. Где же именно?
Посмотрите ещё раз внимательно на рис. 1. Не возникает ли у вас интуитивное ощуще- ние, что средняя мощность соответствует «середине» нашей синусоиды и принимает поэтому значение P
0
/2?
Это ощущение совершенно верное! Так оно и есть. Разумеется, можно дать математически строгое определение среднего значения функции (в виде некоторого интеграла) и подтвердить нашу догадку прямым вычислением, но нам это не нужно. Достаточно интуитивного понимания простого и важного факта:
среднее значение квадрата синуса (или косинуса) за период равно 1/2.
Этот факт иллюстрируется рисунком
3.122
x y
0
y = sin
2
x
1 1
2
Рис. 3.122. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2
Итак, для среднего значения P мощности тока на резисторе имеем:
P =
P
0 2
=
U
0
I
0 2
=
I
2 0
R
2
=
U
2 0
2R
(3.120)
286
В связи с этими формулами вводятся так называемые действующие (или эффективные)
значения напряжения и силы тока
47
:
U =
U
0
√
2
,
I =
I
0
√
2
(3.121)
Формулы (
3.120
), записанные через действующие значения, полностью аналогичны соответ- ствующим формулам для постоянного тока:
P = U I = I
2
R =
U
2
R
Поэтому если вы возьмёте лампочку, подключите её сначала к источнику постоянного напря- жения U , а затем к источнику переменного напряжения с таким же действующим значением U ,
то в обоих случаях лампочка будет гореть одинаково ярко.
Действующие значения (
3.121
) чрезвычайно важны для практики. Оказывается, вольтмет- ры и амперметры переменного тока показывают именно действующие значения (так уж они устроены). Знайте также, что пресловутые 220 вольт из розетки — это действующее значение напряжения бытовой электросети.
3.24.2
Мощность тока через конденсатор
Пусть на конденсатор подано переменное напряжение U = U
0
sin ωt. Как мы знаем, ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на π/2:
I = I
0
sin
ωt +
π
2
= I
0
cos ωt.
Для мгновенной мощности получаем:
P = U I = U
0
I
0
sin ωt cos ωt =
1 2
U
0
I
0
sin 2ωt,
или
P = P
0
sin 2ωt.
(3.122)
Здесь введено обозначение P
0
= U
0
I
0
/2. График зависимости (
3.122
) мгновенной мощности от времени представлен на рис.
3.123
t
P
0
P
0
−P
0
Рис. 3.123. Мощность переменного тока через конденсатор
Чему равно среднее значение мощности? Оно соответствует «середине» синусоиды и в дан- ном случае равно нулю! Мы видим это сейчас как математический факт. Но интересно было
47
На самом деле это есть не что иное, как средние квадратические значения напряжения и тока. Такое вам уже встречалось: средняя квадратическая скорость молекул идеального газа.
287
бы с физической точки зрения понять, почему мощность тока через конденсатор оказывается нулевой.
Для этого давайте нарисуем графики напряжения и силы тока в конденсаторе на протяже- нии одного периода колебаний (рис.
3.124
).
t
U, I
0
U = U (t)
I = I(t)
T
4
T
2 3T
4
T
Рис. 3.124. Напряжение на конденсаторе и сила тока через него
Рассмотрим последовательно все четыре четверти периода.
1. Первая четверть, 0 < t < T /4. Напряжение положительно и возрастает. Ток положите- лен (течёт в положительном направлении), конденсатор заряжается. По мере увеличения заряда на конденсаторе сила тока убывает.
Мгновенная мощность положительна: конденсатор накапливает энергию, поступающую из внешней цепи. Эта энергия возникает за счёт
работы внешнего электрического поля,
продвигающего заряды на конденсатор.
2. Вторая четверть, T /4 < t < T /2. Напряжение продолжает оставаться положительным,
но идёт на убыль. Ток меняет направление и становится отрицательным: конденсатор разряжается против направления внешнего электрического поля. В конце второй четверти конденсатор полностью разряжен.
Мгновенная мощность отрицательна: конденсатор отдаёт энергию. Эта энергия возвра- щается в цепь: она идёт на совершение работы против электрического поля внешней цепи
(конденсатор как бы «продавливает» заряды в направлении, противоположном тому, в котором внешнее поле «хочет» их двигать).
3. Третья четверть, T /2 < t < 3T /4. Внешнее электрическое поле меняет направление:
напряжение отрицательно и возрастает по модулю. Сила тока отрицательна: идёт зарядка конденсатора в отрицательном направлении.
