонкой линзы, имея в виду двояковыпуклую линзу на рис. 4.24 . Это определение без каких-либо изменений переносится на все остальные виды линз. Итак: лин- за является тонкой, если толщина линзы много меньше радиусов кривизны её сферических границ и расстояния от линзы до предмета. Условное обозначение тонкой собирающей линзы показано на рис. 4.25 F F O Рис. 4.25. Обозначение тонкой собирающей линзы 6 Напомним, что прямая O 1 O 2 называется главной оптической осью линзы. 329 Условное обозначение тонкой рассеивающей линзы показано на рис. 4.26 F F O Рис. 4.26. Обозначение тонкой рассеивающей линзы В каждом случае прямая F F — это главная оптическая ось линзы, а сами точки F — её фокусы. Оба фокуса тонкой линзы расположены симметрично относительно линзы. 4.5.2 Оптический центр и фокальная плоскость Точки M и N , обозначенные на рис. 4.24 , у тонкой линзы фактически сливаются в одну точку. Это точка O на рис. 4.25 и 4.26 , называемая оптическим центром линзы. Оптический центр находится на пересечении линзы с её главной оптической осью. Расстояние OF от оптического центра до фокуса называется фокусным расстоянием лин- зы. Мы будем обозначать фокусное расстояние буквой f . Величина D, обратная фокусному расстоянию, есть оптическая сила линзы: D = 1 f Оптическая сила измеряется в диоптриях (дптр). Так, если фокусное расстояние линзы равно 25 см, то её оптическая сила: D = 1 0,25 = 4 дптр. Продолжаем знакомиться с новыми понятиями. Всякая прямая, проходящая через опти- ческий центр линзы и отличная от главной оптической оси, называется побочной оптической осью. На рис. 4.27 изображена побочная оптическая ось — прямая OP . F P (побочный фокус) O π (фокальная плоскость) Рис. 4.27. Побочная оптическая ось, фокальная плоскость и побочный фокус Плоскость π, проходящая через фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной плоскостью. Фокальная плоскость, таким образом, параллельна плоскости линзы. Имея два фокуса, линза соответственно имеет и две фокальных плоскости, расположенных симметрично относительно линзы. 330 Точка P , в которой побочная оптическая ось пересекает фокальную плоскость, называется побочным фокусом. Собственно, каждая точка фокальной плоскости (кроме F ) есть побочный фокус — мы ведь всегда сможем провести побочную оптическую ось, соединив данную точку с оптическим центром линзы. А сама точка F — фокус линзы — в связи с этим называется ещё главным фокусом. То, что на рис. 4.27 изображена собирающая линза, никакой роли не играет. Понятия побоч- ной оптической оси, фокальной плоскости и побочного фокуса совершенно аналогично опреде- ляются и для рассеивающей линзы — с заменой на рис. 4.27 собирающей линзы на рассеиваю- щую. Теперь мы переходим к рассмотрению хода лучей в тонких линзах. Мы будем предполагать, что лучи являются параксиальными, то есть образуют достаточно малые углы с главной опти- ческой осью. Если параксиальные лучи исходят из одной точки, то после прохождения линзы преломлённые лучи или их продолжения также пересекаются в одной точке. Поэтому изобра- жения предметов, даваемые линзой, в параксиальных лучах получаются весьма чёткими. 4.5.3 Ход луча через оптический центр Как мы знаем из предыдущего раздела, луч, идущий вдоль главной оптической оси, не пре- ломляется. В случае тонкой линзы оказывается, что луч, идущий вдоль побочной оптической оси, также не преломляется! Объяснить это можно следующим образом. Вблизи оптического центра O обе поверхности линзы неотличимы от параллельных плоскостей, и луч в данном случае идёт как будто через плоскопараллельную стеклянную пластинку (рис. 4.28 ). O A B C D Рис. 4.28. Ход луча через оптический центр линзы Угол преломления луча AB равен углу падения преломлённого луча BC на вторую по- верхность. Поэтому второй преломлённый луч CD выходит из плоскопараллельной пластинки параллельно падающему лучу AB. Плоскопараллельная пластинка лишь смещает луч, не из- меняя его направления, и это смещение тем меньше, чем меньше толщина пластинки. Но для тонкой линзы мы можем считать, что эта толщина равна нулю. Тогда точки B, O и C фактически сольются в одну точку, и луч CD окажется просто продолжением луча AB. Вот поэтому и получается, что луч, идущий вдоль побочной оптической оси, не преломляется тонкой линзой (рис. 4.29 ). Рис. 4.29. Луч, идущий через оптический центр тонкой линзы, не преломляется 331 Это единственное общее свойство собирающих и рассеивающих линз. В остальном ход лучей в них оказывается различным, и дальше нам придётся рассматривать собирающую и рассеива- ющую линзу по отдельности. 4.5.4 Ход лучей в собирающей линзе Как мы помним, собирающая линза называется так потому, что световой пучок, параллельный главной оптической оси, после прохождения линзы собирается в её главном фокусе (рис. 4.30 ). F Рис. 4.30. Параллельный пучок собирается в главном фокусе Пользуясь обратимостью световых лучей, приходим к следующему выводу: если в главном фокусе собирающей линзы находится точечный источник света, то на выходе из линзы полу- чится световой пучок, параллельный главной оптической оси (рис. 4.31 ). F Рис. 4.31. Преломление пучка, идущего из главного фокуса Оказывается, что пучок параллельных лучей, падающих на собирающую линзу наклонно, тоже соберётся в фокусе — но в побочном. Этот побочный фокус P отвечает тому лучу, который проходит через оптический центр линзы и не преломляется (рис. 4.32 ). F P Рис. 4.32. Параллельный пучок собирается в побочном фокусе Теперь мы можем сформулировать правила хода лучей в собирающей линзе. Эти правила вытекают из рисунков 4.29 – 4.32 1. Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется. 332 2. Луч, идущий параллельно главной оптической оси линзы, после преломления пойдёт через главный фокус (рис. 4.33 ). F Рис. 4.33. К правилу 2 3. Если луч падает на линзу наклонно, то для построения его дальнейшего хода мы про- водим побочную оптическую ось, параллельную этому лучу, и находим соответствующий побочный фокус. Вот через этот побочный фокус и пойдёт преломлённый луч (рис. 4.34 ). F Рис. 4.34. К правилу 3 В частности, если падающий луч проходит через фокус линзы, то после преломления он пойдёт параллельно главной оптической оси. 4.5.5 Ход лучей в рассеивающей линзе Переходим к рассеивающей линзе. Она преобразует пучок света, параллельный главной опти- ческой оси, в расходящийся пучок, как бы выходящий из главного фокуса (рис. 4.35 ). F Рис. 4.35. Рассеяние параллельного пучка Наблюдая этот расходящийся пучок, мы увидим светящуюся точку, расположенную в фо- кусе F позади линзы. Если параллельный пучок падает на линзу наклонно, то после преломления он также станет расходящимся. Продолжения лучей расходящегося пучка соберутся в побочном фокусе P , отве- чающем тому лучу, который проходит через через оптический центр линзы и не преломляется (рис. 4.36 ). 333 F P Рис. 4.36. Рассеяние наклонного параллельного пучка Этот расходящийся пучок создаст у нас иллюзию светящейся точки, расположенной в по- бочном фокусе P за линзой. Теперь мы готовы сформулировать правила хода лучей в рассеивающей линзе. Эти правила следуют из рисунков 4.29 , 4.35 и 4.36 1. Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется. 2. Луч, идущий параллельно главной оптической оси линзы, после преломления начнёт уда- ляться от главной оптической оси; при этом продолжение преломлённого луча пройдёт через главный фокус (рис. 4.37 ). F Рис. 4.37. К правилу 2 3. Если луч падает на линзу наклонно, то мы проводим побочную оптическую ось, парал- лельную этому лучу, и находим соответствующий побочный фокус. Преломлённый луч пойдёт так, словно он исходит из этого побочного фокуса (рис. 4.38 ). F Рис. 4.38. К правилу 3 Пользуясь правилами хода лучей 1–3 для собирающей и рассеивающей линзы, мы теперь научимся самому главному — строить изображения предметов, даваемые линзами. 334 4.6 Тонкие линзы. Построение изображений Правила хода лучей в тонких линзах, сформулированные в предыдущем разделе, приводят нас к важнейшему утверждению. Теорема об изображении. Если перед линзой находится светящаяся точка S, то после пре- ломления в линзе все лучи 7 (или их продолжения) пересекаются в одной точке S 0 Точка S 0 называется изображением точки S. Если в точке S 0 пересекаются сами преломлённые лучи, то изображение называется действи- тельным. Оно может быть получено на экране, так как в точке S 0 концентрируется энергия световых лучей. Если же в точке S 0 пересекаются не сами преломлённые лучи, а их продолжения (так бывает, когда преломлённые лучи расходятся после линзы), то изображение называется мнимым. Его нельзя получить на экране, поскольку в точке S 0 не сосредоточено никакой энергии. Мнимое изображение, напомним, возникает благодаря особенности нашего мозга — достраивать рас- ходящиеся лучи до их мнимого пересечения и видеть в этом пересечении светящуюся точку. Мнимое изображение существует лишь в нашем сознании. Теорема об изображении служит основой построения изображений в тонких линзах. Мы докажем эту теорему как для собирающей, так и для рассеивающей линзы. 4.6.1 Собирающая линза: действительное изображение точки Сперва рассмотрим собирающую линзу. Пусть a — расстояние от точки S до линзы, f — фо- кусное расстояние линзы. Имеются два принципиально разных случая: a > f и a < f (а также промежуточный случай a = f ). Мы разберём эти случаи поочерёдно; в каждом из них мы обсудим свойства изображений точечного источника и протяжённого объекта. Первый случай: a > f . Точечный источник света S расположен дальше от линзы, чем левая фокальная плоскость (рис. 4.39 ). O F F S A X P S 0 A 0 K Рис. 4.39. Случай a > f : действительное изображение точки S Луч SO, идущий через оптический центр, не преломляется. Мы возьмём произвольный луч SX, построим точку S 0 , в которой преломлённый луч пересекается с лучом SO, а затем по- кажем, что положение точки S 0 не зависит от выбора луча SX (иными словами, точка S 0 7 Напомним ещё раз, что это касается не вообще всех лучей, а только параксиальных, то есть образующих малые углы с главной оптической осью. В предыдущем разделе мы договорились, что рассматриваем только параксиальные лучи. Лишь для них работают наши правила хода лучей сквозь тонкие линзы. 335 является одной и той же для всевозможных лучей SX). Тем самым окажется, что все лу- чи, исходящие из точки S, после преломления в линзе пересекаются в точке S 0 , и теорема об изображении будет доказана для рассматриваемого случая a > f . Точку S 0 мы найдём, построив дальнейший ход луча SX. Делать это мы умеем: параллельно лучу SX проводим побочную оптическую ось OP до пересечения с фокальной плоскостью в побочном фокусе P , после чего проводим преломлённый луч XP — до пересечения с лучом SO в точке S 0 Теперь будем искать расстояние b от точки S 0 до линзы. Мы покажем, что это расстояние выражается только через a и f , т. е. определяется лишь положением источника и свойствами линзы, и не зависит тем самым от конкретного луча SX. Опустим перпендикуляры SA и S 0 A 0 на главную оптическую ось. Проведём также SK па- раллельно главной оптической оси, т. е. перпендикулярно линзе. Получим три пары подобных треугольников: ∆SAO ∼ ∆S 0 A 0 O, (4.6) ∆SXS 0 ∼ ∆OP S 0 , (4.7) ∆SXK ∼ ∆OP F. (4.8) В результате имеем следующую цепочку равенств (номер формулы над знаком равенства указывает, из какой пары подобных треугольников данное равенство получено). AO OA 0 ( 4.6 ) = SO OS 0 = SS 0 − OS 0 OS 0 = SS 0 OS 0 − 1 ( 4.7 ) = SX OP − 1 ( 4.8 ) = SK OF − 1. (4.9) Но AO = SK = a, OA 0 = b, OF = f , так что соотношение ( 4.9 ) переписывается в виде: a b = a f − 1. (4.10) Отсюда находим искомое расстояние от точки S 0 до линзы: b = af a − f (4.11) Как видим, оно и в самом деле не зависит от выбора луча SX. Следовательно, любой луч SX после преломления в линзе пройдёт через построенную нами точку S 