Прогнозирование случайных процессов. Прогнозирование случайных процссов. Постановка задачи
 Скачать 102 Kb.
|
|
∞, е2(∞)= σ2x. Кривая е2(θ) начинается, как аналогичная кривая для прогноза нулевого порядка, и приходит к значению, присущему прогнозу по математическому ожиданию. При этом при любых θ статистический прогноз оказывается лучше обоих предыдущих, так как его е2 (θ) меньше. Это не случайно. Можно показать, что этот прогноз лучше любого другого способа прогнозирования. Действительно, зависимость предсказанного значения  как условного математического ожидания от последнего отсчета X (t0) представляет собой уравнение регрессии. Выше было показано, что уравнение регрессии является функцией наилучшего среднеквадратичного приближения. Следовательно, сечение пучка реализаций, проходящих при t0 через точку X (t0) (см. рис. 3, а), будет иметь средний квадрат отклонения относительно точки, предсказанной по (5), меньший, чем относительно любой другой, выбранной по иному, чем (5), правилу. Прогноз (5) является для гауссовых процессов оптимальным.Статистический прогноз по двум и более точкам Итак, привлечение для прогнозирования все более полной информации о процессе позволяет уменьшить ошибку предсказания. По сравнению с простым переносом и прогнозом по математическому ожиданию статистический прогноз более эффективен именно потому, что использует значения математического ожидания, корреляционной функции и одной точки предыстории. Следует ожидать, что использование двух или более точек предыстории позволит еще больше повысить эффективность. Так и происходит. Пусть теперь систему образуют три случайные величины— сечения X (t2) = Z, X (t0) = Х; X (t0+θ) = Y. Тогда предсказанное значение  — условное математическое ожидание сечения X (t0….θ) при условии, что предыдущие отсчеты приняли значения Z= X (t2) и X = X (t0).Выражение для предсказанного значения весьма громоздко:  Средний квадрат ошибки растет медленнее, чем в предыдущем случае, но в тех же пределах (см. рис. 1): е2(0) = 0, е2(∞) = σ2. Привлекая все новые точки предыстории, можно улучшить прогноз, но не беспредельно. С одной стороны, ясно, что предыстория, более удаленная чем на интервал корреляции, не поможет делу: отсчет и прогноз окажутся статистически не связанными и информации друг о друге не дадут. С другой стороны, слишком «частое» расположение отсчетов внутри интервала корреляции также не имеет смысла: отсчеты будут коррелированы очень сильно и будут повторять друг друга — то, что может быть сказано одним из них, уже сказано соседом. Существует предел уменьшения средней ошибки прогноза, превзойти который принципиально невозможно. |