Ситуация полностью аналогична первой четверти, только знаки напряжения и тока —
противоположные. Мощность положительна: конденсатор вновь накапливает энергию.
4. Четвёртая четверть, 3T /4 < t < T . Напряжение отрицательно и убывает по модулю.
Конденсатор разряжается против внешнего поля: сила тока положительна.
Мощность отрицательна: конденсатор возвращает энергию в цепь. Ситуация аналогична второй четверти — опять-таки с заменой заменой знаков тока и напряжения на противо- положные.
Мы видим, что энергия, забранная конденсатором из внешней цепи в ходе первой четверти периода колебаний, полностью возвращается в цепь в ходе второй четверти. Затем этот про- цесс повторяется вновь и вновь. Вот почему средняя мощность, потребляемая конденсатором,
оказывается равной нулю.
288
3.24.3
Мощность тока через катушку
Пусть на катушку подано переменное напряжение U = U
0
sin ωt. Ток через катушку отстаёт по фазе от напряжения на π/2:
I = I
0
sin
ωt −
π
2
= −I
0
cos ωt.
Для мгновенной мощности получаем:
P = U I = −U
0
I
0
sin ωt cos ωt = −
1 2
U
0
I
0
sin 2ωt = −P
0
sin 2ωt.
Снова средняя мощность оказывается равной нулю. Причины этого, в общем-то, те же, что и в случае с конденсатором. Рассмотрим графики напряжения и силы тока через катушку за период (рис.
3.125
).
t
U, I
O
U = U (t)
I = I(t)
T
4
T
2 3T
4
T
Рис. 3.125. Напряжение на катушке и сила тока через неё
Мы видим, что в течение второй и четвёртой четвертей периода энергия поступает в катушку из внешней цепи. В самом деле, напряжение и сила тока имеют одинаковые знаки, сила тока возрастает по модулю; для создания тока внешнее электрическое поле совершает работу против вихревого электрического поля, и эта работа идёт на увеличение энергии магнитного поля катушки.
В первой и третьей четвертях периода напряжение и сила тока имеют разные знаки: катушка возвращает энергию в цепь.
Вихревое электрическое поле, поддерживающее убывающий ток,
двигает заряды против внешнего электрического поля и совершает тем самым положительную работу. А за счёт чего совершается эта работа? За счёт энергии, накопленной ранее в катушке.
Таким образом, энергия, запасаемая в катушке за одну четверть периода, полностью возвра- щается в цепь в ходе следующей четверти. Поэтому средняя мощность, потребляемая катушкой,
оказывается равной нулю.
3.24.4
Мощность тока на произвольном участке
Теперь рассмотрим самый общий случай. Пусть имеется произвольный участок цепи — он может содержать резисторы, конденсаторы, катушки. . . На этот участок подано переменное напряжение U = U
0
sin ωt.
Как мы знаем из предыдущего раздела «Переменный ток. 2», между напряжением и силой тока на данном участке имеется некоторый сдвиг фаз α. Мы записывали это так:
I = I
0
sin(ωt − α).
289
Тогда для мгновенной мощности имеем:
P = U
0
I
0
sin ωt sin(ωt − α).
(3.123)
Теперь нам хотелось бы определить, чему равна средняя мощность. Для этого мы преобра- зуем выражение (
3.123
), используя формулу:
sin x sin y =
1 2
(cos(x − y) − cos(x + y)).
В результате получим:
P =
1 2
U
0
I
0
(cos α − cos(2ωt − α)).
(3.124)
Но среднее значение величины cos(2ωt − α) равно нулю! Поэтому средняя мощность оказы- вается равной:
P =
1 2
U
0
I
0
cos α.
(3.125)
Данную формулу можно записать с помощью действующих значений (
3.121
) напряжения и силы тока:
P = U I cos α.
Формула (
3.125
) охватывает все три рассмотренные выше ситуации. В случае резистора имеем α = 0, и мы приходим к формуле (
3.120
). Для конденсатора и катушки α = π/2, и средняя мощность равна нулю.
Кроме того, формула (
3.125
) даёт представление о весьма общей проблеме, связанной с передачей электроэнергии. Чрезвычайно важно, чтобы cos α у потребителя был как можно ближе к единице. Иначе потребитель начнёт возвращать значительную часть энергии назад в сеть (что ему совсем невыгодно), и к тому же возвращаемая энергия будет безвозвратно расходоваться на нагревание проводов и других элементов цепи.