0 , и эта точка будет действительным изображением источника S. Теорема об изображении в данном случае доказана. Практическая важность теоремы об изображении состоит вот в чём. Коль скоро все лучи источника S пересекаются после линзы в одной точке — его изображении S 0 — то для построения изображения достаточно взять два наиболее удобных луча. Какие именно? Если источник S не лежит на главной оптической оси, то в качестве удобных лучей годятся следующие: • луч, идущий через оптический центр линзы — он не преломляется; • луч, параллельный главной оптической оси — после преломления он идёт через фокус. Построение изображения с помощью этих лучей показано на рис. 4.40 336 O F F S A S 0 A 0 Рис. 4.40. Построение изображения точки S, не лежащей на главной оптической оси Если же точка S лежит на главной оптической оси, то удобный луч остаётся лишь один — идущий вдоль главной оптической оси. В качестве второго луча приходится брать «неудобный» (рис. 4.41 ). O F F S S 0 Рис. 4.41. Построение изображения точки S, лежащей на главной оптической оси Посмотрим ещё раз на выражение ( 4.10 ). Его можно записать в несколько ином виде, более симпатичном и запоминающемся. Перенесём сначала единицу влево: 1 + a b = a f Теперь разделим обе части этого равенства на a: 1 a + 1 b = 1 f (4.12) Соотношение ( 4.12 ) называется формулой тонкой линзы (или просто формулой линзы). Пока что формула линзы получена для случая собирающей линзы и для a > f . В дальнейшем мы выведем модификации этой формулы для остальных случаев. Теперь вернёмся к соотношению ( 4.11 ). Его важность не исчерпывается тем, что оно доказы- вает теорему об изображении. Мы видим также, что b не зависит от расстояния SA (рис. 4.39 , 4.40 ) между источником S и главной оптической осью! Это означает, что какую бы точку M отрезка SA мы ни взяли, её изображение будет нахо- диться на одном и том же расстоянии b от линзы. Оно будет лежать на отрезке S 0 A 0 — а именно, на пересечении отрезка S 0 A 0 с лучом M O, который пойдёт сквозь линзу без преломления. В частности, изображением точки A будет точка A 0 Тем самым мы установили важный факт: изображением отрезка SA служит отрезок S 0 A 0 Отныне исходный отрезок, изображение которого нас интересует, мы называем предметом и обозначаем на рисунках красной стрелочкой. Направление стрелки нам понадобится для того, чтобы следить — прямым или перевёрнутым получается изображение. 337 4.6.2 Собирающая линза: действительное изображение предмета Перейдём к рассмотрению изображений предметов. Напомним, что пока мы находимся в рамках случая a > f . Здесь можно выделить три характерных ситуации. 1. f < a < 2f . Изображение предмета является действительным, перевёрнутым, увеличен- ным (рис. 4.42 ; двойной фокус обозначен 2F ). Из формулы линзы следует, что в этом случае будет b > 2f (почему?). A B O F F 2F 2F A 0 B 0 Рис. 4.42. f < a < 2f : изображение действительное, перевёрнутое, увеличенное Такая ситуация реализуется, например, в диапроекторах и киноаппаратах — эти оптиче- ские приборы дают на экране увеличенное изображение того, что находится на плёнке. Если вам доводилось показывать слайды, то вы знаете, что слайд нужно вставлять в проектор перевёрнутым — чтобы изображение на экране выглядело правильно, а не по- лучилось вверх ногами. Отношение размера изображения к размеру предмета называется линейным увеличением линзы и обозначается Γ (это заглавная греческая «гамма»): Γ = A 0 B 0 AB Из подобия треугольников ABO и A 0 B 0 O получим: Γ = A 0 O AO = b a (4.13) Формула ( 4.13 ) применяется во многих задачах, где фигурирует линейное увеличение линзы. 2. a = 2f . Из формулы ( 4.11 ) находим, что и b = 2f . Линейное увеличение линзы согласно ( 4.13 ) равно единице, т. е. размер изображения равен размеру предмета (рис. 4.43 ). O F F 2F 2F Рис. 4.43. a = 2f : размер изображения равен размеру предмета 338 3. a > 2f . В этом случае из формулы линзы следует, что b < 2f (почему?). Линейное увели- чение линзы будет меньше единицы — изображение действительное, перевёрнутое, умень- шенное (рис. 4.44 ). A B O F F 2F 2F A 0 B 0 Рис. 4.44. a > 2f : изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное Данная ситуация является обычной для многих оптических приборов: фотоаппаратов, биноклей, телескопов — словом, тех, в которых получают изображения удалённых объ- ектов. По мере удаления предмета от линзы его изображение уменьшается в размерах и приближается к фокальной плоскости. Рассмотрение первого случая a > f нами полностью закончено. Переходим ко второму случаю. Он уже не будет столь объёмным. 4.6.3 Собирающая линза: мнимое изображение точки Второй случай: a < f . Точечный источник света S расположен между линзой и фокальной плоскостью (рис. 4.45 ). O F F S A X P E S 0 A 0 K Рис. 4.45. Случай a < f : мнимое изображение точки Наряду с лучом SO, идущим без преломления, мы снова рассматриваем произвольный луч SX. Однако теперь на выходе из линзы получаются два расходящихся луча OE и XP . Наш глаз продолжит эти лучи до пересечения в точке S 0 Теорема об изображении утверждает, что точка S 0 будет одной и той же для всех лучей SX, исходящих из точки S. Мы опять докажем это с помощью трёх пар подобных треугольников: ∆SAO ∼ ∆S 0 A 0 O, ∆SXS 0 ∼ ∆OP S 0 , ∆SXK ∼ ∆OP F. 339 Снова обозначая через b расстояние от S 0 до линзы, имеем соответствующую цепочку ра- венств (вы уже без труда в ней разберётесь): a b = AO A 0 O = SO S 0 O = S 0 O − S 0 S S 0 O = 1 − S 0 S S 0 O = 1 − SX OP = 1 − SK OF = 1 − a f (4.14) Отсюда b = f a f − a (4.15) Величина b не зависит от луча SX, что и доказывает теорему об изображении для нашего случая a < f . Итак, S 0 — мнимое изображение источника S. Если точка S не лежит на главной оптической оси, то для построения изображения S 0 удоб- нее всего брать луч, идущий через оптический центр, и луч, параллельный главной оптической оси (рис. 4.46 ). O F F S A S 0 A 0 Рис. 4.46. Построение