Пособие по физике, охватывающее всю школьную программу и, соответственно, все темы кодификатора егэ по физике

• Название: Пособие по физике, охватывающее всю школьную программу и, соответственно, все темы кодификатора егэ по физике
• Дата: 13.06.2022
• Размер: 4.03 Mb.
• Имя файла: fiziks.pdf
• Тип: Пособие; #587948
• страница: 32 из 34

Каков же физический смысл энергии связи (и, стало быть, дефекта масс)?
Чтобы расщепить ядро на составляющие его протоны и нейтроны, нужно совершить работу против действия ядерных сил. Эта работа не меньше определённой величины A
min
; минималь- ная работа A
min по разрушению ядра совершается в случае, когда высвободившиеся протоны и нейтроны покоятся.
Ну а если над системой совершается работа, то энергия системы возрастает на величи- ну совершённой работы. Поэтому суммарная энергия покоя нуклонов, составляющих ядро и взятых по отдельности, оказывается больше энергии покоя ядра на величину A
min
Следовательно, и суммарная масса нуклонов, из которых состоит ядро, будет больше массы самого ядра. Вот почему возникает дефект массы.
В нашем примере с α-частицей суммарная энергия покоя двух протонов и двух нейтронов больше энергии покоя ядра гелия на 28 МэВ. Это значит, что для расщепления ядра
4 2
He на со- ставляющие его нуклоны нужно совершить работу, равную как минимум 28 МэВ. Эту величину мы и назвали энергией связи ядра.
Итак, энергия связи ядра — это минимальная работа, которую необходимо совершить для расщепления ядра на составляющие его нуклоны.
455

Энергия связи ядра есть разность энергий покоя нуклонов ядра, взятых по отдельности, и энергии покоя самого ядра. Если ядро массы M состоит из Z протонов и N нейтронов, то для энергии связи E
св имеем:
E
св
= (Zm p
+ N m n
)c
2
− M c
2
= (Zm p
+ N m n
− M )c
2
Величина ∆m = Zm p
+ N m n
− M , как мы уже знаем, называется дефектом массы.
6.10.3
Удельная энергия связи
Важной характеристикой прочности ядра является его удельная энергия связи, равная отно- шению энергии связи к числу нуклонов:
ε =
E
св
A
Удельная энергия связи есть энергия связи, приходящаяся на один нуклон, и имеет смысл средней работы, которую необходимо совершить для удаления нуклона из ядра.
На рис.
6.22
представлена зависимость удельной энергии связи естественных (то есть встре- чающихся в природе
20
) изотопов химических элементов от массового числа A.
A
ε,
МэВ
нуклон
1 2
3 4
5 6
7 8
9 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 2
1
H
3 2
He
4 2
He
6 3
Li
56 26
Fe
238 92
U
Рис. 6.22. Удельная энергия связи естественных изотопов
У лёгких элементов удельная энергия связи возрастает с ростом A, достигая максимального значения 8,8 МэВ/нуклон в окрестности железа
56 26
Fe (то есть в диапазоне изменения A примерно от 50 до 65). Затем она плавно убывает до величины 7,6 МэВ/нуклон у урана
238 92
U.
Такой характер зависимости удельной энергии связи от числа нуклонов объясняется сов- местным действием двух разнонаправленных факторов.
Первый фактор — поверхностные эффекты. Если нуклонов в ядре мало, то значительная их часть находится на поверхности ядра. Эти поверхностные нуклоны окружены меньшим чис- лом соседей, чем внутренние нуклоны, и, соответственно, взаимодействуют с меньшим числом соседних нуклонов. При увеличении A доля внутренних нуклонов растёт, а доля поверхностных
20
Элементы с массовыми числами 210–231, 233, 236, 237 в естественных условиях не встречаются. Этим объ- ясняются пробелы в конце графика.
456

нуклонов — падает; поэтому работа, которую нужно совершить для удаления одного нуклона из ядра, в среднем должна увеличиваться с ростом A.
Однако с возрастанием числа нуклонов начинает проявляться второй фактор — кулонов- ское отталкивание протонов. Ведь чем больше протонов в ядре, тем большие электрические силы отталкивания стремятся разорвать ядро; иными словами, тем сильнее каждый протон отталкивается от остальных протонов. Поэтому работа, необходимая для удаления нуклона из ядра, в среднем должна уменьшаться с ростом A.
Пока нуклонов мало, первый фактор доминирует над вторым, и потому удельная энергия связи возрастает.
В окрестности железа (50 6 A 6 65) действия обоих факторов сравниваются друг с дру- гом, в результате чего удельная энергия связи выходит на максимум. Это область наиболее устойчивых, прочных ядер.
Затем второй фактор начинает перевешивать, и под действием всё возрастающих сил куло- новского отталкивания, распирающих ядро, удельная энергия связи убывает.
6.10.4
Насыщение ядерных сил
Тот факт, что второй фактор доминирует у тяжёлых ядер, говорит об одной интересной осо- бенности ядерных сил: они обладают свойством насыщения. Это означает, что каждый нуклон в большом ядре связан ядерными силами не со всеми остальными нуклонами, а лишь с неболь- шим числом своих соседей, и число это не зависит от размеров ядра.
Действительно, если бы такого насыщения не было, удельная энергия связи продолжала бы возрастать с увеличением A — ведь тогда каждый нуклон скреплялся бы ядерными силами со всё большим числом нуклонов ядра, так что первый фактор неизменно доминировал бы над вторым. У кулоновских сил отталкивания не было бы никаких шансов переломить ситуацию в свою пользу!
457