С этой проблемой приходится сталкиваться разработчикам электрических схем, содержа- щих электродвигатели. Обмотки электродвигателей обладают большими индуктивностями, и возникает ситуация, близкая к «чистой» катушке. Чтобы избежать бесполезного циркулирова- ния энергии по сети, в
цепь включают дополнительные элементы, сдвигающие фазу — напри- мер, так называемые компенсирующие конденсаторы.
290
3.25
Электроэнергия
Электрическая энергия играет в нашей жизни исключительную роль. Если в доме нет света, мы оказываемся практически беспомощны. Функционирование предприятий, средств транспорта,
коммуникаций и прочих достижений цивилизации основано на использовании электроэнергии.
Электроэнергия обладает замечательными свойствами, которые и обеспечивают возмож- ность её повсеместного применения.
• Простота производства. В мире функционирует огромное множество разнообразных ге- нераторов электроэнергии.
• Передача на большие расстояния. Электроэнергия транспортируется по высоковольтным линиям электропередачи без существенных потерь.
• Преобразование в другие виды энергии. Электроэнергия легко преобразуется в механиче- скую энергию (электродвигатели), внутреннюю энергию (нагревательные приборы), энер- гию света (осветительные приборы) и т. д.
• Распределение между потребителями. Специальные устройства позволяют распределять электроэнергию между потребителями с самыми разными «запросами» — промышленны- ми предприятиями, городскими электросетями, жилыми домами и т. д.
Рассмотрим подробнее вопросы, связанные с производством, передачей и потреблением элек- трической энергии.
3.25.1
Производство электроэнергии
Среди генераторов электроэнергии наиболее распространены электромеханические генерато- ры переменного тока. Они преобразуют механическую энергию вращения ротора в энергию индукционного переменного тока, возникающего благодаря явлению электромагнитной индук- ции.
На рис.
3.126
проиллюстрирована основная идея генератора переменного тока: проводящая рамка (называемая якорем) вращается в магнитном поле.
B
n
ϕ
ω
Рис. 3.126. Схема генератора переменного тока
Магнитный поток сквозь рамку меняется со временем и порождает ЭДС индукции, которая приводит к возникновению индукционного тока в рамке. С помощью специальных приспособ- лений (колец и щёток) переменный ток передаётся из рамки во внешнюю цепь.
Если рамка вращается в однородном магнитном поле B с постоянной угловой скоростью ω,
то возникающий переменный ток будет синусоидальным. Давайте убедимся в этом.
291
Выберем направление вектора нормали
n к плоскости рамки. Вектор
n, таким образом,
вращается вместе с рамкой.
Направление обхода рамки считается положительным, если с конца вектора
n этот обход видится против часовой стрелки.
Напомним, что ток считается положительным, если он течёт в положительном направлении
(и отрицательным в противном случае). ЭДС индукции считается положительной, если она создаёт ток в положительном направлении (и отрицательной в противном случае).
Предположим, что в начальный момент времени векторы
n и
B сонаправлены. За время t рамка повернётся на угол ϕ = ωt. Магнитный поток через рамку в момент времени t равен:
Φ = BS cos ϕ = BS cos ωt,
(3.126)
где S — площадь рамки. Дифференцируя по времени, находим ЭДС индукции:
e = − ˙
Φ = BSω sin ωt.
(3.127)
Если сопротивление рамки равно R, то в ней возникает ток:
i =
e
R
=
BSω
R
sin ωt.
(3.128)
Как видим, ток действительно меняется по гармоническому закону, то есть является синусои- дальным.
В реальных генераторах переменного тока рамка содержит не один виток, как в нашей схеме, а большое число N витков. Это позволяет увеличить в N раз ЭДС индукции в рамке.
Почему?Объяснить это несложно. В самом деле, магнитный поток через каждый виток площади S
по-прежнему определяется выражением (
3.126
), так что ЭДС индукции в одном витке согласно формуле (
3.127
) равна: e
1
= BSω sin ωt. Все эти ЭДС индукции, возникающие в каждом витке,
складываются друг с другом, и суммарная ЭДС в рамке окажется равной:
e = N e
1
= N BSω sin ωt.
Сила тока в рамке:
i =
N BSω
R
sin ωt,
где R есть по-прежнему сопротивление рамки.