изображения точки S, не лежащей на главной оптической оси Ну а если точка S лежит на главной оптической оси, то деваться некуда — придётся доволь- ствоваться лучом, падающим на линзу наклонно (рис. 4.47 ). O F F S S 0 Рис. 4.47. Построение изображения точки S, лежащей на главной оптической оси Соотношение ( 4.14 ) приводит нас к варианту формулы линзы для рассматриваемого случая a < f . Сначала переписываем это соотношение в виде: 1 − a b = a f , 340 а затем делим обе части полученного равенства на a: 1 a − 1 b = 1 f (4.16) Сравнивая ( 4.12 ) и ( 4.16 ), мы видим небольшую разницу: перед слагаемым 1/b стоит знак плюс, если изображение действительное, и знак минус, если изображение мнимое. Величина b, вычисляемая по формуле ( 4.15 ), не зависит также от расстояния SA между точкой S и главной оптической осью. Как и выше (вспомните рассуждение с точкой M ), это означает, что изображением отрезка SA на рис. 4.47 будет отрезок S 0 A 0 4.6.4 Собирающая линза: мнимое изображение предмета Учитывая это, мы легко строим изображение предмета, находящегося между линзой и фокаль- ной плоскостью (рис. 4.48 ). Оно получается мнимым, прямым и увеличенным. A B O F F A 0 B 0 Рис. 4.48. a < f : изображение мнимое, прямое, увеличенное Такое изображение вы наблюдаете, когда разглядываете мелкий предмет в увеличительное стекло — лупу. Случай a < f полностью разобран. Как видите, он качественно отличается от нашего пер- вого случая a > f . Это не удивительно — ведь между ними лежит промежуточный «катастро- фический» случай a = f . 4.6.5 Собирающая линза: предмет в фокальной плоскости O S F Рис. 4.49. a = f : изображение отсутствует Промежуточный случай: a = f . Источ- ник света S расположен в фокальной плоскости линзы (рис. 4.49 ). Как мы помним из предыдущего раздела, лучи параллельного пучка по- сле преломления в собирающей линзе пересекутся в фокальной плоскости — а именно, в главном фокусе, если пу- чок падает перпендикулярно линзе, и в побочном фокусе при наклонном паде- нии пучка. Воспользовавшись обрати- мостью хода лучей, мы заключаем, что 341 все лучи источника S, расположенного в фокальной плоскости, после выхода из линзы пойдут параллельно друг другу. Где же изображение точки S? Изображения нет. Впрочем, никто не запрещает нам считать, что параллельные лучи пересекаются в бесконечно удалённой точке. Тогда теорема об изобра- жении сохраняет свою силу и в данном случае — изображение S 0 находится на бесконечности. Соответственно, если предмет целиком расположен в фокальной плоскости, изображение этого предмета будет находиться на бесконечности (или, что то же самое, будет отсутствовать). Итак, мы полностью рассмотрели построение изображений в собирающей линзе. 4.6.6 Рассеивающая линза: мнимое изображение точки К счастью, здесь нет такого разнообразия ситуаций, как для собирающей линзы. Характер изображения не зависит от того, на каком расстоянии предмет находится от рассеивающей линзы, так что случай тут будет один-единственный. Снова берём луч SO и произвольный луч SX (рис. 4.50 ). На выходе из линзы имеем два расходящихся луча OE и XY , которые наш глаз достраивает до пересечения в точке S 0 O F F S A X P Y E S 0 A 0 K Рис. 4.50. Мнимое изображение точки S в рассеивающей линзе Нам снова предстоит доказать теорему об изображении — о том, что точка S 0 будет одной и той же для всех лучей SX. Действуем с помощью всё тех же трёх пар подобных треугольников: ∆SAO ∼ ∆S 0 A 0 O, ∆SXS 0 ∼ ∆OP S 0 , ∆SXK ∼ ∆OP F. Имеем: a b = AO A 0 O = SO S 0 O = SS 0 + S 0 O S 0 O = SS 0 S 0 O + 1 = SX OP + 1 = SK OF + 1 = a f + 1. (4.17) Отсюда b = af a + f (4.18) 342 Величина b не зависит от луча SX, поэтому продолжения всех преломлённых лучей XY пе- ресекутся в точке S 0 — мнимом изображении точки S. Теорема об изображении тем самым полностью доказана. Вспомним, что для собирающей линзы мы получили аналогичные формулы ( 4.11 ) и ( 4.15 ). В случае a = f их знаменатель обращался в нуль (изображение уходило на бесконечность), и поэтому данный случай разграничивал принципиально разные ситуации a > f и a < f . А вот у формулы ( 4.18 ) знаменатель не обращается в нуль ни при каком a. Стало быть, для рассеивающей линзы не существует качественно разных ситуаций расположения источника — случай тут, как мы и сказали выше, имеется только один. Если точка S не лежит на главной оптической оси, то для построения её изображения удобны два луча: один идёт через оптический центр, другой — параллельно главной оптической оси (рис. 4.51 ). O F F S A S 0 A 0 Рис. 4.51. Построение изображения точки S, не лежащей на главной оптической оси Если же точка S лежит на главной оптической оси, то второй луч приходится брать произ- вольным (рис. 4.52 ). O F S S 0 Рис. 4.52. Построение изображения точки S, лежащей на главной оптической оси Соотношение ( 4.18 ) даёт нам ещё один вариант формулы линзы. Сначала перепишем: 1 − a b = − a f , а потом разделим обе части полученного равенства на a: 1 a − 1 b = − 1 f (4.19) 343 Так выглядит формула линзы для рассеивающей линзы. Три формулы линзы ( 4.12 ), ( 4.16 ) и ( 4.19 ) можно записать единообразно: 1 a + 1 b = 1 f , если соблюдать следующую договорённость о знаках: • для мнимого изображения величина b считается отрицательной; • для рассеивающей линзы величина f считается отрицательной. Это очень удобно и охватывает все рассмотренные случаи. 