Гармонический закон вида (
1.82
) носит самый общий характер. Он отвечает, например, си- туации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину x
0
и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.
Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае x
0
= A, поэтому можно положить α = 0. Мы получаем закон косинуса:
x = A cos ωt.
График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис.
1.57 0
t x
T
2T
3T
Рис. 1.57. Закон косинуса
92
Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае x
0
= 0, так что можно положить α = −π/2. Получаем закон синуса:
x = A sin ωt.
График колебаний представлен на рис.
1.58 0
t x
T
2T
3T
Рис. 1.58. Закон синуса
1.18.2
Уравнение гармонических колебаний
Вернёмся к общему гармоническому закону (
1.82
). Дифференцируем это равенство:
v x
= ˙x = −Aω sin(ωt + α).
(1.85)
Теперь дифференцируем полученное равенство (
1.85
):
a x
= ¨
x = −Aω
2
cos(ωt + α).
(1.86)
Давайте сопоставим выражение (
1.82
) для координаты и выражение (
1.86
) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем
−ω
2
:
a x
= −ω
2
x.
(1.87)
Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:
¨
x + ω
2
x = 0.
(1.88)
C математической точки зрения уравнение (
1.88
) является дифференциальным уравнени- ем. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре). Так вот, можно доказать, что:
• решением уравнения (
1.88
) является всякая функция вида (
1.82
) с произвольными A и α;
• никакая другая функция решением данного уравнения не является.
Иными словами, соотношения (
1.87
), (
1.88
) описывают гармонические колебания с цикличе- ской частотой ω и только их. Две константы A и α определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.
93
1.18.3
Пружинный маятник
Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.
Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис.
1.59
). Коле- бания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колеба- ния окажутся гармоническими.
Трением пренебрегаем. Груз имеет массу m, жёсткость пружины равна k.
Координате x = 0 отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована.
Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.
X
0
x
F
Рис. 1.59. Пружинный маятник
В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости
F со стороны пру- жины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось X имеет вид:
ma x
= F
x
(1.89)
Если x > 0 (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в про- тивоположную сторону, и F
x
< 0. Наоборот, если x < 0, то F
x
> 0. Знаки x и F
x всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:
F
x
= −kx.
Тогда соотношение (
1.89
) принимает вид:
ma x
= −kx или a
x
= −
k m
x.
Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (
1.87
), в котором
ω
2
=
k m
Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:
ω =
r k
m
(1.90)
Отсюда и из соотношения T = 2π/ω находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:
T = 2π
r m k
(1.91)
Если подвесить груз на пружине, то
получится пружинный маятник, совершающий колеба- ния в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (
1.91
).
94
1.18.4
Математический маятник
Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис.
1.60
). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плос- кости в поле силы тяжести.
O
X
l m
g
T
x
ϕ
Рис. 1.60. Математический маятник
Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна l. Сопро- тивлением воздуха пренебрегаем.
Запишем для маятника второй закон Ньютона:
ma = m
g +
T ,
и спроектируем его на ось X:
ma x
= T
x
Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. x > 0), то:
T
x
= −T sin ϕ = −T
x l
Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. x < 0), то:
T
x
= T sin ϕ = −T
x l
Итак, при любом положении маятника имеем:
ma x
= −T
x l
(1.92)
Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство T = mg. При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство T ≈ mg. Воспользуемся им в формуле (
1.92
):
ma x
= −mg x
l
,
или a
x
= −
g l
x.
Это — уравнение гармонических колебаний вида (
1.87
), в котором
ω
2
=
g l
95
Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:
ω =
r g l
(1.93)
Отсюда период колебаний математического маятника:
T = 2π
s l
g
(1.94)
Обратите внимание, что в формулу (
1.94
) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.
1.18.5
Свободные и вынужденные колебания
Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из поло- жения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, под- держивающих колебания, в системе нет.
Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются при- мерами свободных колебаний.
Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (
1.90
) и (
1.93
) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.
В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются неза- тухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис.
1.61
).
0
t x
Рис. 1.61.
Затухающие колебанияВынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внеш- ней силы F (t), периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).
Предположим, что собственная частота колебаний системы равна ω
0
, а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:
F (t) = F
0
cos ωt .
В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колеба- ний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает
96
вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установив- шихся вынужденных колебаний совпадает с частотой ω вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис.
1.62
ω
A
ω
r
Рис. 1.62. Резонанс
Мы видим, что вблизи частоты ω = ω
r наступает резонанс — явление возрастания ампли- туды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: ω
r
≈ ω
0
, и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой коле- баний, ω
r
= ω
0
, а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при ω → ω
0 97
1.19
Механические волны
Механические волны — это процесс распространения в пространстве колебаний частиц упругой среды (твёрдой, жидкой или газообразной).
