Что такое умножение скаляра на вектор?
Давайте начнём с примеров и посмотрим на рис.
7.19
a
2
a
−2
a
1 2
a
Рис. 7.19. Умножение разных скаляров на вектор
a
В самом верху рисунка расположен вектор
a. Ниже находится вектор 2
a: он в два раза длиннее вектора
a и сонаправлен с ним.
Ещё ниже мы видим вектор −2
a. Он также вдвое длиннее вектора
a, но имеет противопо- ложное направление.
Наконец, в самом низу рисунка расположен вектор
1 2
a. Он сонаправлен с вектором
a и в два раза короче него. Этот вектор можно обозначить также
a/2.
После этого примера операция умножения вектора на скаляр ясна без всяких определений,
но строгое определение мы всё же дадим.
475
Определение. Пусть λ — скаляр. Запись b = λa означает, что: 1) |b| = |λ||a|; 2) вектор b сонаправлен c вектором a при λ > 0 и направлен противоположно вектору a при λ < 0 (если же λ = 0, то из первого пункта следует, что b = 0).
Разделить вектор на скаляр λ 6= 0 — это значит умножить этот вектор на скаляр 1/λ.
Операция умножения скаляра на вектор также обладает хорошими свойствами — привыч- ными с точки зрения алгебры. Рассмотрим их.
7.3.2
Свойства умножения скаляра на вектор
Называть рассматриваемые свойства мы будем так, как это принято в математике. Запоминать эту терминологию сейчас не обязательно, но на первом курсе вы всё равно никуда от неё не денетесь :-)
1. Умножение вектора на единицу не меняет этого вектора:
1 · a = a.
(7.5)
Это непосредственно следует из определения
2. Ассоциативность умножения:
λ(µa) = (λµ)a.
(7.6)
Иными словами, если сначала умножить вектор a на µ, а потом полученный вектор умно- жить на λ, то это всё равно, что сразу умножить a на скаляр λµ.
Ассоциативность умножения скаляра на вектор иллюстрируется на рис.
7.20
. Сначала вектор a умножили на 2 и получили вектор 2a. Затем полученный вектор умножили на 3.
Получился вектор 3(2a) = (3 · 2)a = 6a.
a
2a
3(2a) = 6a
Рис. 7.20. Ассоциативность умножения скаляра на вектор
Давайте возьмём пример из физики. Если тело массы m, движущееся со скоростью
v,
налетает на покоящееся тело массы M и слипается с ним (так называемый неупругий удар), то из закона сохранения импульса легко следует, что после удара слипшиеся тела будут двигаться со скоростью m
v m + M
Благодаря ассоциативности умножения мы можем понимать эту запись как угодно:
• либо сначала умножили вектор v на скаляр m и затем поделили полученный вектор m
v на скаляр m + M ;
• либо сначала поделили m на m + M и потом умножили полученное число m/(m + M )
на вектор
v.
Результат в обоих случаях будет одним и тем же.
476
3. Дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров:
(λ + µ)a = λa + µa.
(7.7)
Попросту говоря, мы можем раскрывать скобки (если читать данное равенство слева на- право) или выносить за скобки общий векторный множитель (если — справа налево).
Рисунок
7.21
иллюстрирует это свойство. Пусть дан вектор a. Берём вектор 2a и в его конец помещаем начало вектора 3a. Складывая их, получаем вектор 2a+3a = 5a = (2+3)a.
a
2a
3a
2a + 3a = 5a = (2 + 3)a
Рис. 7.21. Дистрибутивность относительно сложения скаляров
Вот соответствующий физический пример. Пусть два тела массами m
1
и m
2
движутся с одинаковой скоростью
v. Импульс первого тела равен
p
1
= m
1
v, импульс второго тела равен
p
2
= m
2
v. Импульс системы этих тел равен векторной сумме импульсов каждого тела:
p =
p
1
+
p
2
= m
1
v + m
2
v.
Согласно свойству (
7.7
) общий векторный множитель можно вынести за скобки:
p = (m
1
+ m
2
)
v.
4. Дистрибутивность относительно сложения векторов:
λ(a + b) = λa + λb.
(7.8)
И в таком случае, как видим, мы можем раскрывать скобки или, наоборот, выносить за скобки общий скалярный множитель.
Иллюстрацией этого свойства служит рис.
7.22
. Пусть c = a + b (левая часть рисунка).
