Прогнозирование случайных процессов. Прогнозирование случайных процссов. Постановка задачи

• Название: Постановка задачи
• Анкор: Прогнозирование случайных процессов
• Дата: 23.10.2019
• Размер: 102 Kb.
• Имя файла: Прогнозирование случайных процссов.docx
• Тип: Документы; #91614
• страница: 2 из 3

когда R(∞) = 0.

Хорош или плох этот способ прогноза, можно будет ска­зать, лишь сравнив ошибку данного с ошибками других алгоритмов. Простота же этого способа обеспечила ему пока что наибольшее распространение как в технике управ­ления, где данные об управляемом процессе хранятся в ЗУ и считываются в момент выработки управляющего воз­действия, так и в быту, когда, взглянув утром на термометр за окном, мы и несколько часов спустя ориентируемся на ту же температуру
Прогноз по математическому ожиданию
Прогнозирование по математическому ожиданию заключается в том, что в качестве предсказанного значения принимается математическое ожидание процесса т_х:



Как и в предыдущем случае, предсказанное значение здесь не зависит от времени прогноза θ. Однако различие заключается в том, что хотя информации о предыстории не требуется никакой, нужны некоторые сведения о свойствах процесса — о его математическом ожидании. Алгоритм прог­ноза не требует выполнения никаких вычислительных опе­раций. Ошибка прогноза здесь имеет вид:

е (θ)= X (t + θ) — т_х

и представляет собой отклонение процесса от среднего в момент t₀ + θ.

Средний квадрат ошибки не зависит от времени прог­ноза и равен дисперсии процесса:


На рис. 2 совмещены зависимости е² (θ) прогноза по пос­леднему значению и прогноза по математическому ожиданию.



Рис. 2



При малых временах прогноза θ первый способ явно предпочтительней, од­нако после θ *, когда е²(θ *)= σ_x² второй способ дает большую точность. Наконец, при θ → ∞ квад­рат ошибки прогноза по среднему вдвое меньше, чем по последнему отсчету.


Эти соотношения пол­ностью соответствуют ин­туитивным представлениям о прогнозе. Так, предсказывая погоду на несколько бли­жайших часов, мы, как правило, ориентируемся на ее теку­щее состояние, совершенно игнорируя многолетние средние метеорологические данные, а пытаясь предвидеть весной погоду во время летних каникул, напротив, не смотрим на термометр.

Естественно ожидать, что алгоритм прогноза, в кото­рый вошли бы как значения предыстории процесса, так и его вероятностные характеристики, окажется точнее, чем оба описанных.
Статистический прогноз по одной точке
Эргодичный процесс может быть исчерпывающе описан как ансамблем реализаций, так и одной реализацией неограниченной длительности.

Сечения ансамбля представляют собой случайные величины, функция распределения которых отождествляется с одномерной функцией распределения процесса.

Обозначим случайную величину X (t₀) — сечение про­цесса в момент t₀ через X, а сечение X (t₀ + θ) — через Y и будем рассматривать систему (ХY) двух случайных ве­личин — последнего значения предыстории и предсказан­ного значения. Прогнозирующий алгоритм сформирован так, что в качестве предсказанного значения назначает условное математическое ожидание величины Y при условии, что X=X(t₀):



Ошибка прогноза



представляет собой отклонение случайной величины Y от своего условного математического ожидания, а средний квадрат ошибки



равен условной дисперсии .

Тогда

(3)

и

(4)

Поскольку процесс X(t) стационарен, математические ожидания и дисперсии сечений одинаковы:

σ_y = σ_x = σ; m_у = m_х = т.

Коэффициент корреляции r_ху равен значению нормиро­ванной корреляционной функции в θ;



Теперь алгоритм прогноза принимает вид:

(5)

а средний квадрат ошибки оказывается зависящим от θ:

(6)

Алгоритм предполагает знание отклонения процесса от среднего в момент t₀, т. е. одной точки предыстории, зна­чения нормированной корреляционной функции ρ(θ) и математического ожидания.

На рис. 3, а изображена предыстория процесса X(t), а на рис. 3, б - его нормированная корреляционная функ­ция ρ(θ). Прогноз производится на время θ₁, θ₂, ... θ_i, ... Точки, соединенные пунктиром на рис. 3, а, представляют собой предсказанные значения



— произведения отклонения X(t₀) — т_х на ρ(θ₁), ρ(θ₂)...

Нетрудно заметить, что при малых θ, когда ρ(θ) ≈ 1, предсказанные значения мало отличаются от последнего отсчета: , т. е. алгоритм работает, как при прогнозе нулевого порядка.

Рис.3

С ростом θ ρ(θ) по абсолютной величине убывает, пред­сказанные значения все меньше отличаются от математи­ческого ожидания процесса т_х, а при θ→∞, когда ρ(∞) =0,



т. е. алгоритм осуществляет прог­ноз по математическому ожиданию.

Фактически корреляционная функция приходит к нулю в конечное время — в течение интервала корреляции τ₀, о котором было сказано выше.

Если процесс X (t) — белый шум и его корреляционная функция равна нулю всюду, кроме τ = 0, алгоритм (5) для любого значения 0 предскажет

.

Проследим за изменением (см. рис. 2).

При θ = 0, когда ρ(0)= 1, е²(0) = 0. При θ =