4.6.7 Рассеивающая линза: мнимое изображение предмета Величина b, вычисляемая по формуле ( 4.18 ), опять-таки не зависит от расстояния SA между точкой S и главной оптической осью. Это снова даёт нам возможность построить изображение предмета AB, которое на сей раз получается мнимым, прямым и уменьшенным (рис. 4.53 ). A B O F F A 0 B 0 Рис. 4.53. Изображение мнимое, прямое, уменьшенное 344 4.7 Глаз человека Глаз — удивительно сложная и совершенная оптическая система, созданная природой. Сейчас мы в общих чертах узнаем, как функционирует человеческий глаз. Впоследствии это позволит нам лучше понять принципы работы оптических приборов; да, кроме того, это интересно и важно само по себе. 4.7.1 Строение глаза Мы ограничимся рассмотрением лишь самых основных элементов глаза. Они показаны 8 на рис. 4.54 (правый глаз, вид сверху). Рис. 4.54. Строение глаза Лучи, идущие от предмета (в данном случае предметом является фигура человека), попа- дают на роговицу — переднюю прозрачную часть защитной оболочки глаза. Преломляясь в роговице и проходя сквозь зрачок (отверстие в радужной оболочке глаза), лучи испытывают вторичное преломление в хрусталике. Хрусталик является собирающей линзой с переменным фокусным расстоянием; он может менять свою кривизну (и тем самым фокусное расстояние) под действием специальной глазной мышцы. Преломляющая система роговицы и хрусталика формирует на сетчатке изображение пред- мета. Сетчатка состоит из светочувствительных палочек и колбочек — нервных окончаний зри- тельного нерва. Падающий свет вызывает раздражение этих нервных окончаний, и зрительный нерв передаёт соответствующие сигналы в мозг. Так в нашем сознании формируются образы предметов — мы видим окружающий мир. Ещё раз взгляните на рис. 4.54 и обратите внимание, что изображение разглядываемого предмета на сетчатке — действительное, перевёрнутое и уменьшенное. Так получается потому, что предметы, рассматриваемые глазом без напряжения, расположены за двойным фокусом системы роговица-хрусталик (помните случай a > 2f для собирающей линзы?). То, что изображение является действительным, понятно: на сетчатке должны пересекаться сами лучи (а не их продолжения), концентрируя световую энергию и вызывая раздражения палочек и колбочек. Насчёт того, что изображение является уменьшенным, тоже вопросов не возникает. А ка- ким же ему ещё быть? Диаметр глаза равен примерно 25 мм, а поле нашего зрения попадают предметы куда большего размера. Естественно, глаз отображает их на сетчатке в уменьшенном виде. Но вот как быть с тем, что изображение на сетчатке является перевёрнутым? Почему же тогда мы видим мир не вверх ногами? Здесь подключается корректирующее действие нашего 8 Изображение заимствовано с сайта « Детская энциклопедия What This ». 345 мозга. Оказывается, кора головного мозга, обрабатывая изображение на сетчатке, переворачи- вает картинку обратно! Это установленный факт, проверенный экспериментами. Как мы уже сказали, хрусталик — это собирающая линза с переменным фокусным рассто- янием. Но зачем хрусталику менять своё фокусное расстояние? 4.7.2 Аккомодация Представьте себе, что вы смотрите на приближающегося к вам человека. Вы всё время чётко его видите. Каким образом глазу удаётся это обеспечивать? Чтобы лучше понять суть вопроса, давайте вспомним формулу линзы: 1 a + 1 b = 1 f В данном случае a — это расстояние от глаза до предмета, b — расстояние от хрусталика до сетчатки, f — фокусное расстояние оптической системы глаза. Величина b является неиз- менной, поскольку это геометрическая характеристика глаза. Следовательно, чтобы формула линзы оставалась справедливой, вместе с расстоянием a до разглядываемого предмета должно меняться и фокусное расстояние f . Например, если предмет приближается к глазу, то a уменьшается, поэтому и f должно уменьшаться. Для этого глазная мышца деформирует хрусталик, делая его более выпуклым и уменьшая тем самым фокусное расстояние до нужной величины. При удалении предмета, наоборот, кривизна хрусталика уменьшается, а фокусное расстояние возрастает. Описанный механизм самонастройки глаза называется аккомодацией. Итак, аккомодация — это способность глаза отчётливо видеть предметы на различных расстояниях. В процессе аккомодации кривизна хрусталика меняется так, что изображение предмета всегда оказывается на сетчатке. Аккомодация глаза совершается бессознательно и очень быстро. Эластичный хрусталик мо- жет легко менять свою кривизну в определённых пределах. Этим естественным пределам де- формации хрусталика отвечает область аккомодации — диапазон расстояний, на которых глаз способен чётко видеть предметы. Область аккомодации характеризуется своими границами — дальней и ближней точками аккомодации. Дальняя точка аккомодации 9 — это точка нахождения предмета, изображение которого на сетчатке получается при расслабленной глазной мышце, т. е. когда хрусталик не деформирован. Ближняя точка аккомодации 10 — это точка нахождения предмета, изображение которого на сетчатке получается при наибольшем напряжении глазной мышцы, т. е. при максимально возможной деформации хрусталика. Дальняя точка аккомодации нормального глаза находится на бесконечности: в ненапряжён- ном состоянии глаз фокусирует параллельные лучи на сетчатке (рис. 4.55 , слева). Иными сло- вами, фокусное расстояние оптической системы нормального глаза при недеформированном хрусталике равно расстоянию от хрусталика до сетчатки. Ближняя точка аккомодации нормального глаза расположена на некотором расстоянии d min от него (рис. 4.55 , справа; хрусталик максимально деформирован). Это расстояние с возрастом увеличивается. Так, у десятилетнего ребёнка d min ≈ 7 см; в возрасте 30 лет d min ≈ 15 см; к 45 годам ближняя точка аккомодации находится уже на расстоянии 20–25 см от глаза. 9 Другое название — дальняя точка ясного видения. 10 Другое название — ближняя точка ясного видения. 346 S d min Рис. 4.55. Дальняя и ближняя точки аккомодации нормального глаза Теперь мы переходим к простому, но очень важному понятию угла зрения. Оно является ключевым для понимания принципов работы различных оптических приборов. 