Кроме того, рамку снабжают железным (или стальным) сердечником. Железо многократно усиливает магнитное поле внутри себя, и поэтому наличие сердечника позволяет увеличить магнитный поток сквозь рамку в сотни и даже тысячи раз. В результате, как
следует из формул(
3.127
) и (
3.128
), ЭДС индукции и ток в рамке увеличатся во столько же раз.
3.25.2
Передача электроэнергии
Электроэнергия производится в основном на тепловых электростанциях (ТЭС), гидроэлектро- станциях (ГЭС) и атомных электростанциях (АЭС).
Роторы генераторов ТЭС вращаются за счёт энергии сгорающего топлива (чаще всего этим топливом является уголь). Экономически целесообразным является строительство ТЭС вблизи крупных угольных месторождений.
Роторы генераторов ГЭС приводятся во вращение энергией падающей воды. Поэтому ГЭС
строятся на реках.
В любом случае возникает проблема передачи выработанной электроэнергии потребителям,
находящимся за много километров от электростанций.
292
Электроэнергия транспортируется по проводам. Потери энергии на нагревание проводов должны быть сведены к минимуму. Оказывается, для этого нужно высокое напряжение в линии электропередачи. Покажем это.
Рассмотрим двухпроводную линию электропередачи, связывающую источник переменного напряжения u с потребителем П (рис.
3.127
).
∼ u l
П
Рис. 3.127. Передача электроэнергии по двухпроводной линии
Длина линии равна l, так что общая длина проводов составит 2l. Если ρ — удельное со- противление материала провода, S — площадь поперечного сечения провода, то сопротивление линии будет равно:
R =
2ρl
S
(3.129)
Потребителю должна быть передана мощность с заданным действующим значением P . Обо- значим через U и I действующие значения напряжения в линии и силы тока. Если α — сдвиг фаз между током и напряжением, то, как мы знаем из предыдущего листка, P = U I cos α.
Отсюда
I =
P
U cos α
(3.130)
Часть мощности ∆P теряется на нагревание проводов:
∆P = I
2
R.
Подставляя сюда выражения (
3.129
) и (
3.130
), получим:
∆P =
2ρlP
2
SU
2
cos
2
α
(3.131)
Мы видим из формулы (
3.131
), что потеря мощности обратно пропорциональна квадрату напряжения в линии. Следовательно, для уменьшения потерь надо повышать напряжение при передаче. Вот почему линии электропередач являются высоковольтными. Например, Волжская
ГЭС передаёт в Москву электроэнергию при напряжении 500 киловольт.
3.25.3
Трансформатор
Генераторы электростанций имеют ЭДС порядка 10–20 кВ. Как мы только что видели, для передачи электроэнергии на большие расстояния нужно повышать напряжение до нескольких сотен киловольт.
С другой стороны, напряжение бытовой электросети составляет 220 В. Поэтому при доставке энергии обычному потребителю требуется понижение напряжения до сотен вольт.
Замечательно, что повышение и понижение напряжения в случае синусоидального перемен- ного тока не представляет никаких сложностей. Для этого используются специальные устрой- ства — трансформаторы.
Простейший трансформатор состоит из двух обмоток, навитых на один и тот же замкнутый стальной сердечник.
293
Первичная обмотка содержит N
1
витков; на неё подаётся входное напряжение u
1
. Это на- пряжение как раз и требуется преобразовать — повысить или понизить.
Вторичная обмотка содержит N
2
витков. К ней подсоединяется нагрузка, условно обо- значаемая резистором R. Это — потребитель, для работы которого нужно преобразованное напряжение u
2
Схема такого трансформатора изображена на рис.
3.128
u
1
N
1
N
2
B
K
R
u
2
Рис. 3.128. Трансформатор
Режим холостого хода
Наиболее прост для рассмотрения холостой ход трансформатора,
когда нагрузка отключена(ключ K разомкнут).
Пусть напряжение на первичной обмотке меняется по закону косинуса с амплитудой U
01
:
u
1
= U
01
cos ωt.
Активное сопротивление R
1
первичной обмотки считаем очень малым по сравнению с её
индуктивным сопротивлением. В таком случае, как мы знаем, сила тока i
1
в первичной обмотке отстаёт по фазе от напряжения на π/2:
i
1
= I
01
cos
ωt −
π
2
= I
01
sin ωt.
При этом трансформатор не потребляет энергию из сети, к которой он подключён.
Магнитный поток Φ, пронизывающий витки первичной обмотки, пропорционален току i
1
и поэтому также меняется по закону синуса:
Φ = Φ
0
sin ωt.