Наличие у среды упругих свойств является необходимым условием распространения волн:
деформация, возникающая в каком-либо месте, благодаря взаимодействию соседних частиц последовательно передаётся от одной точки среды к другой. Различным типам деформаций будут соответствовать разные типы волн.
1.19.1
Продольные и поперечные волны
Волна называется продольной, если частицы среды колеблются параллельно направлению рас- пространения волны. Продольная волна состоит из чередующихся деформаций растяжения и сжатия. На рис.
1.63
показана продольная волна, представляющая собой колебания плоских слоёв среды; направление, вдоль которого колеблются слои, совпадает с направлением распро- странения волны (т. е. перпендикулярно слоям).
λ
λ
v
Рис. 1.63. Продольная волна
Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно направле- нию распространения волны. Поперечная волна вызывается деформациями сдвига одного слоя среды относительно другого. На рис.
1.64
каждый слой колеблется вдоль самого себя, а волна идёт перпендикулярно слоям.
λ
λ
v
Рис. 1.64. Поперечная волна
Продольные волны могут распространяться в твёрдых телах, жидкостях и газах: во всех этих
средах возникает упругая реакция на сжатие, в результате которой появятся бегущие друг за другом сжатия и разрежения среды.
Однако жидкости и газы, в отличие от твёрдых тел, не обладают упругостью по отношению к сдвигу слоёв. Поэтому поперечные волны могут распространяться в твёрдых телах, но не внутри жидкостей и газов
8 8
На поверхности жидкости могут существовать волны особого типа, похожие на поперечные — так называе- мые поверхностные волны. Они возникают под действием силы тяжести и силы поверхностного натяжения.
98
Важно отметить, что частицы среды при прохождении волны совершают колебания вблизи неизменных положений равновесия, т. е. в среднем остаются на своих местах. Волна, таким образом, осуществляет перенос энергии, не сопровождающийся переносом вещества.
Наиболее просты для изучения гармонические волны. Они вызываются внешним воздей- ствием на среду, меняющимся по гармоническому закону. При распространении гармонической волны частицы среды совершают гармонические колебания с частотой, равной частоте внеш- него воздействия. Гармоническими волнами мы в дальнейшем и ограничимся.
Рассмотрим процесс распространения волны более подробно.
Допустим, что некоторая частица среды (частица 1) начала совершать колебания с перио- дом T . Действуя на соседнюю частицу 2, она потянет её за собой. Частица 2, в свою очередь,
потянет за собой частицу 3 и т. д. Так возникнет волна, в которой все частицы будут совершать колебания с периодом T .
Однако частицы имеют массу, т. е. обладают инертностью. На изменение их скорости требу- ется некоторое время. Следовательно, частица 2 в своём движении будет несколько отставать от частицы 1, частица 3 будет отставать от частицы 2 и т. д. Когда частица 1 спустя вре- мя T завершит первое колебание и начнёт второе, своё первое колебание начнёт частица N + 1,
находящаяся от частицы 1 на некотором расстоянии λ.
Итак, за время, равное периоду колебаний частиц, возмущение среды распространяется на расстояние λ. Это расстояние называется длиной волны. Колебания частицы N + 1 будут иден- тичны колебаниям частицы 1, колебания следующей частицы N + 2 будут идентичны коле- баниям частицы 2 и т. д. Колебания как бы воспроизводят себя на расстоянии λ. Поэтому длину волны λ можно назвать пространственным периодом колебаний; наряду с временн ´
ым периодом T она является важнейшей характеристикой волнового процесса.
В продольной волне длина волны равна расстоянию между соседними сжатиями или раз- режениями (рис.
1.63
). В поперечной — расстоянию между соседними горбами или впадинами
(рис.
1.64
). Вообще, длина волны равна расстоянию (вдоль направления распространения вол- ны) между двумя ближайшими частицами среды, колеблющимися одинаково (т. е. с разностью фаз, равной 2π).
Скоростью распространения волны называется отношение длины волны к периоду колеба- ний частиц среды:
v =
λ
T
Частотой волны называется частота колебаний частиц:
ν =
1
T
Отсюда
получаем связь скорости волны, длины волны и частоты:
v = λν.
(1.95)
1.19.2
Звук
Звуковыми волнами в широком смысле называются всякие волны, распространяющиеся в упру- гой среде. В узком смысле звуком называют звуковые волны в диапазоне частот от 16 Гц до
20 кГц, воспринимаемые человеческим ухом. Ниже этого диапазона лежит область инфразвука,
выше — область ультразвука.
К основным характеристикам звука относятся громкость и высота.
Громкость звука определяется амплитудой колебаний давления в звуковой волне и измеря- ется в специальных единицах — децибелах (дБ). Так, громкость 0 дБ является порогом слы- шимости, 10 дБ — тиканье часов, 50 дБ — обычный разговор, 80 дБ — крик, 130 дБ — верхняя граница слышимости (так называемый болевой порог).