4.7.3 Угол зрения Когда мы хотим получше рассмотреть предмет, мы приближаем его к глазам. Чем ближе пред- мет, тем больше его деталей оказываются различимыми. Почему так получается? Давайте посмотрим на рис. 4.56 . Пусть стрелка AB — рассматриваемый предмет, O — оп- тический центр глаза. Проведём лучи AO и BO (которые не преломляются) и получим на сетчатке изображение нашего предмета — красную изогнутую стрелочку. O A B α Рис. 4.56. Предмет далеко, угол зрения мал Угол α = ∠AOB называется углом зрения. Если предмет расположен далеко от глаза, то угол зрения мал, и размер изображения на сетчатке также оказывается малым. Но если предмет расположить ближе, то угол зрения увеличивается (рис. 4.57 ). Соответ- ственно увеличивается и размер изображения на сетчатке. Сравните рис. 4.56 и рис. 4.57 — во втором случае изогнутая стрелочка оказывается явно длиннее! O A B α Рис. 4.57. Предмет близко, угол зрения велик Размер изображения на сетчатке — вот что важно для подробного разглядывания предмета. Сетчатка, напомним, состоит из нервных окончаний зрительного нерва. Поэтому чем крупнее изображение на сетчатке, тем больше нервных окончаний раздражается идущими от предмета световыми лучами, тем больший поток информации о предмете направляется по зрительному 347 нерву в мозг — и, следовательно, тем больше подробностей мы различаем, тем лучше мы видим предмет! Ну а размер изображения на сетчатке, как мы уже убедились из рисунков 4.56 и 4.57 , напря- мую зависит от угла зрения: чем больше угол зрения, тем крупнее изображение. Поэтому вывод: увеличивая угол зрения, мы различаем больше подробностей рассматриваемого объекта. Вот почему мы одинаково плохо видим как мелкие объекты, пусть и находящиеся рядом, так и крупные объекты, но расположенные далеко. В обоих случаях угол зрения мал, и на сетчатке раздражается небольшое число нервных окончаний. Известно, кстати, что если угол зрения меньше одной угловой минуты (1/60 градуса), то раздражается лишь одно нервное окончание. В этом случае мы воспринимаем объект просто как точку, лишённую деталей. 4.7.4 Расстояние наилучшего зрения Итак, приближая предмет, мы увеличиваем угол зрения и различаем больше деталей. Казалось бы, оптимального качества видения мы достигнем, если расположим предмет максимально близко к глазу — в ближней точке аккомодации (в среднем это 10–15 см от глаза). Однако мы так не поступаем. Например, читая книгу, мы держим её на расстоянии при- мерно 25 см. Почему же мы останавливаемся на этом расстоянии, хотя ещё имеется ресурс дальнейшего увеличения угла зрения? Дело в том, что при достаточно близком расположении предмета хрусталик чрезмерно де- формируется. Конечно, глаз ещё способен чётко видеть предмет, но при этом быстро утомля- ется, и мы испытываем неприятное напряжение. Величина d 0 = 25 см называется расстоянием наилучшего зрения для нормального глаза. При таком расстоянии достигается компромисс: угол зрения уже достаточно велик, и в то же время глаз не утомляется ввиду не слишком большой деформации хрусталика. Поэтому с расстояния наилучшего зрения мы можем полноценно созерцать предмет в течении весьма долгого времени. 4.7.5 Близорукость Напомним, что фокусное расстояние нормального глаза в расслабленном состоянии равно рас- стоянию от оптического центра до сетчатки. Нормальный глаз фокусирует параллельные лучи на сетчатке и поэтому может чётко видеть удалённые предметы, не испытывая напряжения. Близорукость — это дефект зрения, при котором фокусное расстояние расслабленного гла- за меньше расстояния от оптического центра до сетчатки. Близорукий глаз фокусирует па- раллельные лучи перед сетчаткой, и от этого изображения удалённых объектов оказываются размытыми (рис. 4.58 ; хрусталик не изображаем). Рис. 4.58. Близорукость Потеря чёткости изображения наступает, когда предмет находится дальше определённого расстояния. Это расстояние соответствует дальней точке аккомодации близорукого глаза. Та- 348 ким образом, если у человека с нормальным зрением дальняя точка аккомодации находится на бесконечности, то у близорукого человека дальняя точка аккомодации расположена на конеч- ном расстоянии перед ним. Соответственно, ближняя точка аккомодации у близорукого глаза находится ближе, чем у нормального. Расстояние наилучшего зрения для близорукого человека меньше 25 см. Близорукость корректируется с помощью очков с рассеивающими линзами. Проходя через рассеивающую линзу, параллельный пучок света становится расходящимся, в результате чего изображение бесконечно удалённой точки отодвигается на сетчатку (рис. 4.59 ). Если при этом мысленно продолжить расходящиеся лучи, попадающие в глаз, то они соберутся в дальней точке аккомодации A. A Рис. 4.59. Коррекция близорукости с помощью очков Таким образом, близорукий глаз, вооружённый подходящими очками, воспринимает парал- лельный пучок света как исходящий из дальней точки аккомодации. Вот почему близорукий человек в очках может отчётливо рассматривать удалённые предметы без напряжения в глазах. Из рис. 4.59 мы видим также, что фокусное расстояние подходящей линзы равно расстоянию от глаза до дальней точки аккомодации. 4.7.6 Дальнозоркость Дальнозоркость — это дефект зрения, при котором фокусное расстояние расслабленного глаза больше расстояния от оптического центра до сетчатки. Дальнозоркий глаз фокусирует параллельные лучи за сетчаткой, отчего изображения уда- лённых объектов оказываются размытыми (рис. 4.60 ). Рис. 4.60. Дальнозоркость На сетчатке же фокусируется сходящийся пучок лучей. Поэтому дальняя точка аккомода- ции дальнозоркого глаза оказывается мнимой: в ней пересекаются мысленные продолжения лучей сходящегося пучка, попадающего на глаз (мы увидим это ниже на рис. 4.61 ). Ближняя точка аккомодации у дальнозоркого глаза расположена дальше, чем у нормаль- ного. Расстояние наилучшего зрения для дальнозоркого человека больше 25 см. 349 Дальнозоркость корректируется с помощью очков с собирающими линзами. После прохож- дения собирающей линзы параллельный пучок света становится сходящимся и затем фокуси- руется на сетчатке (рис. 4.61 ). A Рис. 4.61. Коррекция дальнозоркости с помощью очков Параллельные лучи после преломления в линзе идут так, что продолжения преломлённых лучей пересекаются в дальней точке аккомодации A. Поэтому дальнозоркий человек, воору- жённый подходящими очками, будет отчётливо и без напряжения рассматривать удалённые предметы. Мы также видим из рис. 4.61 , что фокусное расстояние подходящей линзы равно расстоянию от глаза до мнимой дальней точки аккомодации. 