6.11
Ядерные реакции
В предыдущем листке мы неоднократно говорили о расщеплении атомного ядра на составные части. Но как этого добиться в действительности? В результате каких физических процессов можно разбить ядро?
Наблюдения радиоактивного распада в изменяющихся внешних условиях — а именно, при различных давлениях и температурах, в электрических и магнитных полях — показали, что ско- рость радиоактивного распада от этих условий не зависит. Никаких превращений химических элементов друг в друга все эти факторы вызвать не способны. Очевидно, изменения энергии тут слишком малы, чтобы повлиять на атомное ядро — так ветер, обдувающий кирпичный дом,
не в состоянии его разрушить.
Но разрушить дом можно артиллерийским снарядом. И Резерфорд в 1919 году решил вос- пользоваться наиболее мощными «снарядами», которые имелись тогда в распоряжении. Это были α-частицы, вылетающие с энергией около 5 МэВ при радиоактивном распаде урана. (Как вы помните, это те самые снаряды, которыми он восемь лет назад бомбардировал лист золотой фольги в своих знаменитых опытах, породивших планетарную модель атома.)
Правда, превращений золота в другие химические элементы в тех экспериментах не наблю- далось. Ядро золота
197 79
Au само по себе весьма прочное, да и к тому же содержит довольно много протонов; они создают сильное кулоновское поле, отталкивающее α-частицу и не подпус- кающее её слишком близко к ядру. А ведь для разбивания ядра α-снаряд должен сблизиться с ядром настолько, чтобы включились ядерные силы! Что ж, раз большое количество протонов мешает — может, взять ядро полегче, где протонов мало?
Резерфорд подверг бомбардировке ядра азота
14 7
N и в результате осуществил первую в ис- тории физики ядерную реакцию:
14 7
N +
4 2
He →
17 8
O +
1 1
H.
(6.29)
В правой части (
6.29
) мы видим продукты реакции — изотоп кислорода и протон.
Стало ясно, что для изучения ядерных реакций нужно располагать частицами-снарядами высоких энергий. Такую возможность дают ускорители элементарных частиц. Ускорители име- ют два серьёзных преимущества перед естественными «радиоактивными пушками».
1. В ускорителях можно разгонять любые заряженные частицы. В особенности это касается протонов, которые при естественном распаде ядер не появляются. Протоны хороши тем,
что несут минимальный заряд, а значит — испытывают наименьшее кулоновское оттал- кивание со стороны ядер-мишеней.
2. Ускорители позволяют достичь энергий, на несколько порядков превышающие энергию α- частиц при радиоактивном распаде. Например, в Большом адронном коллайдере протоны разгоняются до энергий в несколько ТэВ; это в миллион раз больше, чем 5 МэВ у α-частиц в реакции (
6.29
), осуществлённой Резерфордом.
Так, с помощью протонов, прошедших через ускоритель, в 1932 году удалось разбить ядро лития (получив при этом две α-частицы):
7 3
Li +
1 1
H →
4 2
He +
4 2
He.
(6.30)
Ядерные реакции дали возможность искусственного превращения химических элементов.
Кроме того, в продуктах реакций стали обнаруживаться новые, не известные ранее частицы.
Например, при облучении бериллия α-частицами в том же 1932 году был открыт нейтрон:
9 4
Be +
4 2
He →
12 6
O +
1 0
n.
458

Нейтроны замечательно подходят для раскалывания ядер: не имея электрического заряда,
они беспрепятственно проникают внутрь ядра
21
. Так, при облучении азота нейтронами проте- кает следующая реакция:
14 7
N +
1 0
n →
11 5
B +
4 2
He.
В ходе экспериментов с ядерными реакциями была открыта искусственная радиоактив- ность — получены радиоактивные изотопы, не встречающиеся в естественных условиях. На- пример, в реакции
27 13
Al +
4 2
He →
30 15
P +
1 0
n получился радиоактивный изотоп фосфора
30 15
P, которого нет в природе (ядро «природного»
фосфора
31 15
P стабильно). Этот радиоактивный фосфор распадается, испуская позитрон и пре- вращаясь в кремний:
30 15
P →
30 14
Si +
0 1
e.
6.11.1
Энергетический выход ядерной реакции
Обсуждая энергию связи, мы видели, что в результате ядерных процессов масса системы ча- стиц не остаётся постоянной. Это, в свою очередь, приводит к тому, что кинетическая энергия продуктов ядерной реакции отличается от кинетической энергии исходных частиц.
Прежде всего напомним, что полная энергия E частицы массы m складывается из её энергии покоя mc
2
и кинетической энергии K:
E = mc
2
+ K.
Пусть в результате столкновения частиц A и B происходит ядерная реакция, продуктами которой служат частицы X и Y :
A + B → X + Y.
(6.31)
Полная энергия системы частиц сохраняется:
E
A
+ E
B
= E
X
+ E
Y
,
то есть
(m
A
c
2
+ K
A
) + (m
B
c
2
+ K
B
) = (m
X
c
2
+ K
X
) + (m
Y
c
2
+ K
Y
).
(6.32)
Кинетическая энергия исходных частиц равна K
A
+ K
B
. Кинетическая энергия продуктов реакции равна K
X
+ K
Y
. Энергетический выход Q ядерной реакции — это разность кинетиче- ских энергий продуктов реакции и исходных частиц:
Q = (K
X
+ K
Y
) − (K
A
+ K
B
).
Из (
6.32
) легко получаем:
Q = (m
A
+ m
B
− m
X
− m
Y
)c
2
(6.33)
Если Q > 0, то говорят, что реакция идёт с выделением энергии: кинетическая энергия продуктов реакции больше кинетической энергии исходных частиц. Из (
6.33
) мы видим, что в этом случае суммарная масса продуктов реакции меньше суммарной массы исходных частиц.
Если же Q < 0, то реакция идёт с поглощением энергии: кинетическая энергия продуктов реакции меньше кинетической энергии исходных частиц. Суммарная масса продуктов реакции в этом случае больше суммарной массы исходных частиц.
21
При этом ускорять нейтроны не надо — медленные нейтроны легче проникают в ядра. Нейтроны, оказыва- ется, нужно даже замедлять, и делается это пропусканием нейтронов через обычную воду.
459