Тогда 2c = 2(a+b). Но из правой части рисунка мы видим, что 2c = 2a+2b. Следовательно,
2(a + b) = 2a + 2b.
a
b
c
c = a + b
2a
2b
2
c
2
c = 2a + 2b
Рис. 7.22. Дистрибутивность относительно сложения векторов
И здесь рассмотрим пример из физики. Пусть имеется заряд q. Расположенные неподалёку заряды q
1
и q
2
создают в точке нахождения заряда q электрические поля, напряжённости которых равны
E
1
и
E
2
соответственно. Какая сила будет действовать на заряд q?
477
Со стороны заряда q
1
на заряд q действует сила
F
1
= q
E
1
. Со стороны заряда q
2
на заряд q действует сила
F
2
= q
E
2
. Искомая сила
F является равнодействующей сил
F
1
и
F
2
:
F =
F
1
+
F
2
= q
E
1
+ q
E
2
Согласно свойству (
7.8
) общий скалярный множитель выносится за скобки:
F = q(
E
1
+
E
2
).
Свойства (
7.1
)–(
7.8
) позволяют обращаться с векторными выражениями по хорошо знако- мым алгебраическим правилам: раскрывать скобки, приводить подобные, переносить слагаемые в другую часть равенства с противоположным знаком. . . Вы наверняка это знаете и использу- ете; но вы могли не задумываться о том, что эти вещи не так уж очевидны. Одна из целей данного приложения — приоткрыть занавес и прояснить, почему к выражениям с векторами во многом применимы те же правила алгебры, что и к обычным буквенным выражениям.
478
7.4
Угол между векторами
Выше мы рассмотрели две операции над векторами: сложение векторов и умножение скаляра на вектор. Если бы при работе с векторами нам были доступны лишь эти две операции, наши возможности в физике и геометрии оказались бы весьма ограниченными.
Но, к счастью, это не так. Мы можем вдобавок ввести понятие угла между векторами и с помощью него определить новые операции, которые хорошо согласуются с уже изученными.
Благодаря столь богатому набору операций векторы становятся мощным инструментом иссле- дования физического мира.
7.4.1
Что такое угол между векторами?Можно сказать так: угол между векторами — это угол между их направлениями. Это, конеч- но, не очень строго, но зато интуитивно понятно.
Но мы не будем гнаться за строгим определением, а просто сделаем рисунок — он скажет лучше всяких слов.
a
b
ϕ
a
b
ϕ
Рис. 7.23. Угол между векторами
Как видим из рис.
7.23
, угол ϕ между векторами a и b — это угол, образованный лучами,
идущими вдоль этих векторов из общего начала. Угол между векторами принимает значения от 0 до 180
◦
7.4.2
Угол между вектором и осьюКлючевую роль в дальнейшем будет играть понятие оси. Ось — это прямая, снабжённая направлением (рис.
7.24
).
Рис. 7.24. Ось
Вы давно привыкли к координатным осям, поэтому данное понятие вам хорошо знакомо.
Угол между вектором и осью определяется точно так же, как и угол между векторами.
Угол между вектором и осью — это угол между их направлениями (рис.
7.25
). Так, вектор a образует с осью X острый угол α, а вектор b образует с осью X тупой угол β.
X
a
α
b
β
Рис. 7.25. Угол между вектором и осью
Угол между вектором и осью также принимает значения от 0 до 180
◦
479
7.5
Проекция вектора на ось
Теперь мы готовы ввести важнейшее понятие проекции вектора на ось. Оно постоянно исполь- зуется при решении физических задач.
7.5.1
Что такое проекция вектора на ось?
Пусть даны вектор a и ось X. Предполагается, что на оси X имеется масштаб, позволяющий измерять длины отрезков и присваивать им размерность вектора a.
Из начала и конца вектора a опустим перпендикуляры на ось X; пусть A и B — основания этих перпендикуляров (рис.
7.26
). Длину отрезка AB обозначим |AB|.
a
A
B
a x
ϕ
X
Рис. 7.26. Проекция вектора на ось
Определение. Проекция a x
вектора a на ось X равна длине отрезка AB, взятой со знаком плюс, если угол ϕ между вектором a и осью X является острым, и взятой соответственно со знаком минус, если ϕ тупой (или развёрнутый). Если угол ϕ прямой, то a x
= 0.
Короче говоря, имеем следующую формулу:
a x
=
|AB|,
если ϕ < 90
◦
;
−|AB|,
если ϕ > 90
◦
;
0,
если ϕ = 90
◦
(7.9)
Рисунок
7.27
иллюстрирует все эти возможности.
a a
x
> 0
ϕ
a a
x
< 0
ϕ
a a
x
= 0
X
Рис. 7.27. Проекция вектора на ось. Примеры
Глядя на рис.
7.27
, нетрудно сообразить, что все эти три случая — два красных отрезка и точка — охватываются одной-единственной формулой, и очень простой!