99
Тон — это звук, который издаёт тело, совершающее гармонические колебания (например,
камертон или струна). Высота тона определяется частотой этих колебаний: чем выше частота,
тем выше нам кажется звук. Так, натягивая струну, мы увеличиваем частоту её колебаний и,
соответственно, высоту звука.
Скорость звука в разных средах различна: чем более упругой является среда, тем быстрее в ней распространяется звук. В жидкостях скорость звука больше, чем в газах, а в твёрдых телах — больше, чем в жидкостях.
Например, скорость звука в воздухе при 0
◦
С равна примерно 340 м/с (её удобно запомнить как «треть километра в секунду»)
9
. В воде звук распространяется со скоростью около 1500 м/с,
а в стали — около 5000 м/с.
Заметим, что частота звука от данного источника во всех средах одна и та же: частицы сре- ды совершают вынужденные колебания с частотой источника звука. Согласно формуле (
1.95
)
заключаем тогда, что при переходе из одной среды в другую наряду со скоростью звука изме- няется длина звуковой волны.
9
Если хочешь найти расстояние до грозовых туч в километрах, посчитай, через сколько секунд после молнии придёт гром, и раздели полученное число на три.
100
Глава 2
Молекулярная физика и термодинамика
Молекулярная физика исходит из представлений о том, что все тела состоят из мельчайших частиц — молекул и атомов. Частицы движутся и взаимодействуют друг с другом, а физические свойства тел объясняются характером этого движения и взаимодействия.
Простейшей моделью молекулярной физики служит идеальный газ. В этой модели мы пре- небрегаем размерами частиц, их внутренним строением и взаимодействием друг с другом. В
результате удаётся получить простые законы, которые неплохо
работают даже за пределами самой модели, приближённо описывая свойства реальных газов.
Термодинамика — это наука о взаимопревращениях тепла в работу и другие формы энергии.
Термодинамика имеет дело с макроскопическими телами, состоящими из огромного числа ча- стиц. При этом оказывается, что состояние макроскопического тела описывается сравнительно небольшим набором величин — например, давлением, объёмом и температурой.
Молекулярной физике и термодинамике посвящены следующие разделы пособия:
→
Основные положения МКТ
→
Газы, жидкости и твёрдые тела
→
Основные формулы молекулярной физики
→
Температура
→
Уравнение состояния идеального газа
→
Изопроцессы
→
Насыщенный пар
→
Внутренняя энергия
→
Количество теплоты
→
Фазовые переходы
→
Первый закон термодинамики
→
Тепловые машины
→
Второй закон термодинамики
101
2.1
Основные положения МКТ
Великому американскому физику Ричарду Фейнману, автору знаменитого курса «Фейнманов- ские лекции по физике», принадлежат замечательные слова:
Если бы в результате какой-то мировой катастрофы все накопленные научные знания ока- зались бы уничтоженными и к грядущим поколениям живых существ перешла бы только одна фраза, то какое утверждение, составленное из наименьшего количества слов, принесло бы наибольшую информацию? Я считаю, что это — атомная гипотеза (можете называть ее не гипотезой, а фактом, но это ничего не меняет): все тела состоят из атомов — малень- ких телец,
которые находятся в беспрерывном движении, притягиваются на небольшом расстоянии, но отталкиваются, если одно из них плотнее прижать к другому. В одной этой фразе. . . содержится невероятное количество информации о мире, стоит лишь прило- жить к ней немного воображения и чуть соображения.
В этих словах заключена суть молекулярно-кинетической теории (МКТ) строения веще- ства. А именно, основными положениями МКТ являются следующие три утверждения.
1. Любое вещество состоит из мельчайших частиц — молекул и атомов. Они расположены в пространстве дискретно, то есть на некоторых расстояниях друг от друга.
2. Атомы или молекулы вещества находятся в состоянии беспорядочного движения
1
, которое никогда не прекращается.
3. Атомы или молекулы вещества взаимодействуют друг с другом силами притяжения и отталкивания, которые зависят от расстояний между частицами.
Эти положения являются обобщением многочисленных наблюдений и экпериментальных фактов. Давайте рассмотрим подробнее эти положения и приведём их опытное обоснование.
2.1.1
Атомы и молекулы
Возьмём бумажный листок и начнём делить его на всё более и более мелкие части. На каждом ли шаге мы будем получать кусочки именно бумаги, или на каком-то этапе появится нечто новое?
Первое положение МКТ говорит нам о том, что вещество не является делимым до беско- нечности. Рано или поздно мы дойдём до «последнего рубежа» — мельчайших частиц данного вещества. Эти частицы — атомы и молекулы. Их также можно разделить на части, но тогда исходное вещество прекратит своё существование.
Скачать 4.03 Mb.