Таким образом, термины «выделение» и «поглощение» энергии не должны вызывать недо- умение: они относятся только к кинетической энергии частиц. Полная энергия системы частиц,
разумеется, в любой реакции остаётся неизменной.
Чтобы посчитать энергетический выход Q ядерной реакции (
6.31
), действуем по следующему алгоритму.
1. С помощью таблицы масс нейтральных атомов находим m
A
, m
B
, m
X
и m
Y
, выраженные в а. е. м. (для нахождения массы ядра не забываем вычесть из массы нейтрального атома массу электронов).
2. Вычисляем массу m
1
= m
A
+ m
B
исходных частиц, массу m
2
= m
X
+ m
Y
продуктов реакции и находим разность масс ∆m = m
1
− m
2 3. Умножаем ∆m на 931,5 и получаем величину Q, выраженную в МэВ.
Мы сейчас подробно рассмотрим вычисление энергетического выхода Q на двух примерах бомбардировки ядер лития
7 3
Li: сначала — протонами, затем — α-частицами.
В первом случае имеем уже упоминавшуюся выше реакцию (
6.30
):
7 3
Li +
1 1
H →
4 2
He +
4 2
He.
Масса атома лития
7 3
Li равна 7,01601 а. е. м. Масса электрона равна 0,000548 а. е. м. Вычитая из массы атома массу трёх его электронов, получаем массу ядра лития
7 3
Li:
7,01601 − 3 · 0,000548 = 7,01437 а. е. м.
Масса протона равна 1,00728 а. е. м., так что масса исходных частиц:
m
1
= 7,01437 + 1,00728 = 8,02165 а. е. м.
Переходим к продуктам реакции. Масса атома гелия равна 4,00260 а. е. м. Вычитаем массу электронов и находим массу ядра гелия
4 2
He:
4,00260 − 2 · 0,000548 = 4,00150 а. е. м.
Умножая на 2, получаем массу продуктов реакции:
m
2
= 2 · 4,00150 = 8,00300 а. е. м.
Масса, как видим, уменьшилась (m
2
< m
1
); это означает, что наша реакция идёт с выделе- нием энергии. Разность масс:
∆m = m
1
− m
2
= 8,02165 − 8,00300 = 0,01865 а. е. м.
Выделившаяся энергия:
Q = 0,01865 · 931,5 = 17,4 МэВ.
Теперь рассмотрим второй пример. При бомбардировке ядер лития α-частицами происходит реакция:
7 3
Li +
4 2
He →
10 5
B +
1 0
n.
(6.34)
Массы исходных ядер нам уже известны; остаётся сосчитать их суммарную массу:
m
1
= 7,01437 + 4,00150 = 11,01587 а. е. м.
460

Из таблицы берём массу атома бора
10 5
B (она равна 10,01294 а. е. м.); вычитаем массу пяти электронов и получаем массу ядра атома бора:
10,01294 − 5 · 0,000548 = 10,01020 а. е. м.
Масса нейтрона равна 1,00867 а. е. м. Находим массу продуктов реакции:
m
2
= 10,01020 + 1,00867 = 11,01887 а. е. м.
На сей раз масса увеличилась (m
2
> m
1
), то есть реакция идёт с поглощением энергии.
Разность масс равна:
∆m = m
1
− m
2
= −0,0030 а. е. м.
Энергетический выход реакции:
Q = −0,0030 · 931,5 = −2,8 МэВ.
Таким образом, в реакции (
6.34
) поглощается энергия 2,8 МэВ. Это означает, что суммар- ная кинетическая энергия продуктов реакции (ядра бора и нейтрона) на 2,8 МэВ меньше, чем суммарная кинетическая энергия исходных частиц (ядра лития и α-частицы). Поэтому, чтобы данная реакция в принципе осуществилась, энергия исходных частиц должна быть не меньше величины 2,8 МэВ.
6.11.2
Деление ядер
Бомбардируя ядра урана медленным нейтронами, немецкие физики Ган и Штрассман обнару- жили появление элементов средней части периодической системы: бария, криптона, стронция,
рубидия, цезия и т. д. Так было открыто деление ядер урана.
На рис.
6.23
мы видим процесс деления ядра
22
. Захватывая нейтрон, ядро урана делится на два осколка, и при этом освобождаются два-три нейтрона.
Рис. 6.23. Деление ядра урана
22
Изображение с сайта oup.co.uk
461

