Прогнозирование случайных процессов. Прогнозирование случайных процссов. Постановка задачи
 Скачать 102 Kb.
|
|
Постановка задачи Методы статистического прогноза дают возможность оценить будущие значения процесса по результатам наблюдения прошлых и текущих значений, используя при этом знание его вероятностных характеристик. Пусть X (t) — стационарный гауссов случайный процесс, наблюдавшийся некоторое время до момента t0 (рис. 1). После t0 сведений о значениях процесса нет. Требуется предсказать  — значение процесса в момент t0 + θ через время θ, причем желательно сделать это «получше». Если, предсказав значение , дождаться момента t0 + θ и произвести наблюдения, его результат  — истинное значение процесса, как правило, не совпадает с предсказанным . Их разность представляет собой ошибку прогноза на время θ, произведенного в момент t0. Техника прогнозирования во многом определяется способом наблюдения над процессом. Тут возможно выделить  два случая: во-первых, когда под «наблюдением» понимают измерения мгновенных значений процесса. При этом числа— результаты измерений служат исходными данными для вычисления по определенному правилу предсказанного значения. Возможно также, что случайный процесс, реализованный как сигнал, поступает на вход некоторой динамической системы и преобразуется ею. Если система работает как экстраполятор, на выходе ее в момент t0 должен появляться соответствующий сигнал. Подобные устройства называются экстраполирующими фильтрами, они совершают «отрицательное запаздывание» — сдвижку сигнала вперед, из настоящего в будущее— операцию, на первый взгляд физически не осуществимую.Очевидно, располагая прошлыми и текущими значениями процесса (называемыми также его «предысторией»), необходимо иметь характеристику процесса, показывающую статистическую связь между его значениями, разделенными временным промежутком θ. Такой характеристикой является корреляционная функция. Чтобы вычислить предсказанное значение, нужно уметь выбрать правило вычисления — алгоритм прогноза.Для оценки качества прогнозирования нужно условиться о каком-то критерии, так или иначе связанном с ошибкой прогноза. Наиболее распространенным критерием является средний квадрат ошибки:  .Мы будем пользоваться этим критерием, имея в виду, что алгоритм прогноза должен выбираться так, чтобы е2 был минимален. Интуитивно ясно, что близкие значения можно предсказать с большей точностью, чем удаленные, и что поэтому с увеличением времени прогноза 0 средний квадрат ошибки будет расти. Алгоритмы предсказания В данной работе будем рассматривать алгоритмы прогноза, линейные относительно значений предыстории. Как будет показано, для гауссовых процессов, этот класс алгоритмов оказывается наилучшим. Рассмотрим несколько простейших линейных алгоритмов Прогноз по последнему значению Прогнозирование по последнему отсчету, называемое также «ступенчатой экстраполяцией», или «экстраполяцией нулевого порядка», заключается в том, что в качестве предсказанного значения принимается значение X(t0): (1)Предсказанное значение здесь не зависит от времени прогноза θ, предыстория представлена лишь одной точкой— последним значением X(t0), вероятностные характеристики не учитываются вовсе. Алгоритм прогноза, как видно из (1), заключается в умножении значения X(t0)— последнего отсчета на единицу, т. е. не требует выполнения вообще никаких вычислительных операций. Прогноз, таким образом, можно выполнять, ничего не зная о процессе, кроме последнего значения, и не производя никаких вычислений. Очевидно, эти удобства, эта экономичность должны чем-то оплачиваться. Они оплачиваются низкой точностью. Ошибка прогноза здесь приобретает вид:  а ее средний квадрат, если тх = 0,  (2)Средний квадрат ошибки прогноза растет от 0 при θ = 0, когда R (0) = σx2, до 2 σx2 при θ=∞ |