Следствие 1. Если угол между вектором a и осью X равен ϕ, то проекция a x
вычисляется по формуле:
a x
= a cos ϕ.
(7.10)
Здесь, как обычно, a = |a| — модуль вектора a.
Действительно, если ϕ < 90
◦
, то формула (
7.10
) даёт длину левого красного отрезка на рис.
7.27 480
Если ϕ > 90
◦
, то, переходя в средней части рис.
7.27
к углу, смежному c углом ϕ, мы видим, что формула (
7.10
) даёт длину среднего красного отрезка со знаком минус (за счёт отрицательности косинуса), что нам как раз и нужно.
Наконец, если ϕ = 90
◦
, то формула (
7.10
) даёт a x
= 0, поскольку косинус прямого угла равен нулю. Именно так и должно быть (правая часть рисунка).
Предположим теперь, что на оси X задано вдобавок начало отсчёта, так что она является привычной координатной осью. Тогда имеем ещё одну формулу для проекции a x
, которая также содержит в «заархивированном» виде все три случая рисунка
7.27
Следствие 2. Пусть x
1
и x
2
— координаты соответственно начала и конца вектора a. Тогда проекция a x
вычисляется по формуле:
a x
= x
2
− x
1
(7.11)
Действительно, посмотрим на рис.
7.28
. Это случай положительной проекции. Из рисунка очевидно, что разность x
2
− x
1
равна длине красного отрезка, а эта длина в данном случае как раз и есть проекция a x
a x
1
x
2
a x
X
Рис. 7.28. Проекция вектора на ось. К следствию 2
Что будет в оставшихся двух случаях (a x
< 0 и a x
= 0)? Убедитесь, пожалуйста, самостоя- тельно, что формула (
7.11
) и для них остаётся справедливой.
7.5.2
Свойства проектирования вектора на ось
Операция проектирования вектора на ось замечательным образом согласована с операциями сложения векторов и умножения скаляра на вектор. А именно, какова бы ни была ось X, имеют место следующие два свойства проектирования.
1. Проекция вектора a + b на ось X равна a x
+ b x
Краткая словесная формулировка: проекция суммы векторов равна сумме их проекций.
Это
справедливо для суммы любого числа векторов, не только двух.
a
b
c x
1
x
2
x
3
a x
b x
X
Рис. 7.29. c = a + b ⇒ c x
= a x
+ b x
Прежде всего проиллюстрируем данное утверждение на рисунке. Поместим начало век- тора b в конец вектора a, и пусть c = a + b (рис.
7.29
).
481
На данном рисунке хорошо видно, что проекция c x
равна сумме длин красного и зелёного отрезков, то есть как раз a x
+ b x
Правда, рис.
7.29
сделан для случая a x
> 0 и b x
> 0. Чтобы доказать наше утверждение сразу для всех возможных значений проекций a x
и b x
, мы проведём следующее универ- сальное рассуждение, опирающееся на формулу (
7.11
).
Итак, пусть векторы a и b расположены произвольным образом. Снова совместим начало вектора b с концом вектора a и обозначим c = a + b. Пусть:
• x
1
— координата начала вектора a и одновременно начала вектора c;
• x
2
— координата конца вектора a и одновременно начала вектора b;
• x
3
— координата конца вектора b и одновременно конца вектора c.
Эти обозначения также присутствуют на рис.
7.29
В силу формулы (
7.11
) имеем: a x
= x
2
− x
1
, b x
= x
3
− x
2
, c x
= x
3
− x
1
. Теперь легко видеть,
что:
a x
+ b x
= (x
2
− x
1
) + (x
3
− x
2
) = x
3
− x
1
= c x
Наше первое свойство проектирования тем самым доказано.
2. Проекция вектора λa на ось X равна λa x
Словесная формулировка: проекция произведения скаляра на вектор равна произведению скаляра на проекцию вектора.
Снова начнём с иллюстрации. В левой части рисунка
7.30
изображён вектор a с положи- тельной проекцией a x
a
2a
−2a a
x
2a x
−2a x
X
Рис. 7.30. Проекция вектора λa равна λa x
Если умножить вектор a на 2, то его
длина увеличится в два раза, проекция вектора также увеличится вдвое (сохраняя знак) и станет равна 2a x
Если умножить вектор a на −2, то его длина опять-таки увеличится в два раза, но на- правление изменится на противоположное. Проекция изменит знак и станет равна −2a x
Тем самым суть второго свойства ясна, и теперь можно дать строгое доказательство.