Осколки являются ядрами радиоактивных изотопов элементов середины таблицы Менделе- ева. Один из осколков всегда больше другого. Например, при бомбардировке урана
235 92
U могут встречаться такие комбинации осколков (как говорят, реакция идёт по следующим каналам).
• Барий и криптон:
235 92
U +
1 0
n →
144 56
Ba +
89 36
Kr + 3 1
0
n.
• Цезий и рубидий:
235 92
U +
1 0
n →
140 55
Cs +
94 37
Rb + 2 1
0
n.
• Ксенон и стронций:
235 92
U +
1 0
n →
140 54
Xe +
94 38
Sr + 2 1
0
n.
Вообще, известно около 50 каналов распада ядра урана
235 92
U. В каждой из этих реакций выделяется очень большая энергия — порядка 200 МэВ. Сравните эту величину с найденным выше энергетическим выходом реакции (
6.30

), равным 17,4 МэВ! Откуда берётся такое количе- ство энергии?
Основная причина состоит в том, что из-за наличия большого числа протонов — а их в ядре урана упаковано 92 штуки — кулоновские силы отталкивания, распирающие ядро, очень вели- ки. Ядерные силы пока ещё в состоянии удерживать ядро от распада, но могучий кулоновский фактор готов сказать своё слово в любой момент.
И такой момент настаёт, когда в ядре застревает нейтрон (рис.
6.24
)
23
Рис. 6.24. Деформация, колебания и разрыв ядра
Застрявший нейтрон вызывает деформацию ядра и колебания его формы. Эти колебания могут стать столь интенсивными, что ядро вытянется в «гантельку». Между половинками ган- тельки образуется тонкий перешеек из небольшого числа нуклонов.
Получается, что силам электрического отталкивания половинок гантельки противостоят короткодействующие ядерные силы, скрепляющие нуклоны перешейка. Чем тоньше становится перешеек, тем меньше в нём оказывается нуколонов, и тем слабее будет действие ядерных сил.
В конце концов перешеек не выдержит, и ядро разорвётся.
Осколки ядра разлетаюттся с огромной скоростью — около 1/30 скорости света. Они и уносят б´
ольшую часть энергии, высвобождающейся при делении ядра
24 23
Изображение с сайта investingreenenergy.com
24
Из 200 МэВ энергетического выхода примерно 168 МэВ приходится на кинетическую энергию осколков.
Остальная энергия распределяется между нейтронами и другими частицами, появляющимися в процессе деле- ния: гамма-квантами, электронами и антинейтрино.
462

Появление двух-трёх свободных нейтронов — характерная черта деления ядра урана. Чем объясняется их неизменное присутствие в каждом канале деления?
Дело в том, что по мере движения от конца таблицы Менделеева к её началу отношение
N/A числа нейтронов к числу нуклонов в стабильных ядрах уменьшается. Возьмём в качестве примера уран и продукты его деления — барий и криптон (стабильные ядра).
• Для урана
235 92
U имеем N/A = 143/235 = 0,61;
• Для бария
137 56
Ba имеем N/A = 81/137 = 0,59;
• Для криптона
84 36
Kr имеем N/A = 48/84 = 0,57.
Поэтому при делении тяжёлого ядра возникают «лишние» нейтроны, часть которых и осво- бождается в качестве продуктов реакции. Другая часть лишних нейтронов остаётся в ядрах- осколках, делая их радиоактивными. Осколки дают начало целым цепочкам β-распадов, по- следовательно уменьшающих отношение N/A. Например:
140 54
Xe
β
−→
140 55
Cs
β
−→
140 56
Ba
β
−→
140 57
La
β
−→
140 58
Ce.
(концом этой цепочки является стабильное ядро изотопа церия). В ядерной энергетике такие це- почки распадов продуктов деления тяжёлых ядер создают серьёзную экологическую проблему ликвидации радиоактивных отходов.
Деление тяжёлых ядер можно истолковать с точки зрения уже известного нам графика зависимости удельной энергии связи ядра от его массового числа (рис.
6.25
).
A
ε,
МэВ
нуклон
1 2
3 4
5 6
7 8
9
Деление
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 2
1
H
3 2
He
4 2
He
6 3
Li
56 26
Fe
238 92
U
Рис. 6.25. Деление тяжёлых ядер энергетически выгодно
Цветом выделена область 50 6 A 6 90, в которой удельная энергия связи достигает наи- большего значения 8,7 МэВ/нуклон. Это область наиболее устойчивых ядер. Справа от этой области удельная энергия связи плавно уменьшается до 7,6 МэВ/нуклон у ядра урана.
Процесс превращения менее устойчивых ядер в более устойчивые является энергетически выгодным и сопровождается выделением энергии. При делении ядра урана, как видим, удель- ная энергия связи повышается примерно на 1 МэВ/нуклон; эта энергия как раз и выделяется в процессе деления. Умножив это на число нуклонов в ядре урана, получим приблизительно те самые 200 МэВ энергетического выхода, о которых говорилось выше.
463