350 4.8 Оптические приборы Как мы знаем из предыдущего раздела, для более подробного разглядывания объекта нужно увеличить угол зрения. Тогда изображение объекта на сетчатке будет крупнее, и это приведёт к раздражению большего числа нервных окончаний зрительного нерва; в мозг направится боль- шее количество визуальной информации, и мы сможем увидеть новые детали рассматриваемого объекта. Почему угол зрения бывает малым? На то есть две причины: 1) объект сам по себе имеет малый размер; 2) объект, хотя и достаточно велик по размерам, но расположен далеко. Оптические приборы — это приспособления для увеличения угла зрения. Для рассматрива- ния малых объектов используются лупа и микроскоп. Для рассматривания далёких объектов применяются зрительные трубы (а также бинокли, телескопы и т. д.). 4.8.1 Невооружённый глаз Начинаем с рассматривания мелких объектов невооружённым глазом. Здесь и далее глаз счи- тается нормальным. Напомним, что нормальный глаз в ненапряжённом состоянии фокусирует на сетчатке параллельный пучок света, а расстояние наилучшего зрения для нормального глаза равно d 0 = 25 см. Пусть небольшой предмет размером h находится на расстоянии наилучшего зрения d 0 от глаза (рис. 4.62 ). На сетчатке возникает перевёрнутое изображение предмета, но, как вы помни- те, это изображение затем вторично переворачивается в коре головного мозга, и в результате мы видим предмет нормально — не вверх ногами. h r l 0 ϕ 0 d 0 Рис. 4.62. Рассматривание мелкого предмета невооружённым глазом Ввиду малости предмета угол зрения ϕ 0 также является малым. Напомним, что малый угол (в радианах) почти не отличается от своего тангенса: ϕ 0 ≈ tg ϕ 0 . Поэтому: ϕ 0 = h d 0 (4.20) Если r — расстояние от оптического центра глаза до сетчатки, то размер изображения на сетчатке будет равен: l 0 = rϕ 0 (4.21) Из ( 4.20 ) и ( 4.21 ) имеем также: l 0 = rh d 0 (4.22) Как известно, диаметр глаза составляет около 2,5 см, так что r/d 0 ≈ 0,1. Поэтому из ( 4.22 ) следует, что при рассматривании мелкого предмета невооружённым глазом изображение пред- мета на сетчатке примерно в 10 раз меньше самого предмета. 351 4.8.2 Лупа Укрупнить изображение объекта на сетчатке можно с помощью лупы (увеличительного стекла). Лупа — это просто собирающая линза (или система линз); фокусное расстояние лупы обычно находится в диапазоне от 5 до 125 мм. Предмет, разглядываемый через лупу, помещается в её фокальной плоскости (рис. 4.63 ). В таком случае лучи, исходящие из каждой точки предмета, после прохождения лупы становятся параллельными, и глаз фокусирует их на сетчатке, не испытывая напряжения. h r l f ϕ ϕ Рис. 4.63. Рассматривание предмета через лупу Теперь, как видим, угол зрения равен ϕ. Он также мал и приблизительно равен своему тангенсу: ϕ = h f (4.23) Размер l изображения на сетчатке теперь равен: l = rϕ, (4.24) или, с учётом ( 4.23 ): l = rh f (4.25) Как и на рис. 4.62 , красная стрелочка на сетчатке также направлена вниз. Это означает, что (с учётом вторичного переворачивания изображения нашим сознанием) в лупу мы видим неперевёрнутое изображение предмета. Увеличение лупы — это отношение размера изображения при использовании лупы к размеру изображения при рассматривании предмета невооружённым глазом: Γ = l l 0 (4.26) Подставляя сюда выражения ( 4.25 ) и ( 4.22 ), получим: Γ = d 0 f (4.27) Например, если фокусное расстояние лупы равно 5 см, то её увеличение Γ = 25/5 = 5. При рассматривании через такую лупу объект кажется в пять раз больше, чем при рассматривании его невооружённым глазом. Подставим также в формулу ( 4.26 ) соотношения ( 4.24 ) и ( 4.21 ): Γ = rϕ rϕ 0 = ϕ ϕ 0 352 Таким образом, увеличение лупы есть угловое увеличение: оно равно отношению угла зре- ния при рассматривании объекта через лупу к углу зрения при рассматривании этого объекта невооружённым глазом. Отметим, что увеличение лупы есть величина субъективная — ведь величина d 0 в формуле ( 4.27 ) есть расстояние наилучшего зрения для нормального глаза. В случае близорукого или дальнозоркого глаза расстояние наилучшего зрения будет соответственно меньше или больше. Из формулы ( 4.27 ) следует, что увеличение лупы тем больше, чем меньше её фокусное расстояние. Уменьшение фокусного расстояния собирающей линзы достигается за счёт увели- чения кривизны преломляющих поверхностей: линзу надо делать более выпуклой и тем самым уменьшать её размеры. Когда увеличение Γ достигает 40–50, размер лупы становится равным нескольким миллиметрам. При ещё меньших размерах лупы пользоваться ей станет невозмож- но, поэтому Γ = 50 считается верхней границей увеличения лупы. 4.8.3 Микроскоп Во многих случаях (например, в биологии, медицине и т. д.) нужно наблюдать мелкие объек- ты с увеличением в несколько сотен. Лупой тут не обойдёшься, и люди прибегают к помощи микроскопа. Микроскоп содержит две собирающие линзы (или две системы таких линз) — объектив и окуляр. Запомнить это просто: объектив обращён к объекту, а окуляр — к глазу (к оку). Идея микроскопа проста. Рассматриваемый объект находится между фокусом и двойным фокусом объектива, так что объектив даёт увеличенное (действительное перевёрнутое) изобра- жение объекта. Это изображение располагается в фокальной плоскости окуляра и затем рас- сматривается в окуляр как в лупу. В результате удаётся достичь итогового увеличения, гораздо большего 50. Ход лучей в микроскопе показан на рис. 4.64 h Ob F 1 f 1 Ok H ϕ F 2 f 2 δ l Рис. 4.64. Ход лучей в микроскопе Обозначения на рисунке понятны: f 1 — фокусное расстояние объектива Ob; f 2 — фокус- ное расстояние окуляра Ok; h — размер объекта; H — размер изображения объекта, даваемого объективом. Расстояние δ = F 1 F 2 между фокальными плоскостями объектива и окуляра назы- вается оптической длиной тубуса микроскопа. Обратите внимание, что красная стрелочка на сетчатке направлена вверх. Мозг вторич- но перевернёт её, и в результате объект при рассмотрении в микроскоп будет казаться пере- вёрнутым. Чтобы этого не происходило, в микроскопе используются промежуточные линзы, дополнительно переворачивающие изображение. Увеличение микроскопа определяется точно так же, как и для лупы: Γ = l/l 0 = ϕ/ϕ 0 . Здесь, как и выше, l и ϕ — размер изображения на сетчатке и угол зрения при рассматривании объекта в микроскоп, l 0 и ϕ 0 — те же величины при рассматривании объекта невооружённым глазом. 