Итак, пусть b = λa. Мы ходим доказать, что b x
= λa x
Воспользуемся для этого формулой (
7.10
). Имеем:
a x
= a cos ϕ,
b x
= b cos θ,
где ϕ — угол между вектором a и осью X, а θ — угол между вектором b и осью X. Кроме того, в силу определения умножения скаляра на вектор:
b = |λ|a.
482
Таким образом:
b x
= |λ|a cos θ.
Если λ > 0, то |λ| = λ; в этом случае вектор b сонаправлен с вектором a, и потому θ = ϕ.
Имеем:
b x
= λa cos ϕ = λa x
Если λ < 0, то |λ| = −λ; в этом случае вектор b противоположен по направлению векто- ру a. Нетрудно сообразить при этом, что θ = π − ϕ (например, если ϕ острый, то θ есть смежный с ним тупой, и наоборот). Имеем тогда:
b x
= (−λ)a cos(π − ϕ) = (−λ)a(− cos ϕ) = λa cos ϕ = λa x
Ну а в тривиальном случае λ = 0 доказывать нечего: тогда b = 0 и b x
= 0 = 0 · a x
= λa x
Итак, во всех случаях получается нужное соотношение, и тем самым второе свойство проектирования полностью доказано.
7.5.3
Операция проектирования в физике
Доказанные свойства операции проектирования очень важны для нас. В механике, например,
мы будем пользоваться ими на каждом шагу.
Так, решение многих задач по динамике начинается с записи второго закона Ньютона в векторной форме. Возьмём, к примеру, маятник массы m, подвешенный на нити. Для маятника второй закон Ньютона будет иметь вид:
ma = m
g +
T +
f ,
(7.12)
где
T — сила упругости нити,
f — сила сопротивления воздуха.
Записав второй закон Ньютона в векторной форме, мы переходим к его проектированию на подходящие оси. Берём равенство (
7.12
) и проектируем на ось X:
ma x
= mg x
+ T
x
+ f x
(7.13)
При переходе от векторного равенства (
7.12
) к скалярному равенству (
7.13
) использованы оба свойства проектирования! А именно, благодаря свойству 1
мы записали проекцию суммы векторов как сумму их проекций; в силу же свойства 2
мы смогли записать проекции векторов ma и m
g в виде ma x
и mg x
Таким образом, оба свойства операции проектирования обеспечивают
переход от векторных равенств к скалярным, и переход этот можно выполнять формально и не задумываясь: отбра- сываем стрелки в обозначениях векторов и ставим вместо них индексы проекций. Именно так выглядит переход от уравнения (
7.12
) к уравнению (
7.13
).
483
7.6
Векторы и координаты на плоскости
Чрезвычайно важным применением трёх рассмотренных нами операций над векторами (сложе- ния, умножения на скаляр и проектирования на ось) является разложение вектора по базису декартовой прямоугольной системы координат.
7.6.1
Разложение вектора по базису
Рассмотрим систему координат OXY (рис.
7.31
). Оси X и Y снабжены единичными векторами
i и j — длины этих векторов равны единице, причём этой самой единице не приписывается никакая размерность. Векторыi и j называются базисом системы координат OXY (или базисом на плоскости).
a a
x a
y
i
j
A
B
C
M
O
X
Y
Рис. 7.31. Разложение вектора по базису на плоскости
Пусть вектор a =
−−→
AM имеет начало в точке A. Опустим из начала и конца вектора a пер- пендикуляры на координатные оси и проведём векторы
−→
AB и
−→
AC параллельно осям OX и OY
соответственно. Тогда a =
−→
AB +
−→
AC.
Ясно, что
−→
AB = a x
i при любом знаке проекции a x
. Аналогично,
−→
AC = a y
j при любом знаке проекции a y
. Следовательно,
a = a x
i + a y
j.
(7.14)
Это и есть разложение вектора a по базису i, j системы координат OXY . Проекции a x
и a y
называются также координатами вектора a в базисе i, j.
7.6.2
Нахождение модуля вектора по его проекциям
В физике, как правило, мы находим проекции интересующего нас вектора по отдельности,
решая для этих проекций соответствующие уравнения. Дальнейший процесс «сборки» вектора по его проекциям никакого труда не представляет.
Из треугольника ABM (рис.
7.31
) по теореме Пифагора имеем:
AM =
√
AB
2
+ BM
2
Но AM = a — это модуль вектора a. Кроме того, при любых знаках проекций a x
и a y
справед- ливы равенства AB
2
= a
2
x и BM
2
= a
2
y
. Следовательно:
a =
q a
2
x
+ a
2
y
(7.15)
484
Формула (
7.15
) часто используется в физических задачах. Вот типичный пример.
Задача. Тело брошено горизонтально со скоростью
v
0
. Найти скорость тела спустя время t.
Скачать 4.03 Mb.