6.11.3
Цепная ядерная реакция
Появление двух-трёх нейтронов в процессе деления ядра урана — важнейший факт. Эти ней- троны «первого поколения» могут попасть в новые ядра и вызвать их деление; в результате деления новых ядер возникнут нейтроны «второго поколения», которые попадут в следующие ядра и вызовут их деление; возникнут нейтроны «третьего поколения», которые приведут к де- лению очередных ядер и т. д. Так идёт цепная ядерная реакция, в ходе которой высвобождается колоссальное количество энергии.
Для протекания цепной ядерной реакции необходимо, чтобы число N
i высвободившихся ней- тронов в очередном поколении было не меньше числа N
i−1
нейтронов в предыдущем поколении.
Величина k =
N
i
N
i−1
называеся коэффициентом размножения нейтронов. Таким образом, цепная реакция идёт при условии k
> 1. Если k < 1, то цепная реакция не возникает.
В случае k > 1 происходит лавинообразное нарастание числа освобождающихся нейтронов,
и цепная реакция становится неуправляемой. Так происходит взрыв атомной бомбы.
В ядерных реакторах происходит управляемая цепная реакция деления с коэффициентом размножения k = 1. Стационарное течение управляемой цепной реакции обеспечивается вве- дением в активную зону реактора (то есть в ту область, где протекает реакция) специальных управляющих стержней, поглощающих нейтроны. При полностью введённых стержнях погло- щение ими нейтронов настолько велико, что k < 1 и реакция не идёт. В процессе запуска реактора стержни постепенно выводят из активной зоны, пока выделяемая мощность не до- стигнет требуемого уровня. Этот уровень тщательно контролируется, и при его превышении включаются устройства, вводящие управляющие стержни назад в активную зону.
6.11.4
Термоядерная реакция
Наряду с реакцией деления тяжёлых ядер энергетически выгодным оказывается и обратный в некотором смысле процесс — синтез лёгких ядер, то есть слияние ядер лёгких элементов
(расположенных в начале периодической таблицы) с образованием более тяжёлого ядра.
Чтобы началось слияние ядер, их нужно сблизить вплотную — чтобы вступили в действие ядерные силы. Для такого сближения нужно преодолеть кулоновское отталкивание ядер, резко возрастающее с уменьшением расстояния между ними. Это возможно лишь при очень большой кинетической энергии ядер, а значит — при очень высокой температуре (в десятки и сотни миллионов градусов). Поэтому реакция ядерного синтеза называется термоядерной реакцией.
В качестве примера термоядерной реакции приведём реакцию слияния ядер дейтерия и трития (тяжёлого и сверхтяжёлого изотопов водорода), в результате которой образуется ядро гелия и нейтрон:
2 1
H +
3 1
H →
4 2
He +
1 0
n.
(6.35)
Эта реакция идёт с выделением энергии, равной 17,6 МэВ (попробуйте сами провести рас- чёты и получить данную величину). Это очень много, если учесть, что в реакции участвуют всего 5 нуклонов! В самом деле, в расчёте на один нуклон в реакции (
6.35
) выделяется энергия примерно 3,5 МэВ, в то время как при делении ядра урана выделяется «всего» 1 МэВ на нуклон.
Таким образом, термоядерные реакции служат источником ещё большего количества энер- гии, чем реакции деления ядер. С физической точки зрения это понятно: энергия реакции ядерного деления есть в основном кинетическая энергия осколков, разогнанных электрически- ми силами отталкивания, а при ядерном синтезе энергия высвобождается в результате разгона нуклонов навстречу друг другу под действием куда более мощных ядерных сил притяжения.
464

Проще говоря, при делении ядер высвобождается энергия электрического взаимодействия, а при синтезе ядер — энергия сильного (ядерного) взаимодействия.
В недрах звёзд достигаются температуры, подходящие для синтеза ядер. Свет Солнца и далёких звёзд несёт энергию, выделяющуяся в термоядерных реакциях — при слиянии ядер водорода в ядра гелия и последующем слиянии ядер гелия в ядра более тяжёлых элементов,
расположенных в средней части периодической системы. Направление термоядерного синтеза показано на рис.
6.26
; синтез лёгких ядер энергетически выгоден, так как направлен в сторону увеличения удельной энергии связи ядра.
A
ε,
МэВ
нуклон
1 2
3 4
5 6
7 8
9
Синтез
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 2
1
H
3 2
He
4 2
He
6 3
Li
56 26
Fe
238 92
U
Рис. 6.26. Синтез лёгких ядер энергетически выгоден
Неуправляемая термоядерная реакция осуществляется при взрыве водородной бомбы. Сна- чала взрывается встроенная атомная бомба — это нужно для создания высокой температуры и давления на первой ступени термоядерного взрыва. Термоядерное горючее сжимается давле- нием излучения и разогревается до такой степени, что начинаются реакции ядерного синтеза,
и происходит взрыв собственно водородной бомбы.
Осуществление управляемой термоядерной реакции остаётся пока нерешённой проблемой,
над которой физики работают уже более полувека. Если удастся добиться управляемого тече- ния термоядерного синтеза, то человечество получит в своё распоряжение фактически неогра- ниченный источник энергии. Это чрезвычайно важная задача, стоящая перед нынешним и бу- дущими поколениями — в свете угрожающей перспективы истощения нефтегазовых ресурсов нашей планеты.
465

Глава 7
Приложение. Векторы в физике
Векторы — мощный инструмент математики и физики. На языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. Чтобы понимать физику, нужно научиться работать с векторами.
Данная глава содержит подробное изложение материала, необходимого для того, чтобы при- ступить к изучению механики:
→
Скалярные и векторные величины
→
Сложение векторов
→
Умножение скаляра на вектор
→
Угол между векторами
→
Проекция вектора на ось
→
Векторы и координаты на плоскости
→
Векторы и координаты в пространстве
→
Скалярное произведение векторов
Нет особого смысла читать всю эту главу сразу. Гораздо полезнее обращаться к ней по мере необходимости в процессе чтения остальных глав пособия.
К тексту данного приложения полезно будет вернуться на первом курсе при изучении анали- тической геометрии и линейной алгебры — чтобы осознать, например, откуда берутся аксиомы линейного и евклидова пространства.
466