В каждом витке первичной обмотки возникает ЭДС индукции:
e = − ˙
Φ = −ωΦ
0
cos ωt.
(3.132)
Следовательно, полная ЭДС индукции в первичной обмотке равна:
e
1
= N
1
e = −N
1
ωΦ
0
cos ωt.
(3.133)
Стальной сердечник практически не выпускает магнитное поле наружу — линии магнитного поля почти целиком идут внутри сердечника. Магнитный поток в любом сечении сердечника
294
одинаков; в частности, каждый виток вторичной обмотки пронизывает тот же самый магнит- ный поток Φ. Поэтому в одном витке вторичной обмотки возникает та же ЭДС индукции e,
даваемая выражением (
3.132
), а полная ЭДС индукции во вторичной обмотке равна:
e
2
= N
2
e = −N
2
ωΦ
0
cos ωt.
(3.134)
Как видим, обе ЭДС индукции в первичной и вторичной обмотках меняются синфазно.
Мгновенные значения ЭДС индукции относятся друг к другу как числа витков в обмотках:
e
1
e
2
=
N
1
N
2
(3.135)
Ввиду малости активного сопротивления первичной обмотки мы можем считать, что вы- полнено приближённое равенство:
u
1
+ e
1
≈ 0
(3.136)
(вспомните рассуждение из листка «Переменный ток. 1», раздел «Катушка в цепи переменного тока»). Так как цепь вторичной обмотки разомкнута и ток в ней отсутствует, имеем точное равенство:
u
2
+ e
2
= 0.
Итак, u
1
≈ −e
1
, u
2
= −e
2
. Следовательно, мгновенные значения напряжений в первичной и вторичной обмотках также меняются почти синфазно. С учётом равенства (
3.135
) получаем:
u
1
u
2
=
N
1
N
2
(3.137)
Величина k = N
1
/N
2
называется коэффициентом трансформации. Отношение мгновенных значений напряжений в (
3.137
) можно заменить отношением действующих значений U
1
и U
2
:
U
1
U
2
=
N
1
N
2
= k.
Если k > 1, то трансформатор является понижающим. В этом случае вторичная обмотка содержит меньше витков, чем первичная; потребитель получает меньшее напряжение, чем то,
что поступает на вход трансформатора. На рис. 3 изображён как раз понижающий трансфор- матор.
Если же k < 1, то трансформатор будет повышающим. Вторичная обмотка содержит боль- ше витков, чем первичная, и потребитель получает напряжение более высокое, чем на входе трансформатора.
Режим нагрузки
Теперь рассмотрим вкратце работу нагруженного трансформатора. В этом случае ключ K
на рис.
3.128
замкнут, и трансформатор выполняет свою прямую задачу — передаёт энергию потребителю, подключённому ко вторичной обмотке.
Согласно закону сохранения энергии, передача энергии потребителю возможна только за счёт увеличения потребления энергии из внешней сети. Так оно в действительности и происхо- дит. Давайте попробуем понять, какие физические процессы приводят к этому.
Главное заключается в том, что ввиду малого омического сопротивления первичной обмотки сохраняется приближённое равенство (
3.136
), т. е.
e
1
≈ −u
1
Напряжение u
1
задаётся внешней сетью, поэтому амплитуда ЭДС индукции e
1
остаётся преж- ней — равной амплитуде внешнего напряжения.
295
Но, с другой стороны, из выражения (
3.133
) мы знаем, что амплитуда величины e
1
равна
N
1
ωΦ
0
. Стало быть, при подключении нагрузки остаётся неизменной амплитуда Φ
0
магнитного потока Φ, пронизывающего витки первичной и вторичной обмоток.
При холостом ходе магнитный поток Φ порождался магнитным полем тока i
1
первичной обмотки (во вторичной обмотке тока не было). Теперь в создании магнитного потока участвуют два магнитных поля: поле B
1
тока i
1
первичной обмотки (оно создаёт поток Φ
1
) и поле B
2
тока i
2
вторичной обмотки (оно создаёт поток Φ
2
). Таким образом,
Φ = Φ
1
+ Φ
2
В отличие от тока i
1
, который «навязывается»
первичной обмотке внешней сетью, ток i
2
—
индукционный, и его направление определяется правилом Ленца: магнитное поле B
2
стремится уменьшить изменение суммарного магнитного потока Φ. Но амплитуда Φ
0
Скачать 4.03 Mb.