353 Имеем по-прежнему ϕ 0 = h/d 0 , а угол ϕ, как видно из рис. 4.64 , равен: ϕ = H f 2 Деля ϕ на ϕ 0 , получим для увеличения микроскопа: Γ = Hd 0 hf 2 (4.28) Это, разумеется, не окончательная формула: в ней присутствуют h и H (величины, относящиеся к объекту), а хотелось бы видеть характеристики микроскопа. Ненужное нам отношение H/h мы устраним с помощью формулы линзы. Для начала ещё раз посмотрим на рис. 4.64 и используем подобие прямоугольных треуголь- ников с красными катетами H и h: H h = b a Здесь b = f 1 + δ — расстояние от изображения H до объектива, a — расстояние от объекта h до объектива. Теперь привлекаем формулу линзы для объектива: 1 a + 1 b = 1 f 1 , из которой получаем: b a = b − f 1 f 1 Итак, H h = b − f 1 f 1 = δ f 1 , и это выражение мы подставляем в ( 4.28 ): Γ = δd 0 f 1 f 2 (4.29) Вот это и есть окончательное выражение для увеличения, даваемого микроскопом. На- пример, если фокусное расстояние объектива равно f 1 = 1 см, фокусное расстояние окуляра f 2 = 2 см, а оптическая длина тубуса δ = 20 см, то согласно формуле ( 4.29 ) увеличение микро- скопа равно: Γ = 20 см · 25 см 1 см · 2 см = 250. Сравните это с увеличением одного только объектива, которое вычисляется по формуле ( 4.27 ): Γ 1 = d 0 f 1 = 25 см 1 см = 25. Увеличение микроскопа в 10 раз больше! Теперь мы переходим к объектам, которые достаточно крупны, но находятся слишком да- леко от нас. Чтобы рассматривать их получше, применяются зрительные трубы — подзорные трубы, бинокли, телескопы и т. д. Объективом зрительной трубы служит собирающая линза (или система линз) с достаточно большим фокусным расстоянием. А вот окуляром может быть как собирающая, так и рассеи- вающая линза. Соответственно имеются два вида зрительных труб: • труба Кеплера — если окуляр является собирающей линзой; • труба Галилея — если окуляр является рассеивающей линзой. Рассмотрим подробнее, как работают эти зрительные трубы. 354 4.8.4 Труба Кеплера Принцип действия трубы Кеплера очень прост: объектив даёт изображение удалённого объ- екта в своей фокальной плоскости, а затем это изображение рассматривается в окуляр как в лупу. Таким образом, задняя фокальная плоскость объектива совпадает с передней фокальной плоскостью окуляра. Ход лучей в трубе Кеплера изображён на рис. 4.65 A Ob f 1 Ok f 2 B ϕ 0 ϕ 0 B A 0 B 0 H ϕ ϕ Рис. 4.65. Объектом служит далеко расположенная стрелка AB, направленная вертикально вверх; она не показана на рисунке. Луч из точки A идёт вдоль главной оптической оси объектива и окуляра. Из точки B идут два луча, которые ввиду удалённости объекта можно считать параллельными. В результате изображение A 0 B 0 нашего объекта, даваемое объективом, расположено в фо- кальной плоскости объектива и является действительным, перевёрнутым и уменьшенным. Раз- мер изображения обозначим H. Невооружённым глазом объект виден под углом ϕ 0 . Согласно рис. 4.65 : ϕ 0 = H f 1 , (4.30) где f 1 — фокусное расстояние объектива. Изображение объекта мы видим в окуляр под углом ϕ, который равен: ϕ = H f 2 , (4.31) где f 2 — фокусное расстояние окуляра. Увеличение зрительной трубы — это отношение угла зрения при наблюдении в трубу к углу зрения при наблюдении невооружённым глазом: Γ = ϕ ϕ 0 Согласно формулам ( 4.31 ) и ( 4.30 ) получаем: Γ = f 1 f 2 (4.32) Например, если фокусное расстояние объектива равно 1 м, а фокусное расстояние окуляра равно 2 см, то увеличение зрительной трубы окажется равным: Γ = 100/2 = 50. 355 Ход лучей в трубе Кеплера принципиально тот же, что и в микроскопе. Изображением объекта на сетчатке также будет стрелочка, направленная вверх, и поэтому в трубе Кепле- ра мы увидим объект перевёрнутым. Во избежании этого в пространстве между объективом и окуляром ставят специальные оборачивающие системы линз или призм, которые ещё раз переворачивают изображение. 4.8.5 Труба Галилея Галилей изобрёл свой телескоп в 1609 году, и его астрономические открытия потрясли совре- менников. Он обнаружил спутники Юпитера и фазы Венеры, разглядел лунный рельеф (горы, впадины, долины) и пятна на Солнце, а сплошной с виду Млечный Путь оказался скоплением звёзд. Окуляром трубы Галилея служит рассеивающая линза; задняя фокальная плоскость объ- ектива совпадает с задней фокальной плоскостью окуляра (рис. 4.66 ). A Ob Ok B ϕ 0 ϕ 0 A 0 B 0 H B ϕ f 2 f 1 Рис. 4.66. Если бы окуляра не было, то изображение A 0 B 0 удалённой стрелки AB находилось бы в фокальной плоскости объектива. На рисунке это изображение показано пунктиром — ведь в реальности его там нет! А нет его там потому, что лучи от точки B, которые после прохождения объектива стали сходящимися к точке B 0 , не доходят до B 0 и попадают на окуляр. После окуляра они вновь становятся параллельными и поэтому воспринимаются глазом без напряжения. Но теперь мы видим изображение объекта под углом ϕ, который больше угла зрения ϕ 0 при рассматривании объекта невооружённым глазом. Из рис. 4.66 имеем: ϕ = H f 2 , ϕ 0 = H f 1 , и для увеличения трубы Галилея мы получаем ту же формулу ( 4.32 ), что и для трубы Кеплера: Γ = ϕ ϕ 0 = f 1 f 2 Заметьте, что при том же увеличении труба Галилея меньше размером, чем труба Кеплера. Поэтому одно из основных применений трубы Галилея — театральные бинокли. |