7.1
Скалярные и векторные величины
В процессе изучения физики мы встречаем два типа величин — скалярные и векторные.
Определение. Скалярная величина, или скаляр — это физическая величина, для задания которой (в подходящих единицах измерения) достаточно одного числа.
Скаляров очень много в физике. Масса тела равна 3 кг, температура воздуха равна −10
◦
С,
напряжение в сети равно 220 В. . . Во всех этих случаях интересующая нас величина задаётся одним-единственным числом. Следовательно, масса, температура и электрическое напряжение являются скалярами.
Но скаляр в физике — это не просто число. Скаляр есть число, снабжённое размерностью
1
Так, задавая массу, мы не можем написать m = 3; надо указать единицу измерения — например,
m = 3 кг. И если в математике мы можем сложить числа 3 и 220, то в физике сложить 3
килограмма и 220 вольт не получится: мы имеем право складывать лишь те скаляры, которые обладают одинаковой размерностью (массу с массой, напряжение с напряжением и т. д.).
Определение. Векторная величина, или вектор — это физическая величина, характеризуемая:
1) неотрицательным скаляром; 2) направлением в пространстве. При этом скаляр называется модулем вектора, или его абсолютной величиной.
Предположим, что автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Но ведь это неполная ин- формация о движении, не так ли? Может оказаться важным и то, куда едет автомобиль, в каком именно направлении. Поэтому важно знать не только модуль (абсолютную величину)
скорости автомобиля — в данном случае это 60 км/ч — но и её направление в пространстве.
Значит, скорость является вектором.
Другой пример. Допустим, на полу лежит кирпич массой 1 кг. На кирпич действует сила
100 Н (это модуль силы, или её абсолютная величина). Как будет двигаться кирпич? Вопрос лишён смысла до тех пор, пока не указано направление действия силы. Если сила действует вверх, то и кирпич будет двигаться вверх. Если сила действует горизонтально, то и кирпич поедет горизонтально. А если сила действует вертикально вниз, то кирпич вообще не сдвинется с места — он будет только вжиматься в пол. Мы видим, таким образом, что сила также является вектором.
Векторная величина в физике также обладает размерностью. Размерность вектора — это размерность его модуля.
Мы будем обозначать векторы буквами со стрелкой. Так, вектор скорости можно обозначить через

v, а вектор силы — через
F . Собственно, вектор — это и есть стрелка или, как ещё
говорят, направленный отрезок (рис.
7.1
).

v
Рис. 7.1. Вектор
v
Начальная точка стрелки называется началом вектора, а конечная точка (остриё) стрелки —
концом вектора. В математике вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначается также
−→
AB; нам такое обозначение тоже иногда понадобится.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором (или нулём) и обозначается 0. Нулевой вектор есть попросту точка; он не имеет определённого направления.
Длина нулевого вектора, разумеется, равна нулю.
1
Попадаются и безразмерные скаляры: коэффициент трения, коэффициент полезного действия, показатель преломления среды. . . Так, показатель преломления воды равен 1,33 — это исчерпывающая информация, ника- кой размерностью данное число не обладает.
467

Рисование стрелок полностью решает задачу графического представления векторных вели- чин. Направление стрелки указывает направление данного вектора, а длина стрелки в подхо- дящем масштабе есть модуль этого вектора.
Предположим, например, что два автомобиля двигаются навстречу друг другу со скоро- стями u = 30 км/ч и v = 60 км/ч. Тогда векторы
u и
v скоростей автомобилей будут иметь противоположные направления, причём длина вектора
v в два раза больше (рис.
7.2
).

u

v
Рис. 7.2. Вектор
v вдвое длиннее
Как вы уже поняли, буква без стрелки (например, u или v в предыдущем абзаце) обозначает модуль соответствующего вектора. В математике модуль вектора
v обычно обозначается |
v|, но физики, если ситуация позволяет, предпочтут именно v — букву без стрелки.
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на па- раллельных прямых.
Пусть имеются два коллинеарных вектора. Если их направления совпадают, то векторы называются сонаправленными; если же их направления различны, то векторы называются про- тивоположно направленными. Так, выше на рис.
7.2
векторы
u и
v являются противоположно направленными.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют равные модули (рис.
7.3
).
a
b
Рис. 7.3. Векторы a и b равны: a = b
Таким образом, равенство векторов отнюдь не означает непременного совпадения их начал и концов: мы можем переносить вектор параллельно самому себе, и при этом получится вектор, равный исходному. Такой перенос постоянно применяется в тех случаях, когда жела- тельно свести начала векторов в одну точку — например, при нахождении суммы или разности векторов. К рассмотрению операций над векторами мы и переходим.
468

7.2
Сложение векторов
В физике можно складывать только векторы, обладающие одинаковой размерностью. Мы мо- жем складывать скорость со скоростью, силу с силой, но не имеем права сложить вектор ско- рости с вектором силы.
Правила сложения векторов можно объяснить на двух характерных примерах: сложении перемещений и сложении сил.
7.2.1
Правило треугольника
Начнём с перемещений. Перемещением называется вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела.
Если, например, тело находилось в точке A и после этого оказалось в точке B, то переме- щением тела будет вектор
s =
−→
AB. Перемещение тела не зависит от формы траектории; оно определяется лишь начальной и конечной точками движения. На рис.
7.4
изображено переме- щение тела
s и для сравнения пунктиром показана траектория тела.

s
A
B
Рис. 7.4. Вектор перемещения
Предположим, что тело совершило перемещение
s
1
из точки A в точку B, а затем — переме- щение
s
2
из точки B в точку C (рис.
7.5
). Итоговое перемещение есть вектор
s, соединяющий начальную точку A с конечной точкой C.

s
1

s
2

s =
s
1
+
s
2
A
B
C
Рис. 7.5. Сложение перемещений
Перемещение
s есть результат двух последовательно совершённых перемещений
s
1
и
s
2
, и поэтому естественно считать, что оно является их суммой:
s =
s
1
+
s
2
. Это приводит нас к правилу треугольника для сложения произвольных векторов (рис.
7.6
).
a
b
a + b
Рис. 7.6. Правило треугольника
Правило треугольника. Поместим начало вектора b в конец вектора a. Тогда вектор a + b соединяет начало вектора a с концом вектора b.
469

7.2.2
Правило параллелограмма
Несколько иная картина возникает при сложении сил. Допустим, что в точке O находится небольшое тело и к нему приложены две силы:
F
1
и
F
2

F
1

F
2

F
=

F
1
+

F
2
O
Рис. 7.7. Сложение сил
Опыт показывает, что совместное действие этих сил равноценно действию одной силы
F ,
которая служит диагональю параллелограмма, построенного на векторах
F
1
и
F
2
(рис.
7.7
).
Иными словами, движение нашего тела не претерпит никаких изменений, если убрать силы

F
1
и
F
2
и заменить их силой
F . Эта сила
F называется равнодействующей (или результи- рующей) двух сил
F
1
и
F
2
; она является результатом их совместного применения, и потому естественно считать, что она будет их суммой:
F =
F
1
+
F
2
Данное соображение приводит нас к правилу параллелограмма для сложения двух произ- вольных векторов (рис.
7.8
).
a
b
a +
b
Рис. 7.8. Правило параллелограмма
Правило параллелограмма. Поместим начала векторов a и b в одну точку. Тогда вектор
a + b, имея начало в той же точке, является диагональю параллелограмма, построенного на векторах a и b.
Итак, имеются два естественных способа складывать векторы: правило треугольника и пра- вило параллелограмма. Если бы эти правила приводили к разным результатам, было бы очень скверно. Но, к счастью, результат получается один и тот же!
a
b
b
a +
b
Рис. 7.9. Правило треугольника = Правило параллелограмма
Посмотрите на рис.
7.9
. Сначала мы сложили векторы a и b по правилу параллелограмма.
Затем перенесли вектор b параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом
470

вектора a (перенесённый вектор b изображён на рисунке пунктиром). Тем самым возникла возможность сложить наши векторы по правилу треугольника, и в результате мы получаем тот же суммарный вектор a + b, что и в первом случае — а именно, диагональ параллелограмма.
Таким образом, правила треугольника и параллелограмма легко сводятся друг к другу, и между ними нет никакой разницы. В физике мы чаще пользуемся правилом параллелограмма
(складывая силы, скорости, ускорения, напряжённости поля и т. п.), поскольку складываемые векторы обычно приложены в одной точке.
Единственная загвоздка с нашими правилами состоит в том, что при сложении коллинеарных векторов не возникает ни треугольника, ни параллелограмма. Но правило треугольника
— в том виде, как оно было сформулировано — продолжает работать (рис.
7.10
).
a
b
a + b
Рис. 7.10. Сложение коллинеарных векторов
А именно, мы помещаем начало вектора b в конец вектора a и соединяем начало вектора a с концом вектора b. Получится вектор a + b, который на рисунке расположен ниже.
7.2.3
Свойства сложения векторов
Операция сложения векторов обладает всеми хорошими алгебраическими свойствами, которые присущи сложению чисел и привычны для нас.
1. От перестановки слагаемых сумма не меняется (математики называют это коммутатив- ностью сложения):
a + b = b + a.
(7.1)
Это легко следует из правила параллелограмма (рис.
7.8
). Действительно, какая разница,
в каком порядке суммировать векторы a и b, если диагональ параллелограмма всё равно одна и та же?
2. Возникает интересный вопрос: а как сложить три вектора? Можно ли определить сумму
a +b + c ? Давайте сделаем это двумя способами: найдём векторы (a +b) + c и a + (b + c),
а затем сравним результаты.
a
b

c
a +
b
(a + b) +
c
a
b

c
b
+
c
a + (b +
c)
Рис. 7.11. (a + b) + c = a + (b + c)
Как мы видим из рис.
7.11
, результаты совпадают! Имеем следующий закон (математики называют его ассоциативностью):
(a + b) + c = a + (b + c).
(7.2)
471

Вместе с коммутативностью (
7.1
) это означает, что сумма a +b + c корректно определена:
мы можем складывать данные векторы, комбинируя их как угодно, и результат всегда будет получаться одним и тем же. Например, можно найти нашу сумму так (рис.
7.12
):
a
b

c
a + b +
c
Рис. 7.12. Сумма трёх векторов
Вообще, можно показать, что сумма любого конечного числа векторов не зависит от того,
в каком порядке мы складываем векторы. Например, для нахождения суммарного вектора можно воспользоваться правилом многоугольника (рис.
7.13
; пример для пяти векторов):
a
b

c

d

e
a + b +
c +
d +
e
Рис. 7.13. Правило многоугольника
В физических задачах бывает важно углядеть, каким именно образом лучше просумми- ровать векторы. Вот стандартная ситуация. Пусть длины векторов a и c равны 1, длина вектора b равна 2; угол между a и b равен 60
◦
, угол между b и c тоже равен 60
◦
(рис.
7.14
).
Требуется найти длину вектора a + b + c.
a

c
b
60
◦
60
◦
Рис. 7.14. Найти длину вектора a + b + c
Искать сначала сумму a +b и прибавлять потом к ней c — можно, но это не самая лучшая идея. Давайте начнём с того, что сложим a и c ! Доведите сами до конца это решение,
осталось совсем немного. Ответ: 3.
3. Прибавление к вектору нулевого вектора ничего не меняет:
a + 0 = a.
(7.3)
Это совершенно очевидно, если представить себе такое сложение с точки зрения правила треугольника.
472

4. Для каждого вектора a существует противоположный вектор, обозначаемый −a; сумма вектора и его противоположного равна нулю:
a + (−a) = 0.
(7.4)
Противоположный вектор −a равен по длине вектору a и противоположен ему по направ- лению (рис.
7.15
).
a
−a
Рис. 7.15. Противоположный вектор
Понятие противоположного вектора вплотную подводит нас к операции вычитания векто- ров. Эта операция настолько важна в физике, что мы обсудим её отдельно.
7.2.4
Вычитание векторов
Вычитание вектора — это прибавление противоположного вектора. Иными словами, разностью векторов a и b называется сумма a + (−b).
Такое формальное определение не слишком годится для нас. Мы подойдём к вычитанию векторов с несколько иной стороны.
Рассмотрим три вектора a, b, c такие, что b + c = a (рис.
7.16
).
a
b

c
Рис. 7.16. К определению разности векторов
Хорошо было бы перенести вектор b вправо со знаком минус, написав c = a − b, и сказать при этом, что вектор c есть разность векторов a и b. Так и делают! Рисунок
7.17
дублирует рис.
7.16
— с тем лишь отличием, что вместо c стоит a − b.
a
b
a − b
Рис. 7.17. Разность векторов
Давайте будем считать рис.
7.17
определением разности векторов. Итак, чтобы найти век- торную разность a − b, мы последовательно делаем следующие шаги.
1. Если начала векторов a и b находятся в разных точках, то приводим эти векторы к одному началу, параллельно перенося один из векторов.
473

2. Соединяем концы векторов и «укалываем» тот вектор, из которого производится вычи- тание
2
. В данном случае стрелка направляется к вектору a.
Разумеется, наглядное определение с помощью рис.
7.17
даёт в результате тот же самый вектор, что и упомянутое выше формальное определение разности a − b как суммы a + (−b).
Попробуйте сами понять, почему так получается!
Разность векторов в физике встречается часто, особенно в механике. Например, ускорение определяется следующим образом:
a =

v −
v
0
t
Здесь
v
0
— начальная скорость тела,
v — конечная скорость, t — время, за которое скорость изменилась от
v
0
до
v. Разность ∆
v =
v −
v
0
называется изменением скорости
3
Таким образом, ускорение есть изменение скорости, делённое на время, за которое это из- менение произошло. Об умножении (и тем самым о делении) вектора на скаляр мы поговорим чуть ниже, а пока давайте разберём несложную задачу.
Задача. Тело движется по окружности со скоростью v. Найти модуль изменения скорости тела за четверть периода.
A
B

v
1

v
2

v
1

v
2
∆
v
∆
v =
v
2
− v
1
Рис. 7.18. К задаче про изменение скорости
Решение. Пусть в некоторой точке A окружности скорость тела равна
v
1
. За четверть периода тело пройдёт четверть окружности и окажется в точке B; пусть скорость тела в этой точке равна
v
2
(рис.
7.18
).
Конечно, |
v
1
| = |v
2
| = v, но v
1
и
v
2
— разные векторы (их направления различны), и потому изменение скорости не равно нулю. Смотрим на равнобедренный прямоугольный треугольник,
изображённый на рис.
7.18
справа, и по теореме Пифагора заключаем, что |∆
v| = v
√
2.
2
Можно запомнить это как правило УУ — «Уколоть Уменьшаемое».
3
Вообще, изменение какой-либо физической величины — это всегда разность её конечного и начального значений.
474

7.3
Умножение скаляра на вектор
Векторы можно не только складывать друг с другом, но и умножать на скаляры. Между вы- ражениями «умножение скаляра на вектор» и «умножение вектора на скаляр» никакой прин- ципиальной разницы нет.
При умножении скаляра на вектор получается вектор. Размерность вектора-произведения равна произведению размерностей скаляра и исходного вектора.
Перемножение скаляра и вектора встречается в физике везде, где фигурируют сами векто- ры. Например, при движении с постоянной скоростью
v перемещение тела за время t выража- ется формулой:

s =
vt.
Импульс тела определяется как произведение массы на скорость:

p = m
v.
Кстати, импульс не обладает собственной единицей измерения. Размерность импульса есть про- сто произведение размерностей массы и скорости: кг · м/с.
Произведение массы тела на вектор ускорения присутствует в фундаментальном законе механики — втором законе Ньютона:
ma =
F
(здесь
F есть сумма векторов всех сил, приложенных к телу).
Cкаляр, умножаемый на вектор, не обязан быть положительным. Например, электрическое поле характеризуется вектором напряжённости
E, который задан в каждой точке поля. Если в данную точку помещён заряд q, то сила, действующая на этот заряд со стороны электрического поля, равна:

F = q
E.
При этом заряд q может быть как положительным, так и отрицательным.
7.3.1